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专题突破练(7)概率与其他知识的交汇一、选择题1．(2018·太原五中测试)在区间[1，5]上随机地取一个数m，则方程4x2＋m2y2＝1表示焦点在y轴上的椭圆的概率是()A．15B．14C．35D．34答案B解析由方程4x2＋m2y2＝1，即x214＋y21m2＝1表示焦点在y轴上的椭圆，得141m2，即m24，而1≤m≤5，则1≤m＜2，则所求概率为2－15－1＝14．故选B．2．(2018·湖南六校联考)折纸已经成为开发少年儿童智力的一种重要工具和手段，已知在折叠“爱心”活动中，会产生如图所示的几何图形，其中四边形ABCD为正方形，G为线段BC的中点，四边形AEFG与四边形DGHI也是正方形，连接EB，CI，则向多边形AEFGHID中投掷一点，则该点落在阴影部分的概率为()A．112B．18C．16D．524答案C解析设AB＝2，则BG＝1，AG＝5，故多边形AEFGHID的面积S＝(5)2×2＋12×2×2＝12，由sin∠EAB＝cos∠GAB＝ABAG＝25，所以S阴影部分＝12×AE×AB×sin∠EAB＝2，故所求概率P＝212＝16．故选C．3．(2018·黑龙江虎林一中期末)若随机变量X～N(μ，σ2)(σ0)，则有如下结论：P(μ－σX≤μ＋σ)＝0．6826，P(μ－2σX≤μ＋2σ)＝0．9544，P(μ－3σX≤μ＋3σ)＝0．9974．高三(1)班有40名同学，一次数学考试的成绩服从正态分布，平均分为120，方差为100，理论上说成绩在130分以上人数约为()A．19B．12C．6D．5答案C解析由条件知μ＝120，σ＝10，则P(X130)＝12(1－0．6826)＝0．1587，所以成绩在130分以上人数约为40×0．1587≈6．故选C．4．(2018·广东三校联考)已知函数f(x)＝13x3＋ax2＋b2x＋1，若a是从1，2，3三个数中任取一个数，b是从0，1，2三个数中任取一个数，则该函数有两个极值点的概率为()A．79B．13C．59D．23答案D解析将a记为横坐标，b记为纵坐标，可知有(1，0)，(1，1)，(1，2)，(2，0)，(2，1)，(2，2)，(3，0)，(3，1)，(3，2)，共9个基本事件，而函数有两个极值点的条件为其导函数有两个不相等的实根．因为f′(x)＝x2＋2ax＋b2，满足题中条件为Δ＝4a2－4b20，即ab，所以满足条件的有(1，0)，(2，0)，(2，1)，(3，0)，(3，1)，(3，2)，共6个基本事件，所以所求的概率为P＝69＝23．故选D．5．(2018·湖北部分重点中学联考二)已知实数a，b是利用计算机产生的0～1之间的均匀随机数，设事件A为“(a－1)2＋b214”，则事件A发生的概率为()A．π16B．1－π16C．π4D．1－π4答案B解析分别以a，b为横轴和纵轴建立平面直角坐标系，则符合题意的实数对(a，b)表示的平面区域为边长为1的正方形及其内部，其中使得事件A不发生的实数对(a，b)表示的平面区域为以(1，0)为圆心，半径为12的四分之一个圆及其内部，则事件A发生的概率为1－π4×1221＝1－π16．故选B．6．(2018·山东青岛统测)矩形OABC内的阴影部分由曲线f(x)＝sinx(x∈(0，π))及直线x＝a(a∈(0，π))与x轴围成，向矩形OABC内随机投掷一点，若落在阴影部分的概率为2＋216，则a的值为()A．3π4B．π2C．π4D．5π6答案A解析根据题意，阴影部分的面积为0asinxdx＝1－cosa，矩形的面积为a×8a＝8，故由几何概型的概率公式可得1－cosa8＝2＋216，解得cosa＝－22，所以a＝3π4．故选A．7．(2018·山西考前适应训练)甲、乙二人约定7：10在某处会面，甲在7：00～7：20内某一时刻随机到达，乙在7：05～7：20内某一时刻随机到达，则甲至少需等待乙5分钟的概率是()A．18B．14C．