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4-7解三角形的应用举例课时作业A组——基础对点练1．两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的()A．北偏东10°B．北偏西10°C．南偏东80°D．南偏西80°【解析】由条件及题图可知，∠A＝∠B＝40°，又∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，所以∠DBA＝10°，因此灯塔A在灯塔B南偏西80°.【答案】D2．一艘船以每小时15km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔M在北偏东60°方向，行驶4h后，船到达B处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为()A．152kmB．302kmC．452kmD．602km【解析】如图所示，依题意有AB＝15×4＝60，∠DAC＝60°，∠CBM＝15°，所以∠MAB＝30°，∠AMB＝45°.在△AMB中，由正弦定理，得60sin45°＝BMsin30°，解得BM＝302，故选B.【答案】B3．如图，一条河的两岸平行，河的宽度d＝0.6km，一艘客船从码头A出发匀速驶往河对岸的码头B.已知AB＝1km，水的流速为2km/h，若客船从码头A驶到码头B所用的最短时间为6min，则客船在静水中的速度为()A．8km/hB．62km/hC．234km/hD．10km/h【解析】设AB与河岸线所成的角为θ，客船在静水中的速度为vkm/h，由题意知，sinθ＝0.61＝35，从而cosθ＝45，所以由余弦定理得110v2＝110×22＋12－2×110×2×1×45，解得v＝62.【答案】B4．如图，两座相距60m的建筑物AB，CD的高度分别为20m、50m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为()A．30°B．45°C．60°D．75°【解析】依题意可得AD＝2010(m)，AC＝305(m)，又CD＝50(m)，所以在△ACD中，由余弦定理得cos∠CAD＝AC2＋AD2－CD22AC·AD＝（305）2＋（2010）2－5022×305×2010＝600060002＝22，又0°∠CAD180°，所以∠CAD＝45°，所以从顶端A看建筑物CD的张角为45°.【答案】B5．某船开始看见灯塔在南偏东30°方向，后来船沿南偏东60°的方向航行15km后，看见灯塔在正西方向，则这时船与灯塔的距离是()A．5kmB．10kmC．53kmD．52km【解析】作出示意图(如图)，点A为该船开始的位置，点B为灯塔的位置，点C为该船后来的位置，所以在△ABC中，有∠BAC＝60°－30°＝30°，B＝120°，AC＝15，由正弦定理，得15sin120°＝BCsin30°，即BC＝15×1232＝53，即这时船与灯塔的距离是53km.【答案】C6．(2019·宁波模拟)某大学的大门蔚为壮观，有个学生想搞清楚门洞拱顶D到其正上方A点的距离，他站在地面C处，利用皮尺测得BC＝9米，利用测角仪器测得仰角∠ACB＝45°，测得仰角∠BCD后通过计算得到sin∠ACD＝2626，则AD的距离为()A．2米B．2.5米C．3米D．4米【解析】设AD＝x，则BD＝9－x，CD＝92＋（9－x）2，在△ACD中，应用正弦定理得CDsin∠DAC＝ADsin∠ACD，即92＋（9－x）222＝x2626，所以2[92＋(9－x)2]＝26x2，即81＋81－18x＋x2＝13x2，所以2x2＋3x－27＝0，即(2x＋9)(x－3)＝0，所以x＝3(米)．【答案】C7．海上有A，B两个小岛相距10nmile，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，那么B岛和C岛间的距离是________nmile.【解析】如图，在△ABC中，AB＝10，A＝60°，B＝75°，C＝45°，由正弦定理，得ABsinC＝BCsinA，所以BC＝AB·sinAsinC＝10×sin60°sin45°＝56(nmile)．【答案】568．如图，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A、B望对岸的标记物C，测得∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，AB＝120m，则这条河的宽度为________．【解析】如图，在△ABC中，过C作CD⊥AB于D点，则CD为所求河的宽度．在△ABC中，因为∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，所以∠ACB＝75°，所以AC＝AB＝120m.在Rt△ACD中，CD＝ACsin∠CAD＝120sin30°＝60(m)，因此这条河的宽度为60m.【答案】60m9．如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°，从C点测得∠MCA＝60°.已知山高BC＝100m，求山高MN.【解析】根据图示，AC＝1002m.在△MAC中，∠CMA＝180°－75°－60°＝45°.由正弦定理得ACsin45°＝AMsin60°⇒AM＝1003m.