2020高考数学刷题首选卷 考点测试69 不等式选讲（理）（含解析）

考点测试69不等式选讲高考概览本考点是高考必考知识点，题型为解答题，分值10分，中等难度考纲研读1．理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件：|a＋b|≤|a|＋|b|(a，b∈R)；|a－b|≤|a－c|＋|c－b|(a，b∈R)2．会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax＋b|≤c；|ax＋b|≥c；|x－c|＋|x－b|≥a3．通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法一、基础小题1．不等式1|x＋1|3的解集为()A．(0，2)B．(－2，0)∪(2，4)C．(－4，0)D．(－4，－2)∪(0，2)答案D解析由－3x＋1－1或1x＋13，得－4x－2或0x2．故选D．2．不等式x－2xx－2x的解集是()A．(0，2)B．(－∞，0)C．(2，＋∞)D．(－∞，0)∪(0，＋∞)答案A解析由|t|t知t0，故x－2x0，其解集为0x2．故选A．3．设ab0，下面四个不等式中，正确的是()①|a＋b||a|；②|a＋b||b|；③|a＋b||a－b|；④|a＋b||a|－|b|．A．①和②B．①和③C．①和④D．②和④答案C解析∵ab0，即a，b同号，则|a＋b|＝|a|＋|b|，∴①④正确，②③错误．选C．4．若|mx－1|3的解集为(－1，2)，则m的值是()A．2或－4B．2或－1C．2或－4或－1D．2答案D解析由方程的思想，知－1和2是方程|mx－1|＝3的两个根，∴|m×(－1)－1|＝3，解得m＝2或m＝－4；|2m－1|＝3，解得m＝2或m＝－1，故m＝2．选D．5．不等式|2x＋1|－2|x－1|0的解集为________．答案14，＋∞解析|2x＋1|－2|x－1|0⇔|2x＋1|2|x－1|⇔(2x＋1)24(x－1)2⇔12x3⇔x14，∴原不等式的解集为xx14．6．若不等式|x－1|＋|x＋3|a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为________．答案(－∞，4)解析由题意知(|x－1|＋|x＋3|)mina．因为|x－1|＋|x＋3|≥|(x－1)－(x＋3)|＝4(当－3≤x≤1时取等号)，所以a4．二、高考小题7．(2015·山东高考)不等式|x－1|－|x－5|2的解集是()A．(－∞，4)B．(－∞，1)C．(1，4)D．(1，5)答案A解析①当x1时，原不等式等价于1－x－(5－x)2，即－42，∴x1；②当1≤x≤5时，原不等式等价于x－1－(5－x)2，即x4，∴1≤x4；③当x5时，原不等式等价于x－1－(x－5)2，即42，无解．综合①②③知x4．选A．8．(2015·重庆高考)若函数f(x)＝|x＋1|＋2|x－a|的最小值为5，则实数a＝________．答案－6或4解析当a≤－1时，f(x)＝－3x＋2a－1x≤a，x－2a－1ax≤－1，3x－2a＋1x－1，∴f(x)min＝－a－1，∴－a－1＝5，∴a＝－6；当a－1时，f(x)＝－3x＋2a－1x≤－1，－x＋2a＋1－1x≤a，3x－2a＋1xa，∴f(x)min＝a＋1，∴a＋1＝5，∴a＝4．综上，a＝－6或a＝4．三、模拟小题9．(2018·山东德州模拟)若关于x的不等式|x－2|＋|x＋3|a的解集为∅，则实数a的取值范围为()A．(－∞，1]B．(－∞，1)C．(－∞，5]D．(－∞，5)答案C解析因为|x－2|＋|x＋3|≥|(x－2)－(x＋3)|＝5，又关于x的不等式无解，所以a≤5．选C．10．(2018·重庆统考)设正数x，y，z满足2x＋2y＋z＝1，则3xy＋yz＋zx的最大值为________．答案15解析3xy＋yz＋zx＝3xy＋(x＋y)z＝3xy＋(x＋y)·[1－2(x＋y)]＝3xy＋(x＋y)－2(x＋y)2≤34(x＋y)2＋(x＋y)－2(x＋y)2＝－54(x＋y)2＋(x＋y)＝－54x＋y－252＋15≤15．