二阶系统的时间响应分析

四、二阶系统的时间响应1、二阶系统222222121)(nnnssTssTsG其中，T为时间常数，也称为无阻尼自由振荡周期，为阻尼比；n＝1/T为系统的无阻尼固有频率。二阶系统的特征方程：0222nnss极点（特征根）：122,1nnp临界阻尼二阶系统：＝1具有两个相等的负实数极点：np2,1系统包含两类瞬态衰减分量：ttnntee,过阻尼二阶系统：1具有两个不相等的负实数极点：122,1nnp系统包含两类瞬态衰减分量：tnn1exp2122,1nnp欠阻尼二阶系统（振荡环节）：01具有一对共轭复数极点：dnnnjjp22,11系统时域响应含有衰减的复指数振荡项：tjttjdndneee)(其中，21nd称为阻尼振荡频率。122,1nnp零阻尼二阶系统：＝0具有一对共轭虚极点：njp2,1系统时域响应含有复指数振荡项：tjne负阻尼二阶系统：0极点实部大于零，响应发散，系统不稳定。21,21nnp122,1nnp2、二阶系统的单位脉冲响应01：2()sin,01ntnodxtett222211)1()()()(nnnowwswLsGLtx222()2nnnGsss=1：0,)(2ttetxtnon=0：0,sin)(tttxnno2()sin,01ntnodxtett1：012)(11222teetxttnonn3、二阶系统的单位阶跃响应ssXi1)()2()()()(222nnniossssXsGsX欠阻尼（01）状态0),sin(11)(2ttetxdton其中，21ndarccos12arctg欠阻尼二阶系统单位阶跃响应曲线5101500.20.40.60.811.21.41.61.82tp=0.2=0.4=0.6=0.8t欠阻尼二阶系统单位阶跃响应的特点xo()=1，无稳态误差；瞬态分量为振幅等于的阻尼正弦振荡，其振幅衰减的快慢由和n决定。阻尼振荡频率；21tne21nd振荡幅值随减小而加大。0),sin(11)(2ttetxdton10txo(t)特点单调上升，无振荡、无超调；xo()=1，无稳态误差。临界阻尼（=1）状态0,)1(1)(tettxtnon)2()()()(222nnniossssXsGsX过阻尼（1）状态0)11(21)11(211)()1(22)1(2222teetxttonn，01txo(t)特点单调上升，无振荡，过渡过程时间长xo()=1，无稳态误差。无阻尼（=0）状态0,cos1)(tttxno210txo(t)特点频率为n的等幅振荡。)2()()()(222nnniossssXsGsX负阻尼（0）状态0txo(t)-10t0xo(t)-1-10：输出表达式与欠阻尼状态相同。-1：输出表达式与过阻尼状态相同。特点：振荡发散特点：单调发散几点结论二阶系统的阻尼比决定了其振荡特性：0时，阶跃响应发散，系统不稳定；1时，无振荡、无超调，过渡过程长；01时，有振荡，愈小，振荡愈严重，但响应愈快；=0时，出现等幅振荡。工程中除了一些不允许产生振荡的应用，如指示和记录仪表系统等，通常采用欠阻尼系统，且阻尼比通常选择在0.4~0.8之间，以保证系统的快速性同时又不至于产生过大的振荡。一定时，n越大，瞬态响应分量衰减越迅速，即系统能够更快达到稳态值，响应的快速性越好。例题例1单位脉冲信号输入时，系统的响应为：求系统的传递函数。toetx657)(解：由题意Xi(s)=1，所以：]57[)]([)()()()(6tooioeLtxLsXsXsXsG)6(422657sssss例2解：1）单位阶跃输入时已知系统传递函数：求系统的单位阶跃响应和单位脉冲响应。2)1(12)(sssG11)1(11)1(12)()()(22sssssssXsGsXio从而：ttooetesXLtx1)]([)(2）单位脉冲输入时，由于)](1[)(tdtdt因此：ttooteetxdtdtx2)()(16、二阶系统的性能指标控制系统的时域性能指标控制系统的性能指标是评价系统动态品质的定量指标，是定量分析的基础。系统的时域性能指标通常通过系统的单位阶跃响应进行定义。常见的性能指标有：上升时间tr、峰值时间tp、调整时间ts、最大超调量Mp、振荡次数N。10tMp允许误差=0.05或0.02trtpts0.10.9xo(t)控制系统的时域性能指标评价系统快速性的性能指标上升时间tr响应曲线从零时刻出发首次到达稳态值所需时间。对无超调系统，上升时间一般定义为响应曲线从稳态值的10%上升到90%所需的时间。峰值时间tp响应曲线从零上升到第一个峰值所需时间。调整时间ts响应曲线到达并保持在允许误差范围（稳态值的2%或5%）内所需的时间。最大超调量Mp响应曲线的最大峰值与稳态值之差。通常用百分数表示：评价系统平稳性的性能指标%100)()()(oopopxxtxM若xo(tp)xo()，则响应无超调。振荡次数N在调整时间ts内系统响应曲线的振荡次数。