2020届高考数学总复习 第十章 概率 10-3 几何概型课时作业 文（含解析）新人教A版

10-3几何概型课时作业A组——基础对点练1．在区间[0，1]上随机取一个数x，则事件“log0.5(4x－3)≥0”发生的概率为()A.34B.23C.13D.14【解析】因为log0.5(4x－3)≥0，所以04x－3≤1，即34x≤1，所以所求概率P＝1－341－0＝14，故选D.【答案】D2．在棱长为3的正方体ABCDA1B1C1D1内任取一点P，则点P到正方体各面的距离都不小于1的概率为()A.127B.2627C.827D.18【解析】正方体中到各面的距离都不小于1的点的集合是一个中心与原正方体中心重合，且棱长为1的正方体，该正方体的体积是V1＝13＝1，而原正方体的体积为V＝33＝27，故所求的概率P＝V1V＝127.【答案】A3．已知事件“在矩形ABCD的边CD上随机取一点P，使△APB的最大边是AB”发生的概率为12，则ADAB＝()A.12B.14C.32D.74【解析】由已知，点P的分界点恰好是边CD的四等分点，由勾股定理可得AB2＝34AB2＋AD2，解得ADAB2＝716，即ADAB＝74，故选D.【答案】D4．(2019·武汉调研)在长为16cm的线段MN上任取一点P，以MP，NP为邻边作一矩形，则该矩形的面积大于60cm2的概率为()A.14B.12C.13D.34【解析】设MP＝x，则NP＝16－x，由S＝x(16－x)60⇒x2－16x＋600，(x－6)(x－10)0⇒6x10，所以P＝416＝14.【答案】A5．在区间－12，12上随机取一个数x，则cosπx的值介于22与32之间的概率为()A.13B.14C.15D.16【解析】区间－12，12的长度为1，满足cosπx的值介于22与32之间的x∈－14，－16∪16，14，区间长度为16，由几何概型概率公式得P＝161＝16.【答案】D6．为了测量某阴影部分的面积，作一个边长为3的正方形将其包含在内，并向正方形内随机投掷600个点，已知恰有200个点落在阴影部分内，据此可以估计阴影部分的面积是()A．4B．3C．2D．1【解析】由投掷的点落在阴影部分的个数与投掷的点的个数比得到阴影部分的面积与正方形的面积比为13，所以阴影部分的面积约为9×13＝3.【答案】B7．在区间[－2，4]上随机地取一个数x，若x满足|x|≤m的概率为56，则m＝________．【解析】由几何概型知56＝m－（－2）6，解得m＝3.【答案】38．利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a，则事件“3a－10”发生的概率为________．【解析】由题意知0≤a≤1，事件“3a－10”发生时，a13且a≤1，取区间长度为测度，由几何概型的概率公式得其概率P＝1－131＝23.【答案】239．从曲线x2＋y2＝|x|＋|y|所围成的封闭图形内任取一点，求该点在以原点为圆心的单位圆中的概率．【解析】如图，当x≥0，y≥0时，x2＋y2＝|x|＋|y|化为x2＋y2＝x＋y，表示以12，12为圆心，22为半径的圆在第一象限的部分；当x≥0，y≤0时，x2＋y2＝|x|＋|y|化为x2＋y2＝x－y，表示以12，－12为圆心，22为半径的圆在第四象限的部分；当x≤0，y≥0时，x2＋y2＝|x|＋|y|化为x2＋y2＝－x＋y，表示以－12，12为圆心，22为半径的圆在第二象限的部分；当x≤0，y≤0时，x2＋y2＝|x|＋|y|化为x2＋y2＝－x－y，表示以－12，－12为圆心，22为半径的圆在第三象限的部分．∴曲线x2＋y2＝|x|＋|y|所围成的封闭图形的面积为(2)2＋2π×222＝2＋π.∴该点在单位圆中的概率为P＝π2＋π.10．