2020届高考数学总复习 第五章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 5-1 平面向量的概念及其线性运

5-1平面向量的概念及其线性运算课时作业A组——基础对点练1．下列四个结论：①AB→＋BC→＋CA→＝0；②AB→＋MB→＋BO→＋OM→＝0；③AB→－AC→＋BD→－CD→＝0；④NQ→＋QP→＋MN→－MP→＝0.其中一定正确的结论个数是()A．1B．2C．3D．4【解析】①AB→＋BC→＋CA→＝AC→＋CA→＝0，①正确；②AB→＋MB→＋BO→＋OM→＝AB→＋MO→＋OM→＝AB→，②错；③AB→－AC→＋BD→－CD→＝CB→＋BD→＋DC→＝CB→＋BC→＝0，③正确；④NQ→＋QP→＋MN→－MP→＝NP→＋PN→＝0，④正确．故①③④正确．【答案】C2．(2019·西城区模拟)在△ABC中，点D满足BC→＝3BD→，则()A.AD→＝13AB→－23AC→B.AD→＝13AB→＋23AC→C.AD→＝23AB→－13AC→D.AD→＝23AB→＋13AC→【解析】∵点D满足BC→＝3BD→，∴AD→＝AB→＋BD→＝AB→＋13BC→＝AB→＋13(AC→－AB→)＝23AB→＋13AC→，故选D.【答案】D3．已知向量a，b，且AB→＝a＋2b，BC→＝－5a＋6b，CD→＝7a－2b，则一定共线的三点是()A．A，B，DB．A，B，CC．B，C，DD．A，C，D【解析】AD→＝AB→＋BC→＋CD→＝3a＋6b＝3AB→.因为AB→与AD→有公共点A，所以A，B，D三点共线．故选A.【答案】A4．(2019·沈阳质检)已知向量a与b不共线，AB→＝a＋mb，AC→＝na＋b(m，n∈R)，则AB→与AC→共线的条件是()A．m＋n＝0B．m－n＝0C．mn＋1＝0D．mn－1＝0【解析】由AB→＝a＋mb，AC→＝na＋b(m，n∈R)共线，得a＋mb＝λ(na＋b)，即mn－1＝0，故选D.【答案】D5．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若AD→＝2DB→，CD→＝13CA→＋λCB→，则λ等于()A.23B.13C．－13D．－23【解析】如图所示，过点D分别作AC，BC的平行线，分别交BC，AC于点F，E，所以CD→＝CE→＋CF→.因为AD→＝2DB→，所以CE→＝13CA→，CF→＝23CB→，故CD→＝13CA→＋23CB→，所以λ＝23.【答案】A6．(2019·淮北模拟)如图，Rt△ABC中，P是斜边BC上一点，且满足：BP→＝12PC→，点M，N在过点P的直线上，若AM→＝λAB→，AN→＝μAC→，(λ，μ0)，则λ＋2μ的最小值为()A．2B.83C．3D.103【解析】AP→＝23AB→＋13AC→＝23λAM→＋13μAN→，因为M，N，P三点共线，所以23λ＋13μ＝1，因此λ＋2μ＝(λ＋2μ)23λ＋13μ＝43＋4μ3λ＋λ3μ≥43＋24μ3λ×λ3μ＝83，选B.【答案】B7．在平行四边形ABCD中，AB→＝e1，AC→＝e2，NC→＝14AC→，BM→＝12MC→，则MN→＝________．(用e1，e2表示)【解析】如图所示，MN→＝CN→－CM→＝CN→＋2BM→＝CN→＋23BC→＝－14e2＋23(e2－e1)＝－23e1＋512e2.【答案】－23e1＋512e28．在△ABC中，N是AC边上一点且AN→＝12NC→，P是BN上一点，若AP→＝mAB→＋29AC→，则实数m的值是________．【解析】如图，因为AN→＝12NC→，P是BN→上一点．所以AN→＝13AC→，AP→＝mAB→＋29AC→＝mAB→＋23AN→，因为B，P，N三点共线，所以m＋23＝1，则m＝13.【答案】139．设e1，e2是两个不共线的向量，已知AB→＝2e1－8e2，CB→＝e1＋3e2，CD→＝2e1－e2.(1)求证：A，B，D三点共线．(2)若BF→＝3e1－ke2，且B，D，F三点共线，求k的值．