高中复数复习知识点(整理)

1复数知识点总结一；复数的基本概念（1）形如a+bi的数叫做复数（其中）；复数的单位为i，它的平方等于－1，即.其中a叫做复数的实部，b叫做虚部实数：当b=0时复数a+bi为实数虚数：当时的复数a+bi为虚数；纯虚数：当a=0且时的复数a+bi为纯虚数（2）幂运算：（3）复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面叫复平面；zabi，对应点坐标为,pab；（象限的复习）（4）复数的模：对于复数zabi，把22zab叫做复数z的模；（5）两个复数相等的定义：（6）复数的基本运算:设111zabi，222zabi1)加法：121212zzaabbi；2)减法：121212zzaabbi；3)乘法：1212122112zzaabbababi特别22zzab。注：两个复数，如果不全是实数，就不能比较大小.①若为复数，则若，则.（×）[为复数，而不是实数]若，则.（√）②若，则是的必要不充分条件.（当Rba，1i20b0b1,,1,,143424142nnnniiiiiii)(,0321Zniiiinnnn00babiaRdcbadbcadicbia）特别地，，，，（其中，且21,zz1021zz21zz21,zz221zz021zzCcba,,0)()()(222accbbacba2，时，上式成立）（7）除法：cdizabi（,ab是均不为0的实数）；的化简就是通过分母实数化的方法将分母化为实数：22acbdadbcicdicdiabizabiabiabiab对于0cdizababi，当cdab时z为实数；当z为纯虚数是z可设为cdizxiabi进一步建立方程求解(8)共轭复数：zabi的共轭记作zabi；注：1）共轭复数的性质：，（a+bi）（）2）注：两个共轭复数之差是纯虚数.（×）[之差可能为零，此时两个复数是相等的]3）①复数的乘方：②对任何，及有以上结论不能拓展到分数指数幂的形式，否则会得到荒谬的结果，如若由就会得到的错误结论.在实数集成立的.当为虚数时，，所以复数集内解方程不能采用两边平方法.③常用的结论：22)(iba0)(,1)(22accbzz2121zzzzazz2i2bzzz22||||zzzz2121zzzz2121zzzz2121zzzz02znnzz)()(...Nnzzzzznnz21,zzCNnm,nnnnmnmnmnmzzzzzzzzz2121)(,)(,1,142ii11)(212142ii112||xxx2||xxiiiiiiii11,11,2)1(23二．例题分析【例1】已知14zabi，求（1）当,ab为何值时z为实数（2）当,ab为何值时z为纯虚数（3）当,ab为何值时z为虚数（4）当,ab满足什么条件时z对应的点在复平面内的第二象限。【变式1】若复数为纯虚数，则实数的值为A．B．CD．或【例2】已知134zi；234zabi，求当,ab为何值时12=zz【例3】已知1zi，求z，zz；【变式1】复数z满足21izi，则求z的共轭z【变式2】已知复数23(13)izi，则zz=A.14B.12C.1D.2【例4】已知12zi，232zi（1）求12zz的值；（2）求12zz的值；（3）求12zz.【变式1】已知复数z满足21zii，求z的模.2(1)(1)zxxix101114【变式2】若复数21ai是纯虚数，求复数1ai的模.【例5】下面是关于复数21zi的四个命题：其中的真命题为（）1:2pz22:2pzi3:pz的共轭复数为1i4:pz的虚部为1()A23,pp()B12,pp()C,pp()D,pp【例6】若复数312aizaRi（i为虚数单位），（1）若z为实数，求a的值（2）当z为纯虚，求a的值.【变式1】设a是实数，且112aii是实数，求a的值.【例7】复数cos3sin3zi对应的点位于第几象限变式1:是虚数单位,等于()A．iB．-iC．1D．-1变式2：计算，n∈N+；例8.