2020届高考数学总复习 第四章 三角函数、解三角形 4-6 正弦定理与余弦定理课时作业 文（含解析

4-6正弦定理与余弦定理课时作业A组——基础对点练1．(2019·长沙模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝13，b＝3，A＝60°，则边c等于()A．1B．2C．4D．6【解析】∵a2＝c2＋b2－2cbcosA，∴13＝c2＋9－2c×3×cos60°，即c2－3c－4＝0，解得c＝4或c＝－1(舍去)．【答案】C2．在△ABC中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，若A＝2π3，a＝2，b＝233，则B等于()A.π3B.5π6C.π6或5π6D.π6【解析】∵A＝2π3，a＝2，b＝233，∴由正弦定理asinA＝bsinB，可得sinB＝basinA＝2332×32＝12.∵A＝2π3，∴B＝π6.【答案】D3．(2019·哈尔滨模拟)在△ABC中，AB＝3，AC＝1，B＝30°，△ABC的面积为32，则C等于()A．30°B．45°C．60°D．75°【解析】∵S△ABC＝12·AB·AC·sinA＝32，即12×3×1×sinA＝32，∴sinA＝1，由A∈(0°，180°)，∴A＝90°，∴C＝60°.故选C.【答案】C4．△ABC的三个内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，asinAsinB＋bcos2A＝2a，则ba等于()A．23B．22C.3D.2【解析】(边化角)由asinAsinB＋bcos2A＝2a及正弦定理，得sinAsinAsinB＋sinBcos2A＝2sinA，即sinB＝2sinA，所以ba＝sinBsinA＝2.【答案】D5．在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，sinA，sinB，sinC成等比数列，且c＝2a，则cosB的值为()A.14B.34C.24D.23【解析】因为sinA，sinB，sinC成等比数列，所以sin2B＝sinAsinC，由正弦定理得b2＝ac，又c＝2a，故cosB＝a2＋c2－b22ac＝a2＋4a2－2a24a2＝34.【答案】B6．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b3cosB＝asinA，则cosB等于()A．－12B.12C．－32D.32【解析】由正弦定理知sinB3cosB＝sinAsinA＝1，即tanB＝3，由B∈(0，π)，所以B＝π3，所以cosB＝cosπ3＝12，故选B.【答案】B7．在△ABC中，若a＝2，b＋c＝7，cosB＝－14，则b＝__________．【解析】在△ABC中，由b2＝a2＋c2－2accosB及b＋c＝7知，b2＝4＋(7－b)2－2×2×(7－b)×－14，整理得15b－60＝0，∴b＝4.【答案】48．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若(a2＋c2－b2)tanB＝3ac，则角B的值为________．【解析】由余弦定理，得a2＋c2－b22ac＝cosB，结合已知等式得cosB·tanB＝32，∴sinB＝32，又0Bπ，∴B＝π3或2π3.【答案】π3或2π39．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，点(a，b)在直线x(sinA－sinB)＋ysinB＝csinC上．(1)求角C的值．(2)若a2＋b2＝6(a＋b)－18，求△ABC的面积．【解析】(1)由题意得a(sinA－sinB)＋bsinB＝csinC，由正弦定理asinA＝bsinB＝csinC，得a(a－b)＋b2＝c2，即a2＋b2－c2＝ab.由余弦定理，得cosC＝a2＋b2－c22ab＝12，结合0Cπ，得C＝π3.(2)由a2＋b2＝6(a＋b)－18，得(a－3)2＋(b－3)2＝0，从而a＝b＝3.所以△ABC的面积S＝12×32×sinπ3＝934.10．在△ABC中，a2＋c2＝b2＋2ac.(1)求B的大小．(2)求2cosA＋cosC的最大值．【解析】(1)由a2＋c2＝b2＋2ac，得a2＋c2－b2＝2ac.由余弦定理，得cosB＝a2＋c2－b22ac＝2ac2ac＝22.又0＜B＜π，所以B＝π4.