在△AMN中，MNAM＝sin60°，所以MN＝1003×32＝150(m)．10．如图，在一条海防警戒线上的点A、B、C处各有一个水声监测点，B、C两点到A的距离分别为20千米和50千米，某时刻，B收到发自静止目标P的一个声波信号，8秒后A、C同时接到该声波信号，已知声波在水中的传播速度是1.5千米/秒．(1)设A到P的距离为x千米，用x表示B、C到P的距离，并求x的值．(2)求P到海防警戒线AC的距离．【解析】(1)依题意，有PA＝PC＝x，PB＝x－1.5×8＝x－12.在△PAB中，AB＝20，cos∠PAB＝PA2＋AB2－PB22PA·AB＝x2＋202－（x－12）22x·20＝3x＋325x，同理，在△PAC中，AC＝50，cos∠PAC＝PA2＋AC2－PC22PA·AC＝x2＋502－x22x·50＝25x.因为cos∠PAB＝cos∠PAC，所以3x＋325x＝25x，解得x＝31.(2)作PD⊥AC于点D(图略)，在△ADP中，由cos∠PAD＝2531，得sin∠PAD＝1－cos2∠PAD＝42131，所以PD＝PAsin∠PAD＝31×42131＝421.故静止目标P到海防警戒线AC的距离为421千米．B组——能力提升练1．如图，为了测量A，C两点间的距离，选取同一平面上B，D两点，测出四边形ABCD各边的长度(单位：km)：AB＝5，BC＝8，CD＝3，DA＝5，且∠B与∠D互补，则AC的长为()A．7kmB．8kmC．9kmD．6km【解析】在△ABC及△ACD中，由余弦定理得82＋52－2×8×5×cos(π－∠D)＝AC2＝32＋52－2×3×5×cos∠D，解得cos∠D＝－12，所以AC＝49＝7.【答案】A2．如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB，C是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO的小路CD.已知某人从O沿OD走到D用了2分钟，从D沿着DC走到C用了3分钟．若此人步行的速度为每分钟50米，则该扇形的半径的长度为()A．505米B．507米C．5011米D．5019米【解析】设该扇形的半径为r米，连接CO.由题意，得CD＝150(米)，OD＝100(米)，∠CDO＝60°，在△CDO中，CD2＋OD2－2CD·OD·cos60°＝OC2，即1502＋1002－2×150×100×12＝r2，解得r＝507.【答案】B3．(2019·惠州调研)如图所示，在一个坡度一定的山坡AC的顶上有一高度为25m的建筑物CD，为了测量该山坡相对于水平地面的坡角θ，在山坡的A处测得∠DAC＝15°，沿山坡前进50m到达B处，又测得∠DBC＝45°，根据以上数据可得cosθ＝________．【解析】由∠DAC＝15°，∠DBC＝45°可得∠BDA＝30°，∠DBA＝135°，∠BDC＝90°－(15°＋θ)－30°＝45°－θ，由内角和定理可得∠DCB＝180°－(45°－θ)－45°＝90°＋θ，根据正弦定理可得50sin30°＝DBsin15°，即DB＝100sin15°＝100×sin(45°－30°)＝252(3－1)，又25sin45°＝252（3－1）sin（90°＋θ），即25sin45°＝252（3－1）cosθ，得到cosθ＝3－1.【答案】3－14．(2019·山西四校联考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acosB－bcosA＝12c，当tan(A－B)取最大值时，角B的值为________．【解析】由acosB－bcosA＝12c及正弦定理，得sinAcosB－sinBcosA＝12sinC＝12sin(A＋B)＝12(sinAcosB＋cosAsinB)，整理得sinAcosB＝3cosAsinB，即tanA＝3tanB，易得tanA＞0，tanB＞0，所以tan(A－B)＝tanA－tanB1＋tanAtanB＝2tanB1＋3tan2B＝21tanB＋3tanB≤223＝33，当且仅当1tanB＝3tanB，即tanB＝33时，tan(A－B)取得最大值，所以B＝π6.【答案】π65．某港湾的平面示意图如图所示，O，A，B分别是海岸线l1，l2上的三个集镇，A位于O的正南方向6km处，B位于O的北偏东60°方向10km处．(1)求集镇A，B间的距离．(2)随着经济的发展，为缓解集镇O的交通压力，拟在海岸线l1，l2上分别修建码头M，N，开辟水上航线．勘测时发现：以O为圆心，3km为半径的扇形区域为浅水区，不适宜船只航行．请确定码头M，N的位置，使得M，N之间的直线航线最短．【解析】(1)在△ABO中，OA＝6，OB＝10，∠AOB＝120°，根据余弦定理得AB2＝OA2＋OB2－2·OA·OB·cos120°＝62＋102－2×6×10×－12＝196，所以AB＝14.故集镇A，B间的距离为14km.(2)依题意得，直线MN必与圆O相切．设切点为C，连接OC(图略)，则OC⊥MN.设OM＝x，ON＝y，MN＝c，在△OMN中，由12MN·OC＝12OM·ON·sin120°，得12×3c＝12xysin120°，即xy＝23c，由余弦定理，得c2＝x2＋y2－2xycos120°＝x2＋y2＋xy≥3xy，所以c2≥63c，解得c≥63，当且仅当x＝y＝6时，c取得最小值63.所以码头M，N与集镇O的距离均为6km时，M，N之间的直线航线最短，最短距离为63km.