2020届高考数学一轮复习 综合检测一（标准卷）文（含解析） 新人教A版

综合检测一(标准卷)考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间120分钟，满分150分．4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合M＝{2,3,4,5}，N＝{x|x2－5x＋40}，则M∩N为()A．{2,3,4,5}B．{2,3}C．{3,4,5}D．{2,3,4}答案B解析∵N＝{x|x2－5x＋40}＝{x|1x4}，M＝{2,3,4,5}，则M∩N＝{2,3}．2．设复数z满足(1－i)z＝3＋i，则|z|等于()A.2B．2C．22D.5答案D解析z＝3＋i1－i＝3＋i1＋i1＋i1－i＝1＋2i.所以|z|＝1＋22＝5.3．直线x－y＋m＝0与圆(x－1)2＋y2＝2有两个不同交点的充要条件是()A．－3m1B．－4m2C．0m1D．m1答案A解析圆(x－1)2＋y2＝2，圆心(1,0)到直线x－y＋m＝0的距离小于半径2，由点到直线的距离公式得|1＋m|22，∴－3m1.4．若x，y满足x＋y－1≥0，x－y－1≤0，x－3y＋3≥0，则z＝x＋2y的最大值为()A．8B．7C．2D．1答案B解析作出题设约束条件可行域，如图△ABC内部(含边界)，作直线l：x＋2y＝0，把直线l向上平移，z增加，当l过点B(3,2)时，z＝3＋2×2＝7为最大值．故选B.5．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为()A.6＋π36B.8＋π36C.8＋2π36D.9＋2π36答案B解析几何体为一个四棱锥与一个半圆锥的组合体，四棱锥的高为3，底面为边长为2的正方形；半圆锥高为3，底面为半径为1的半圆，因此体积为13×3×22＋13×3×π·122＝8＋π36，故选B.6．已知a1＝1，an＝n(an＋1－an)(n∈N*)，则数列{an}的通项公式是()A．an＝nB．an＝n＋1nn－1C．an＝n2D．an＝2n－1答案A解析由已知整理得(n＋1)an＝nan＋1，∴an＋1n＋1＝ann，∴数列ann是常数列．且ann＝a11＝1，∴an＝n，故选A.7．若sinπ6－α＝13，则cos2π3＋2α等于()A.79B．－79C.73D．－73答案B解析∵sinπ6－α＝cosπ2－π6－α＝cosα＋π3＝13，∴cos2π3＋2α＝2cos2α＋π3－1＝2×19－1＝－79.故选B.8．如图是一个算法的程序框图，当输入的x的值为7时，输出的y值恰好是－1，则“？”处应填的关系式可能是()A．y＝2x＋1B．y＝3－xC．y＝|x|D．y＝13logx答案A解析依题意，输入的x的值为7，执行4次循环体，x的值变为－1，这时，如果输出的y值恰好是－1，则函数关系式可能为y＝2x＋1.9.函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)其中A0，||φπ2的图象如图所示，为了得到g(x)＝cosωx的图象，则只要将f(x)的图象()A．向左平移π12个单位长度B．向右平移π12个单位长度C．向左平移π6个单位长度D．向右平移π6个单位长度答案A解析由函数的图象可得A＝1，则T4＝14×2πω＝7π12－π3，可得ω＝2，由图象可得2×π3＋φ＝kπ(k∈Z)，又|φ|π2，可得φ＝π3，故函数的解析式为f(x)＝sin2x＋π3，由f(x)＝sin2x＋π3＝cosπ6－2x＝cos2x－π12，故将函数f(x)的图象向左平移π12个单位长度可得到g(x)＝cosωx的图象．10．球面上有三点A，B，C组成这个球的一个截面的内接三角形的三个顶点，其中AB＝6，BC＝8，AC＝10，球心到这个截面的距离为球半径的一半，则球的表面积为()A.400π3B．150πC.500π3D.600π7答案A解析∵AB2＋BC2＝AC2，∴△ABC为直角三角形，其外接圆半径为AC2＝5，即截面的圆的半径为r＝5，又球心到截面的距离为d＝R2，∴R2－R22＝r2＝25，R＝1033，∴S＝4πR2＝400π3.11．抛物线y2＝2px(p0)的焦点为F，已知点A和B分别为抛物线上的两个动点．且满足∠AFB＝120°，过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则||MN||AB的最大值为()A.3B．1C.233D.33答案D解析如图所示，过A，B分别作准线的垂线AQ，BP，垂足分别为Q，P，设|AF|＝a，|BF|＝b，由抛物线的定义，得|AF|＝|AQ|，|BF|＝|BP|，在梯形ABPQ中，2|MN|＝|AQ|＋|BP|＝a＋b，由余弦定理得：|AB|2＝a2＋b2－2abcos120°＝a2＋b2＋ab，整理得|AB|2＝(a＋b)2－ab，因为ab≤a＋b22，则(a＋b)2－ab≥(a＋b)2－a＋b22＝34(a＋b)2，即|AB|2≥34(a＋b)2，所以|AB|2|MN|2≥34a＋b214a＋b2＝3，所以|AB||MN|≥3，即|MN||AB|≤33，当且仅当a＝b，即|AF|＝|BF|时取等号，故选D.12．已知函数f(x)＝lnx＋x－t2x，t∈R，若对任意的x∈[1,2]，f(x)－x·f′(x)恒成立，则实数t的取值范围是()A．(－∞，2)B.－∞，32C．(－∞，3)D.－∞，94答案B解析∵f′(x)＝x2－lnx＋1－t2x2，∴对任意的x∈[1,2]，f′(x)·x＋f(x)＞0恒成立⇔对任意的x∈[1,2]，2x2－2tx＋1x＞0恒成立⇔对任意的x∈[1,2]，2x2－2tx＋1＞0恒成立⇔t＜2x2＋12x＝x＋12x＝x＋12x恒成立，令g(x)＝x＋12x，又g(x)＝x＋12x在[1,2]上单调递增，∴g(x)min＝g(1)＝32，∴t＜32.