实测时，可按响应曲线穿越稳态值次数的一半计数。欠阻尼二阶系统的时域性能指标上升时间tr1sin11)(2rdtrotetxrn根据上升时间的定义有：欠阻尼二阶系统的阶跃响应为：0),sin(11)(2ttetxdton2221arccos11nndrarctgt从而：即：0sinrdt,2,1,0,kktrd显然，一定时，n越大，tr越小；n一定时，越大，tr越大。峰值时间tp，并将t=tp代入可得：0)(dttdxo令0)cos(1)sin(122pdtdpdtntetepnpn即：tgttgpd21)(,2,1,0,kktpd根据tp的定义解上方程可得：21ndpt可见，峰值时间等于阻尼振荡周期Td＝2/d的一半。且一定，n越大，tp越小；n一定，越大，tp越大。最大超调量Mp%100%100)()()(21exxtxMoopop显然，Mp仅与阻尼比有关。最大超调量直接说明了系统的阻尼特性。越大，Mp越小，系统的平稳性越好，当=0.4~0.8时，可以求得相应的Mp=25.4%~1.5%。00.10.20.30.40.50.60.70.80.910102030405060708090100Mp二阶系统Mp—图211lnpM调整时间ts对于欠阻尼二阶系统，其单位阶跃响应的包络线为一对对称于响应稳态分量1的指数曲线：211tnet01xo(t)211tne211tne21112111T2T3T4TT2当包络线进入允许误差范围之内时，阶跃响应曲线必然也处于允许误差范围内。因此利用：1112tnenst21lnln可以求得：由上式求得的ts包通常偏保守。当一定时，n越大，ts越小，系统响应越快。05.0,302.0,41lnln2nnnst当00.7时，振荡次数NN仅与有关。与Mp一样直接说明了系统的阻尼特性。越大，N越小，系统平稳性越好。2122nddT对欠阻尼二阶系统，振荡周期02.0,1205.0,15.122dsTtN则二阶系统的动态性能由n和决定。结论通常根据允许的最大超调量来确定。一般选择在0.4~0.8之间，然后再调整n以获得合适的瞬态响应时间。一定，n越大，系统响应快速性越好，tr、tp、ts越小。增加可以降低振荡，减小超调量Mp和振荡次数N，但系统快速性降低，tr、tp增加；510150=0.2=0.4=0.6=0.8例题1图a)所示机械系统，当在质量块M上施加f(t)=8.9N的阶跃力后，M的位移时间响应如图b)。试求系统的质量M、弹性系数K和粘性阻尼系数C的值。mf(t)KCxo(t)a)00.030.00292t/s13xo(t)/mtpb)解：根据牛顿第二定律：22)()()()(dttxdMdttdxCtKxtfooo2222211)()()(nnnossKKCsMssFsXsGKMCMKn2,其中，系统的传递函数为：sKCsMssXsGsXio9.81)()()(2由于F(s)=L[f(t)]=L[8.9]=8.9/s，因此根据拉氏变换的终值定理：KKCsMsssXxsoso9.89.8lim)(lim)(200由图b)知xo()=0.03m，因此：K=8.9/0.03=297N/m又由图b)知：%7.9%10003.00029.0%10021eMp解得：=0.6212npt又由：代入，可得n=1.96rad/sKMCMKn2,根据解得M=77.3Kg，C=181.8Nm/s例题2已知单位反馈系统的开环传递函数为：求K=200时，系统单位阶跃响应的动态性能指标。若K增大到1500或减小到13.5，试分析动态性能指标的变化情况。)5.34(5)(ssKsG解：系统闭环传递函数为：KssKsGsGs55.345)(1)()(21）K=200时10005.341000)(2sssn=31.6rad/s，=0.545stnr081.01arccos2)05.0(174.03stns%13%10021eMp21.510.731(0.05)Nstnp12.0122）K=1500时n=86.2rad/s，=0.2，同样可计算得：tr=0.021s，tp=0.037s，Mp=52.7%ts=0.174s，N=2.34可见，增大K，减小，n提高，引起tp减小，Mp增大，而ts无变化即系统可以视为由两个时间常数不同的一阶系统串联组成，其中T1=0.481s,T2=0.0308s3）K=13.5时n=8.22rad/s，=2.1，系统工作于过阻尼状态，传递函数可以改写为：)10308.0)(1481.0(15.675.345.67)(2sssssG对于过阻尼系统，tp，Mp，N已无意义，而调整时间ts间可以通过其中时间常数大的一阶系统进行估算，即：ts=3T1=1.443s(=0.05)显然，ts比前两种情形要大得多，虽然系统无超调，但过渡过程缓慢。五、高阶系统的时间响应1、高阶系统的单位阶跃响应)()()()(11101110mnasasasabsbsbsbsXsX