38D．58答案C解析设甲、乙到达约会地点的时刻分别是x，y，则取值范围为7：00≤x≤7：20，7：05≤y≤7：20，对应区域是以20和15为边长的长方形，其中甲至少需等待乙5分钟满足y－x≥5，对应区域是以15为直角边的等腰直角三角形(如图中阴影部分(含边界)所示)，则所求概率为12×15×1520×15＝38．故选C．二、填空题8．(2019·成都模拟)甲、乙两人在5次综合测评中成绩的茎叶图如图所示，其中一个数字被污损，记甲、乙的平均成绩分别为x甲，x乙，则x甲x乙的概率是________．答案25解析乙的综合测评成绩为86，87，91，92，94，x乙＝86＋87＋91＋92＋945＝90，污损处可取数字0，1，2，…，9，共10种，而x甲x乙发生对应的数字有6，7，8，9，共4种，故x甲x乙的概率为410＝25．9．(2018·安徽联考)将一颗骰子投掷两次，第一次出现的点数记为a，第二次出现的点数记为b，设任意投掷两次使l1：x＋ay＝3，l2：bx＋6y＝3平行的概率为P1，不平行的概率为P2，若点(P1，P2)在圆(x－m)2＋y2＝6572的内部，则实数m的取值范围是________．答案－16m13解析由l1∥l2得ab＝6且a≠6，b≠1，满足条件的(a，b)为(1，6)，(2，3)，(3，2)，而所有的(a，b)有6×6＝36种，∴P1＝112，P2＝1112，∴112－m2＋111226572，解得－16m13．10．(2018·福州毕业质检)如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠ABC＝60°，以该菱形的4个顶点为圆心的扇形的半径都为1．若在菱形内随机取一点，则该点取自黑色部分的概率是________．答案6－3π6解析由题可知四个扇形的面积之和刚好为半径为1的圆的面积，此时黑色部分的面积即为菱形面积减去半径为1的圆的面积，从而所求概率为P＝2×12×2×2sin60°－π×122×12×2×2sin60°＝6－3π6．三、解答题11．(2018·河北衡水中学九模)某仪器经过检验合格才能出厂，初检合格率为34；若初检不合格，则需要进行调试，经调试后再次对其进行检验；若仍不合格，作为废品处理，再检合格率为45．每台仪器各项费用如表：项目生产成本检验费/次调试费出厂价金额(元)10001002003000(1)求每台仪器能出厂的概率；(2)求生产一台仪器所获得的利润为1600元的概率(注：利润＝出厂价－生产成本－检验费－调试费)；(3)假设每台仪器是否合格相互独立，记X为生产两台仪器所获得的利润，求X的分布列和数学期望．解(1)记每台仪器不能出厂为事件A，则P(A)＝1－341－45＝120，所以每台仪器能出厂的概率为P(A)＝1－120＝1920．(2)生产一台仪器利润为1600元的概率P＝1－34×45＝15．(3)X的取值可能为3800，3500，3200，500，200，－2800．P(X＝3800)＝34×34＝916，P(X＝3500)＝C12×15×34＝310，P(X＝3200)＝152＝125，P(X＝500)＝C12×34×14×15＝340，P(X＝200)＝C12×14×45×14×15＝150，P(X＝－2800)＝14×152＝1400，X的分布列为X380035003200500200－2800P9163101253401501400E(X)＝3800×916＋3500×310＋3200×125＋500×340＋200×150＋(－2800)×1400＝3350．12．(2018·湖南雅礼中学月考三)某厂用鲜牛奶在某台设备上生产A，B两种奶制品．生产1吨A产品需鲜牛奶2吨，使用设备1小时，获利1000元；生产1吨B产品需鲜牛奶1．5吨，使用设备1．5小时，获利1200元．要求每天B产品的产量不超过A产品产量的2倍，设备每天生产A，B两种产品时间之和不超过12小时．假定每天可获取的鲜牛奶数量W(单位：吨)是一个随机变量，其分布列为W121518P0．