第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．已知向量a＝(1，3)，b＝(3，m)，且b在a上的投影为3，则a与b的夹角为________．答案π6解析∵b在a上的投影为3，∴|b|cos〈a，b〉＝|b|·b·a|b|·|a|＝3＋3m2＝3，m＝3，cos〈a，b〉＝a·b|a|·|b|＝62×23＝32，∵0≤〈a，b〉≤π，∴向量a与b的夹角为π6.14．定义在R上函数f(x)＝2x－1，x≤1，|x－3|－1，x1，则不等式f(x)－12的解集为________．答案xx－1或52x72解析当x≤1时，f(x)＝2x－1－12，∴2x12⇒x－1；当x1时，f(x)＝|x－3|－1－12⇒52x72，∴不等式f(x)－12的解集为xx－1或52x72.15．已知圆O：x2＋y2＝1与x轴负半轴的交点为A，P为直线3x＋4y－a＝0上一点，过P作圆O的切线，切点为T，若|PA|＝2|PT|，则a的最大值为________．答案233解析易知A(－1,0)，设P(x，y)，由|PA|＝2|PT|，可得(x＋1)2＋y2＝4(x2＋y2－1)，化简得x－132＋y2＝169，可转化为直线3x＋4y－a＝0与圆x－132＋y2＝169有公共点，所以d＝|1－a|5≤43，解得－173≤a≤233.故a的最大值为233.16．已知函数f(x)＝3xa－2x2＋lnx(a0)，若函数f(x)在[1,2]上为单调函数，则a的取值范围是____________．答案0，25∪[1，＋∞)解析f′(x)＝3a－4x＋1x，若函数f(x)在[1,2]上为单调函数，即f′(x)＝3a－4x＋1x≥0或f′(x)＝3a－4x＋1x≤0在[1,2]上恒成立，即3a≥4x－1x或3a≤4x－1x在[1,2]上恒成立．令h(x)＝4x－1x，则h(x)在[1,2]上单调递增，所以3a≥h(2)或3a≤h(1)，即3a≥152或3a≤3，又a＞0，所以0＜a≤25或a≥1.三、解答题(本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(12分)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足b2＋c2＝bc＋a2.(1)求角A的大小；(2)若等差数列{an}的公差不为零，a1cosA＝1，且a2，a4，a8成等比数列，求4anan＋1的前n项和Sn.解(1)∵b2＋c2＝bc＋a2，∴cosA＝b2＋c2－a22bc＝bc2bc＝12，又A∈(0，π)，∴A＝π3.(2)设{an}的公差为d，由已知得a1＝1cosA＝2，且a24＝a2a8，∴(2＋3d)2＝(2＋d)(2＋7d)．又d不为零，∴d＝2，∴an＝2n，∴4anan＋1＝1nn＋1＝1n－1n＋1，∴Sn＝1－12＋12－13＋…＋1n－1n＋1＝1－1n＋1＝nn＋1.18．(12分)为选拔选手参加“全市高中数学竞赛”，某中学举行了一次“数学竞赛”活动，为了了解本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的分数(得分取正整数，满分为100分)作为样本(样本容量为n)进行统计．按照[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图(图中仅列出了得分在[50,60)，[90,100]的数据)．(1)求样本容量n和频率分布直方图中的x，y的值；(2)在选取的样本中，从竞赛成绩在80分以上(含80分)的学生中随机抽取2名学生参加“全市高中数学竞赛”，求所抽取的2名学生中至少有一人得分在[90,100]内的概率．解(1)由题意可知，样本容量n＝80.016×10＝50，y＝250×10＝0.004，x＝0.100－0.004－0.010－0.016－0.040＝0.030.(2)由题意可知，分数在[80,90)内的学生有5人，记这5人分别为a1，a2，a3，a4，a5，分数在[90,100]内的学生有2人，记这2人分别为b1，b2.抽取的2名学生的所有情况有21种，分别为：(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，a4)，(a1，a5)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，a3)，(a2，a4)，(a2，a5)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，a4)，(a3，a5)，(a3，b1)，(a3，b2)，(a4，a5)，(a4，b1)，(a4，b2)，(a5，b1)，(a5，b2)，(b1，b2)．其中2名同学的分数都不在[90,100]内的情况有10种，分别为：(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，a4)，(a1，a5)，(a2，a3)，(a2，a4)，(a2，a5)，(a3，a4)，(a3，a5)，(a4，a5)．∴所抽取的2名学生中至少有一人得分在[90,100]内的概率P＝1－1021＝1121.19．(12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，AB＝2AD＝2，PD＝BD＝3AD，且PD⊥底面ABCD.(1)证明：BC⊥平面PBD；(2)若Q为PC的中点，求三棱锥A－PBQ的体积．(1)证明∵AD2＋BD2＝AB2，∴AD⊥BD，∵AD∥BC，∴BC⊥BD.又∵PD⊥底面ABCD，∴PD⊥BC.∵PD∩BD＝D，PD，BD⊂平面PBD，∴BC⊥平面PBD.(2)解三棱锥A－PBQ的体积VA－PBQ与三