2020届高考数学一轮复习 单元检测八 立体几何（提升卷）单元检测 文（含解析） 新人教A版

单元检测八立体几何(提升卷)考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间100分钟，满分130分．4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．长方体的一个顶点上三条棱长分别是3,4,5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是()A．25πB．50πC．125πD．都不对答案B解析长方体的8个顶点都在同一球面上，则这个球是长方体的外接球，所以球直径等于长方体的体对角线长，即R＝32＋42＋522＝522，所以球的表面积为4πR2＝4π·5222＝50π，故选B.2.如图所示的正方形O′A′B′C′的边长为1cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是()A．6cmB．8cmC．(2＋32)cmD．(2＋23)cm答案B解析由斜二测画法知，原图四边形OABC为平行四边形，OB⊥OA，OA＝1cm，OB＝22cm，所以AB＝3cm，因此其周长为(3＋1)×2＝8cm.3．(2018·广东省广州市培正中学模拟)下列命题中，错误的是()A．平行于同一平面的两个平面平行B．平行于同一直线的两个平面平行C．一条直线与两个平行平面中的一个相交，那么这条直线必和另一个平面相交D．一条直线与两个平行平面所成的角相等答案B解析选项A正确，是面面平行的传递性．选项B错误，比如正方体的两相邻侧面与一侧棱都平行，但两侧面所在平面相交．选项C正确，由反证法，若直线与另一平面不相交，则直线在平面内或直线与平面平行，与直线与第一个平面相交矛盾．选项D正确，由线面角定义可知正确．4.如图，在多面体ABCDEF中，已知面ABCD是边长为3的正方形，EF∥AB，EF＝32，且EF与面ABCD的距离为2，则该多面体的体积为()A.92B．5C．6D.152答案D解析分别取AB，CD的中点G，H，连接EG，GH，EH，把该多面体分割成一个四棱锥与一个三棱柱，可求得四棱锥的体积为3，三棱柱的体积为92，所以整个多面体的体积为152.5．如图，一个空间几何体的正视图，侧视图，俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边的长为1，那么这个几何体的体积为()A.16B.12C.13D．1答案A解析由三视图还原可知，原图形是底面是直角边为1的等腰直角三角形，两侧面也是直角边为1的等腰直角三角形，另一侧面是边长为2的等边三角形的三棱锥．所以体积为V＝13×12×1×1×1＝16，选A.6．设a，b是异面直线，则以下四个命题：①存在分别经过直线a和b的两个互相垂直的平面；②存在分别经过直线a和b的两个平行平面；③经过直线a有且只有一个平面垂直于直线b；④经过直线a有且只有一个平面平行于直线b，其中正确的个数为()A．1B．2C．3D．4答案C解析对于①，可以在两个互相垂直的平面中，分别画一条直线，当这两条直线异面时，可判断①正确；对于②，可在两个平行平面中，分别画一条直线，当这两条直线异面时，可判断②正确；对于③，当这两条直线不垂直时，不存在这样的平面满足题意，可判断③错误；对于④，假设过直线a有两个平面α，β与直线b平行，则平面α，β相交于直线a，过直线b作一平面γ与平面α，β相交于两条直线m，n都与直线b平行，可得a与b平行，所以假设不成立，所以④正确，故选C.7．(2018·广东省广州市培正中学模拟)如图，长方体ABCD—A1B1C1D1中，∠DAD1＝45°，∠CDC1＝30°，那么异面直线AD1与DC1所成角的余弦值是()A.28B.38C.24D.34答案C解析由∠DAD1＝45°，∠CDC1＝30°，可设AD＝DD1＝1，CD＝3.连接BC1，BD.由AD1∥BC1，所以异面直线AD1与DC1所成的角，即∠BC1D.