【解析】(1)证明：由已知得BD→＝CD→－CB→＝(2e1－e2)－(e1＋3e2)＝e1－4e2，∵AB→＝2e1－8e2，∴AB→＝2BD→.又∵AB→与BD→有公共点B，∴A，B，D三点共线．(2)由(1)可知BD→＝e1－4e2，∵BF→＝3e1－ke2，且B，D，F三点共线，∴BF→＝λBD→(λ∈R)，即3e1－ke2＝λe1－4λe2，得λ＝3，－k＝－4λ.解得k＝12.10．如图所示，在△ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，AE→＝23AD→，AB→＝a，AC→＝b.(1)用a，b表示向量AD→，AE→，AF→，BE→，BF→.(2)求证：B，E，F三点共线．【解析】(1)延长AD到G，使AD→＝12AG→，连接BG，CG，得到▱ABGC，所以AG→＝a＋b，AD→＝12AG→＝12(a＋b)．AE→＝23AD→＝13(a＋b)．AF→＝12AC→＝12b.BE→＝AE→－AB→＝13(a＋b)－a＝13(b－2a)．BF→＝AF→－AB→＝12b－a＝12(b－2a)．(2)证明：由(1)可知BE→＝23BF→，因为有公共点B，所以B，E，F三点共线．B组——能力提升练1．(2019·山师大附中模拟)已知平面内一点P及△ABC，若PA→＋PB→＋PC→＝AB→，则点P与△ABC的位置关系是()A．点P在线段AB上B．点P在线段BC上C．点P在线段AC上D．点P在△ABC外部【解析】由PA→＋PB→＋PC→＝AB→得PA→＋PC→＝AB→－PB→＝AP→，即PC→＝AP→－PA→＝2AP→，所以点P在线段AC上，选C.【答案】C2．设O在△ABC的内部，D为AB的中点，且OA→＋OB→＋2OC→＝0，则△ABC的面积和△AOC的面积的比值为()A．3B．4C．5D．6【解析】∵D为AB的中点，则OD→＝12(OA→＋OB→)，又OA→＋OB→＋2OC→＝0，∴OD→＝－OC→，∴O为CD的中点，又∵D为AB中点，∴S△AOC＝12S△ADC＝14S△ABC，则S△ABCS△AOC＝4.【答案】B3．设G为△ABC的重心，且sinA·GA→＋sinB·GB→＋sinC·GC→＝0，则角B的大小为________．【解析】∵G是△ABC的重心，∴GA→＋GB→＋GC→＝0，GA→＝－(GB→＋GC→)，将其代入sinA·GA→＋sinB·GB→＋sinC·GC→＝0，得(sinB－sinA)GB→＋(sinC－sinA)GC→＝0.又GB→，GC→不共线，∴sinB－sinA＝0，sinC－sinA＝0，则sinB＝sinA＝sinC.根据正弦定理知b＝a＝c，∴△ABC是等边三角形，则角B＝60°.【答案】60°4．在直角梯形ABCD中，∠A＝90°，∠B＝30°，AB＝23，BC＝2，点E在线段CD上，若AE→＝AD→＋μAB→，则μ的取值范围是__________．【解析】由题意可求得AD＝1，CD＝3，所以AB→＝2DC→.∵点E在线段CD上，∴DE→＝λDC→(0≤λ≤1)．∵AE→＝AD→＋DE→，又AE→＝AD→＋μAB→＝AD→＋2μDC→＝AD→＋2μλDE→，∴2μλ＝1，即μ＝λ2.∵0≤λ≤1，∴0≤μ≤12.即μ的取值范围是0，12.【答案】0，125．已知点G是△ABO的重心，M是AB边的中点．(1)求GA→＋GB→＋GO→.(2)若PQ过△ABO的重心G，且OA→＝a，OB→＝b，OP→＝ma，OQ→＝nb，求证：1m＋1n＝3.【解析】(1)∵GA→＋GB→＝2GM→，又2GM→＝－GO→，∴GA→＋GB→＋GO→＝－GO→＋GO→＝0.(2)证明：显然OM→＝12(a＋b)．因为G是△ABO的重心，所以OG→＝23OM→＝13(a＋b)．由P，G，Q三点共线，得PG→∥GQ→，所以，有且只有一个实数λ，使PG→＝λGQ→.而PG→＝OG→－OP→＝13(a＋b)－ma＝13－ma＋13b，GQ→＝OQ→－OG→＝nb－13(a＋b)＝－13a＋n－13b，所以13－ma＋13b＝λ－13a＋n－13b.又因为a，b不共线，所以13－m＝－13λ，13＝λn－13，消去λ，整理得3mn＝m＋n，故1m＋1n＝3.