已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，在正方体内随机取点M.(1)求四棱锥M­ABCD的体积小于16的概率．(2)求M落在三棱柱ABC­A1B1C1内的概率．【解析】(1)正方体ABCD­A1B1C1D1中，设M­ABCD的高为h，令13×S四边形ABCD×h＝16，∵S四边形ABCD＝1，∴h＝12.若体积小于16，则h12，即点M在正方体的下半部分，∴P＝12V正方体V正方体＝12.(2)∵V三棱柱＝12×12×1＝12，∴所求概率P1＝V三棱柱V正方体＝12.B组——能力提升练1．(2019·商丘模拟)已知P是△ABC所在平面内一点，PB→＋PC→＋2PA→＝0，现将一粒豆随机撒在△ABC内，则黄豆落在△PBC内的概率是()A.14B.13C.12D.23【解析】如图所示，设点M是BC边的中点，因为PB→＋PC→＋2PA→＝0，所以点P是中线AM的中点，所以黄豆落在△PBC内的概率P＝S△PBCS△ABC＝12，故选C.【答案】C2．在平面区域x＋y－4≤0x0y0内随机取一点(a，b)，则函数f(x)＝ax2－4bx＋1在区间[1，＋∞)上是增函数的概率为()A.14B.13C.12D.23【解析】不等式组表示的平面区域为如图所示的△AOB的内部及边界AB(不包括边界OA，OB)，则S△AOB＝12×4×4＝8.函数f(x)＝ax2－4bx＋1在区间[1，＋∞)上是增函数，则应满足a0且x＝4b2a≤1，即a0a≥2b，可得对应的平面区域如图中阴影部分(包括边界OC，BC，不包括边界OB)，由a＝2ba＋b－4＝0，解得a＝83，b＝43，所以S△COB＝12×4×43＝83，根据几何概型的概率计算公式，可知所求的概率为838＝13，故选B.【答案】B3．一只昆虫在边长分别为5，12，13的三角形区域内随机爬行，则其到三角形顶点的距离小于2的地方的概率为________．【解析】如图所示，该三角形为直角三角形，其面积为12×5×12＝30，阴影部分的面积为12×π×22＝2π，所以其概率为2π30＝π15.【答案】π154．若m∈(0，3)，则直线(m＋2)x＋(3－m)y－3＝0与x轴、y轴围成的三角形的面积小于98的概率为________．【解析】对于直线方程(m＋2)x＋(3－m)y－3＝0，令x＝0，得y＝33－m；令y＝0，得x＝3m＋2，由题意可得12·3m＋2·33－m98，因为m∈(0，3)，所以解得0m2，由几何概型的概率计算公式可得，所求事件的概率是23.【答案】235．已知袋子中放有大小和形状相同的小球若干，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n个．若从袋子中随机抽取1个小球，取到标号为2的小球的概率是12.(1)求n的值．(2)从袋子中不放回地随机抽取2个小球，记第一次取出的小球标号为a，第二次取出的小球标号为b.①记“2≤a＋b≤3”为事件A，求事件A的概率；②在区间[0，2]内任取2个实数x，y，求事件“x2＋y2(a－b)2恒成立”的概率．【解析】(1)依题意共有小球n＋2个，标号为2的小球n个，从袋子中随机抽取1个小球，取到标号为2的小球概率为nn＋2＝12，得n＝2.(2)①从袋子中不放回地随机抽取2个小球，(a，b)所有可能的结果为(0，1)，(0，2)，(0，2)，(1，2)，(1，2)，(2，2)，(1，0)，(2，0)，(2，0)，(2，1)，(2，1)，(2，2)，共有12种，而满足2≤a＋b≤3的结果有8种，故P(A)＝812＝23.②由①可知，(a－b)2≤4，故x2＋y24，(x，y)可以看成平面中的点的坐标，则全部结果所构成的区域为Ω＝{(x，y)|0≤x≤2，0≤y≤2，x，y∈R}，由几何概型得概率为P＝22－14π·2222＝1－π4.