30．50．2该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产，使其获利最大，因此每天的最大获利Z(单位：元)是一个随机变量．(1)求Z的分布列和均值；(2)若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立，求3天中至少有1天的最大获利超过10000元的概率．解(1)设每天A，B两种产品的生产数量分别为x，y，相应的获利为z，则有2x＋1.5y≤W，x＋1.5y≤12，2x－y≥0，x≥0，y≥0.(*)目标函数为z＝1000x＋1200y．将z＝1000x＋1200y变形为l：y＝－56x＋z1200，设l0：y＝－56x．当W＝12时，(*)表示的平面区域如图①阴影部分所示，三个顶点分别为A(0，0)，B(2．4，4．8)，C(6，0)．平移直线l0知当直线l过点B，即当x＝2．4，y＝4．8时，z取最大值，故最大获利Z＝zmax＝2．4×1000＋4．8×1200＝8160(元)．当W＝15时，(*)表示的平面区域如图②阴影部分所示，三个顶点分别为A(0，0)，B(3，6)，C(7．5，0)．平移直线l0知当直线l过点B，即当x＝3，y＝6时，z取得最大值，故最大获利Z＝zmax＝3×1000＋6×1200＝10200(元)．当W＝18时，(*)表示的平面区域如图③阴影部分所示，四个顶点分别为A(0，0)，B(3，6)，C(6，4)，D(9，0)．平移直线l0知当直线l过点C，即当x＝6，y＝4时，z取得最大值，故最大获利Z＝zmax＝6×1000＋4×1200＝10800(元)．故最大获利Z的分布列为Z81601020010800P0．30．50．2因此，E(Z)＝8160×0．3＋10200×0．5＋10800×0．2＝9708．(2)由(1)知，一天最大获利超过10000元的概率p1＝P(Z10000)＝0．5＋0．2＝0．7，由二项分布，3天中至少有1天最大获利超过10000元的概率为p＝1－(1－p1)3＝1－0．33＝0．973．13．(2018·河南八市联考一)我们国家正处于老龄化社会中，老有所依也是政府的民生工程．某市共有户籍人口400万，其中老人(年龄60岁及以上)人数约有66万，为了了解老人们的健康状况，政府从老人中随机抽取600人并委托医疗机构免费为他们进行健康评估，健康状况共分为不能自理、不健康尚能自理、基本健康、健康四个等级，并以80岁为界限分成两个群体进行统计，样本频数分布被制作成如下图表：(1)若采用分层抽样的方法从样本中的不能自理的老人中抽取8人进一步了解他们的生活状况，则两个群体中各应抽取多少人？(2)估算该市80岁及以上老人占全市户籍人口的百分比；(3)据统计该市大约有五分之一的户籍老人无固定收入，政府计划为这部分老人每月发放生活补贴，标准如下：①80岁及以上老人每人每月发放生活补贴200元；②80岁以下老人每人每月发放生活补贴120元；③不能自理的老人每人每月额外发放生活补贴100元．利用样本估计总体，试估计政府执行此计划的年度预算．(单位：亿元，结果保留两位小数)解(1)数据整理如下表：健康状况健康基本健康不健康尚能自理不能自理80岁及以上2045201580岁以下2002255025从图表中知采用分层抽样的方法从样本中的不能自理的老人中抽取8人进一步了解他们的生活状况，80岁及以上应抽取8×1515＋25＝3(人)，80岁以下应抽取8×2515＋25＝5(人)．(2)在600人中80岁及以上老人在老人中占比为15＋20＋45＋20600＝16，用样本估计总体，80岁及以上长者为66×16＝11(万人)，80岁及以上老人占全市户籍人口的百分比为11400×100%＝2．75%．(3)解法一：用样本估计总体，设任一户籍老人每月享受的生活补助为X元，P(X＝0)＝45，P(X＝120)＝15×475600＝95600，P(X＝200)＝15×85600＝17600，P(X＝