在△BDC1中，BC1＝2，BD＝2，C1D＝2，由余弦定理可得cos∠BC1D＝C1D2＋BC21－BD22C1D·BC1＝22＋2－222×2×2＝24，所以异面直线AD1与DC1所成角的余弦值是24，选C.8．△ABC所在的平面为α，直线l⊥AB，l⊥AC，直线m⊥BC，m⊥AC，则直线l，m的位置关系是()A．相交B．平行C．异面D．不确定答案B解析∵l⊥AB，l⊥AC，AB∩AC＝A，AB，AC⊂平面ABC，∴l⊥平面ABC.∵m⊥BC，m⊥AC，BC∩AC＝C，BC，AC⊂平面ABC，∴m⊥平面ABC，∴l∥m，故选B.9．已知α，β是两个平面，直线l⊄α，l⊄β，若以①l⊥α；②l∥β；③α⊥β中两个为条件，另一个为结论构成三个命题，则其中正确的命题有()A．①③⇒②；①②⇒③B．①③⇒②；②③⇒①C．①②⇒③；②③⇒①D．①③⇒②；①②⇒③；②③⇒①答案A解析因为α⊥β，所以在β内找到一条直线m，使m⊥α，又因为l⊥α，所以l∥m.又因为l⊄β，所以l∥β，即①③⇒②；因为l∥β，所以过l可作一平面γ∩β＝n，所以l∥n，又因为l⊥α，所以n⊥α，又因为n⊂β，所以α⊥β，即①②⇒③.故选A.10．已知互相垂直的平面α，β交于直线l.若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则()A．m∥lB．m∥nC．n⊥lD．m⊥n答案C解析∵互相垂直的平面α，β交于直线l，直线m,n满足m∥α，∴m∥β或m⊂β或m与β相交，∵n⊥β，l⊂β，∴n⊥l.故选C.11.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱BC和棱CC1的中点，则异面直线AC与MN所成的角为()A．30°B．45°C．60°D．90°答案C解析连接BC1，AD1，D1C.∵M，N分别为BC，CC1的中点，∴MN∥BC1.又易证得BC1∥AD1，∴MN∥AD1.∴∠D1AC即为异面直线AC和MN所成的角．∵ABCD－A1B1C1D1为正方体，∴AC＝AD1＝D1C.即△D1AC为正三角形，∴∠D1AC＝60°.故C正确．12.点P在正方体侧面BCC1B1及其边界上运动，并且保持AP⊥BD1，则点P的轨迹为()A．线段B1CB．BB1的中点与CC1的中点连成的线段C．线段BC1D．BC的中点与B1C1的中点连成的线段答案A解析∵AP⊥BD1恒成立，∴要保证AP所在的平面始终垂直于BD1.∵AC⊥BD1，AB1⊥BD1，AC∩AB1＝A，AC，AB1⊂平面AB1C，∴BD1⊥平面AB1C，∴P点在线段B1C上运动．故选A.第Ⅱ卷(非选择题共70分)二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．往一个直径为32厘米的圆柱形水桶中放入一个铁球，球全部没入水中后，水面升高9厘米，则此球的半径为________厘米．答案12解析V＝Sh＝πr2h＝43πR3，R＝334r2h＝364×27＝12.14.如图，E，F分别为正方体的平面ADD1A1、平面BCC1B1的中心，则四边形BFD1E在该正方体的面上的射影可能是____________．(填序号)答案②③解析因为正方体是对称的几何体，所以四边形BFD1E在该正方体的面上的射影可分为：自上而下、自左至右、由前及后三个方向的射影，也就是在平面ABCD、平面CDD1C1、平面BCC1B1上的射影．四边形BFD1E在平面ABCD和平面CDD1C1上的射影相同，如图②所示；四边形BFD1E在该正方体对角面的ABC1D1内，它在平面BCC1B1上的射影显然是一条线段，如图③所示．故②③正确．15.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱AA1和AB上的点，若∠B1MN是直角，则∠C1MN＝__________.答案90°解析因为C1B1⊥平面ABB1A1，MN⊂平面ABB1A1，所以C1B1⊥MN.又因为MN⊥MB1，MB1，C1B1⊂平面C1MB1，MB1∩C1B1＝B1，所以MN⊥平面C1MB1，所以MN⊥C1M，所以∠C1MN＝90°.16.