(2)A＋C＝π－B＝π－π4＝3π4，所以C＝3π4－A，0＜A＜3π4.所以2cosA＋cosC＝2cosA＋cos3π4－A＝2cosA＋cos3π4cosA＋sin3π4sinA＝2cosA－22cosA＋22sinA＝22sinA＋22cosA＝sinA＋π4.因为0＜A＜3π4，所以π4＜A＋π4＜π，故当A＋π4＝π2，即A＝π4时，2cosA＋cosC取得最大值1.B组——能力提升练1．(2019·银川模拟)在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若S△ABC＝23，a＋b＝6，acosB＋bcosAc＝2cosC，则c等于()A．27B．4C．23D．33【解析】∵acosB＋bcosAc＝2cosC，由正弦定理，得sinAcosB＋cosAsinB＝2sinCcosC，∴sin(A＋B)＝sinC＝2sinCcosC，由于0Cπ，sinC≠0，∴cosC＝12，∴C＝π3，∵S△ABC＝23＝12absinC＝34ab，∴ab＝8，又a＋b＝6，解得a＝2，b＝4或a＝4，b＝2，c2＝a2＋b2－2abcosC＝4＋16－8＝12，∴c＝23，故选C.【答案】C2．(2019·合肥质检)在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足(a－b)(sinA＋sinB)＝(c－b)sinC．若a＝3，则b2＋c2的取值范围是()A．(3，6]B．(3，5)C．(5，6]D．[5，6]【解析】由正弦定理可得，(a－b)·(a＋b)＝(c－b)·c，即b2＋c2－a2＝bc，cosA＝b2＋c2－a22bc＝12，又A∈0，π2，∴A＝π3.∵bsinB＝csinC＝3sinπ3＝2，∴b2＋c2＝4(sin2B＋sin2C)＝4[sin2B＋sin2(A＋B)]＝41－cos2B2＋1－cos[2（A＋B）]2＝3sin2B－cos2B＋4＝2sin2B－π6＋4.∵△ABC是锐角三角形，∴B∈π6，π2，即2B－π6∈π6，5π6，∴12＜sin2B－π6≤1，∴5＜b2＋c2≤6.故选C.【答案】C3．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足asinB＝3bcosA．若a＝4，则△ABC周长的最大值为________．【解析】由正弦定理asinA＝bsinB，可将asinB＝3bcosA转化为sinAsinB＝3sinBcosA.又在△ABC中，sinB0，∴sinA＝3cosA，即tanA＝3.∵0Aπ，∴A＝π3.由余弦定理得a2＝16＝b2＋c2－2bccosA＝(b＋c)2－3bc≥(b＋c)2－3b＋c22，则(b＋c)2≤64，即b＋c≤8(当且仅当b＝c＝4时等号成立)，∴△ABC周长＝a＋b＋c＝4＋b＋c≤12，即最大值为12.【答案】124．在△ABC中，若AB＝4，AC＝7，BC边的中线AD＝72，则BC＝________．【解析】如图所示，延长AD到E，使DE＝AD，连接BE，EC.因为AD是BC边上的中线，所以AE与BC互相平分，所以四边形ACEB是平行四边形，所以BE＝AC＝7.又AB＝4，AE＝2AD＝7，所以在△ABE中，由余弦定理得，AE2＝49＝AB2＋BE2－2AB·BE·cos∠ABE＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠ABE.在△ABC中，由余弦定理得，BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos(π－∠ABE)，∴49＋BC2＝2(AB2＋AC2)＝2(16＋49)，∴BC2＝81，∴BC＝9.【答案】95．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA＋3cosA＝0，a＝27，b＝2.(1)求c.(2)设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积．【解析】(1)由已知可得tanA＝－3，所以A＝2π3.在△ABC中，由余弦定理，得28＝4＋c2－4c·cos2π3，即c2＋2c－24＝0，解得c＝－6(舍去)，c＝4.(2)由题设可得∠CAD＝π2，所以∠BAD＝∠BAC－∠CAD＝π6.故△ABD的面积与△ACD的面积的比值为12AB·AD·sinπ612AC·AD＝1.又△ABC的面积为12×4×2sin∠BAC＝23，所以△ABD的面积为3.