设z是虚数，ω=z+是实数，且－1ω2，（1）求|z|的值及z的实部的取值范围；（2）设u=，求证u为纯虚数；（3）求ω－u2的最小值。例9．使不等式m2－(m2－3m)i＜(m2－4m＋3)i＋10成立的实数m＝i41i()1-i22(1)(1)(1)nnii1z11zz5例10．已知复数12,zz满足1||3z，2||2z，12||4zz，则12||zz的值为二：复数的平方根立方根（1）平方根:（2）立方根：注：若是1的立方虚数根，即，则例1.512i的平方根是例2.设等比数列123,,,,nzzzzL，其中11z，2zabi,3zbai,(,abR且0a)（1）求,ab的值；（2）求使120nzzzL的最小自然数n的值.三：一元二次方程的根复数集中解一元二次方程：在复数集内解关于的一元二次方程时，应注意下述问题：①当时，若＞0，则有二不等实数根；若=0，则有二相等实数根；若＜0，则有二相等复数根（为共轭复数）.②当不全为实数时，不能用方程根的情况.③不论为何复数，都可用求根公式求根，并且韦达定理也成立.注：一元二次方程分实系数和虚系数之别实系数一元二次方程，如果有虚根，一定是成对出现，虚系数一元二次方程，要么两虚，要么一实一虚。例1.若关于x的实系数方程0322kkkxx有一个模为1的根，求实数k的值.i2321x)0(02acbxaxRcba,,abx22,1abx22,1aibx2||2,12,1xcba,,cba,,)(0,01,1,,121223Znnnn6例2.如果i3是关于x的方程),(022Rnmnmxx的一个根四：与圆锥曲线之间的关系⑴复平面内的两点间距离公式：.其中是复平面内的两点所对应的复数，间的距离.由上可得：复平面内以为圆心，为半径的圆的复数方程：.⑵曲线方程的复数形式：①为圆心，r为半径的圆的方程.②表示线段的垂直平分线的方程.③为焦点，长半轴长为a的椭圆的方程（若，此方程表示线段）.④表示以为焦点，实半轴长为a的双曲线方程（若，此方程表示两条射线）.例1.已知复数z满足|z－2|=2，z+∈R，求z.21zzd21zz，21zz和21zzd和表示0zr）（00rrzz00zrzz表示以21zzzz21zz212121202ZZzzaaazzzz，）表示以且（212zza21ZZ，），（2121202zzaazzzz21ZZ，212zza4z7例2.已知复数z满足|5||5|6zizi，则z在复平面上对应点的轨迹方程为例3.若1|1|iz，则|32|zi的最大值和最小值分别是6；4.例4.在复平面上，已知直线上的点所对应的复数满足，则直线的倾斜角为.(结果反三角函数值表示)五：补充（1）绝对值不等式：设是不等于零的复数，则①.左边取等号的条件是，右边取等号的条件是.②.左边取等号的条件是，右边取等号的条件是.注：.（2）复数是实数及纯虚数的充要条件：①.②若，是纯虚数.⑵模相等且方向相同的向量，不管它的起点在哪里，都认为是相等的，而相等的向量表示同一复数.特例：零向量的方向是任意的，其模为零.注：.（3）复数的三角形式：.辐角主值：适合于0≤＜的值，记作.注：①为零时，可取内任意值.②辐角是多值的，都相差2的整数倍.③设则.lz3zizil21zz，212121zzzzzz），且（012Rzz），（012Rzz212121zzzzzz），（012Rzz），（012RzznnnAAAAAAAAAA11433221zzzRz0zz0zz||||zz)sin(cosirz2zargzzarg)2,0[,Ra23)arg(,2arg,)arg(,0argaiaiaa8⑵复数的代数形式与三角形式的互化：，，.⑶几类三角式的标准形式：)sin(cosirbia22barrbrasin,cos)]sin()[cos()sin(cosirir)]sin()[cos()sin(cosirir)]sin()[cos()sincos(irir)]2sin()2[cos()cos(sinirir