如图，∠BAC＝90°，PC⊥平面ABC，则在△ABC和△PAC的边所在的直线中，与PC垂直的直线有________；与AP垂直的直线有________．答案AB，BC，ACAB解析∵PC⊥平面ABC，∴PC垂直于直线AB，BC，AC；∵AB⊥AC，AB⊥PC，AC∩PC＝C，∴AB⊥平面PAC，∴与AP垂直的直线是AB.三、解答题(本题共4小题，共50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(12分)如图，在直三棱柱(侧棱垂直于底面)ABC－A1B1C1中，AC＝9，BC＝12，AB＝15，AA1＝12，点D是AB的中点．(1)求证：AC⊥B1C；(2)求证：AC1∥平面CDB1.证明(1)∵三棱柱ABC－A1B1C1为直三棱柱，∴CC1⊥平面ABC，又AC⊂平面ABC，∴CC1⊥AC.又∵AC＝9，BC＝12，AB＝15，∴AC2＋BC2＝AB2，∴AC⊥BC.∵CC1，BC⊂平面BB1C1C，CC1∩BC＝C，∴AC⊥平面BB1C1C，又B1C⊂平面BB1C1C，∴AC⊥B1C.(2)取A1B1的中点D1，连接C1D1，D1D和AD1，∵AD∥D1B1，且AD＝D1B1，∴四边形ADB1D1为平行四边形，∴AD1∥DB1，又∵AD1⊄平面CDB1，DB1⊂平面CDB1，∴AD1∥平面CDB1.∵CC1∥DD1，且CC1＝DD1，∴四边形CC1D1D为平行四边形，∴C1D1∥CD，又∵CD⊂平面CDB1，C1D1⊄平面CDB1，∴C1D1∥平面CDB1，∵AD1∩C1D1＝D1，AD1，C1D1⊂平面AC1D1，∴平面AC1D1∥平面CDB1，又AC1⊂平面AC1D1，∴AC1∥平面CDB1.18．(12分)如图，四棱锥P－ABCD的底面是矩形，侧面PAD是正三角形，且侧面PAD⊥底面ABCD，E为侧棱PD的中点．(1)求证：PB∥平面EAC；(2)求证：AE⊥平面PCD；(3)当ADAB为何值时，PB⊥AC?(1)证明连接BD交AC于O，连接EO，因为O，E分别为BD，PD的中点，所以EO∥PB，因为EO⊂平面EAC，PB⊄平面EAC，所以PB∥平面EAC.(2)证明矩形ABCD⇒CD⊥AD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，平面ABCD⊥平面PAD⇒CD⊥平面PAD，CD⊂平面PDC⇒平面PDC⊥平面PAD，正三角形PAD中，E为PD的中点，所以AE⊥PD，又平面PDC∩平面PAD＝PD，所以AE⊥平面PCD.(3)解设N为AD中点，连接PN，则PN⊥AD.又平面PAD⊥底面ABCD，所以PN⊥底面ABCD.所以，NB为PB在平面ABCD上的射影．要使PB⊥AC，只需NB⊥AC，在矩形ABCD中，设AD＝BC＝1，AB＝x，AN＝12，由∠ANB＝∠BAC，得Rt△NAB∽Rt△ABC，ANAB＝ABBC⇒AB2＝AN·BC⇒x2＝12，解得x＝22，所以，当ADAB＝2时，PB⊥AC.19．(13分)如图，已知四棱锥P－ABCD，底面四边形ABCD为菱形，AB＝2，BD＝23，M，N分别是线段PA，PC的中点．(1)求证：MN∥平面ABCD；(2)求异面直线MN与BC所成角的大小．(1)证明连接AC交BD于点O，∵M，N分别是线段PA，PC的中点，∴MN∥AC，∵MN⊄平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴MN∥平面ABCD.(2)解由(1)知，∠ACB就是异面直线MN与BC所成的角或其补角．∵四边形ABCD为菱形，AB＝2，BD＝23，∴在Rt△BOC中，BC＝2，BO＝3，∴∠OCB＝60°，∴异面直线MN与BC所成的角为60°.20．(13分)(2017·北京)如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA＝AB＝BC＝2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点．(1)求证：PA⊥BD；(2)求证：平面BDE⊥平面PAC；(3)当PA∥平面BDE时，求三棱锥E－BC