当且仅当x＝y＝z＝15时等号成立，即3xy＋yz＋zx取得最大值15．一、高考大题1．(2018·全国卷Ⅰ)已知f(x)＝|x＋1|－|ax－1|．(1)当a＝1时，求不等式f(x)1的解集；(2)若x∈(0，1)时不等式f(x)x成立，求a的取值范围．解(1)当a＝1时，f(x)＝|x＋1|－|x－1|，即f(x)＝－2，x≤－1，2x，－1x1，2，x≥1.故不等式f(x)1的解集为xx12．(2)当x∈(0，1)时|x＋1|－|ax－1|x成立等价于当x∈(0，1)时|ax－1|1成立．若a≤0，则当x∈(0，1)时，|ax－1|≥1，不符合题意；若a0，|ax－1|1的解集为0x2a，所以2a≥1，故0a≤2．综上，a的取值范围为(0，2]．2．(2018·全国卷Ⅱ)设函数f(x)＝5－|x＋a|－|x－2|．(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥0的解集；(2)若f(x)≤1，求a的取值范围．解(1)当a＝1时，f(x)＝2x＋4，x≤－1，2，－1x≤2，－2x＋6，x2.可得f(x)≥0的解集为{x|－2≤x≤3}．(2)f(x)≤1等价于|x＋a|＋|x－2|≥4．而|x＋a|＋|x－2|≥|a＋2|，且当x＝2时等号成立．故f(x)≤1等价于|a＋2|≥4．由|a＋2|≥4可得a≤－6或a≥2，所以a的取值范围是(－∞，－6]∪[2，＋∞)．3．(2018·全国卷Ⅲ)设函数f(x)＝|2x＋1|＋|x－1|．(1)画出y＝f(x)的图象；(2)当x∈[0，＋∞)，f(x)≤ax＋b，求a＋b的最小值．解(1)f(x)＝－3x，x－12，x＋2，－12≤x1，3x，x≥1.y＝f(x)的图象如图所示．(2)由(1)知，y＝f(x)的图象与y轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当a≥3且b≥2时，f(x)≤ax＋b在x∈[0，＋∞)上成立，因此a＋b的最小值为5．4．(2017·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝－x2＋ax＋4，g(x)＝|x＋1|＋|x－1|．(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥g(x)的解集；(2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[－1，1]，求a的取值范围．解(1)当a＝1时，不等式f(x)≥g(x)等价于x2－x＋|x＋1|＋|x－1|－4≤0．①当x＜－1时，①式化为x2－3x－4≤0，无解；当－1≤x≤1时，①式化为x2－x－2≤0，从而－1≤x≤1；当x＞1时，①式化为x2＋x－4≤0，从而1＜x≤－1＋172．所以f(x)≥g(x)的解集为x－1≤x≤－1＋172．(2)当x∈[－1，1]时，g(x)＝2，所以f(x)≥g(x)的解集包含[－1，1]等价于当x∈[－1，1]时，f(x)≥2．又f(x)在[－1，1]的最小值必为f(－1)与f(1)之一，所以f(－1)≥2且f(1)≥2，得－1≤a≤1．所以a的取值范围为[－1，1]．5．(2017·全国卷Ⅱ)已知a0，b0，a3＋b3＝2．证明：(1)(a＋b)(a5＋b5)≥4；(2)a＋b≤2．证明(1)(a＋b)(a5＋b5)＝a6＋ab5＋a5b＋b6＝(a3＋b3)2－2a3b3＋ab(a4＋b4)＝4＋ab(a2－b2)2≥4．(2)因为(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3＝2＋3ab(a＋b)≤2＋3a＋b24(a＋b)＝2＋3a＋b34，所以(a＋b)3≤8，因此a＋b≤2．二、模拟大题6．(2018·河南豫南九校联考)已知函数f(x)＝|x＋1|＋|x－3|．(1)若关于x的不等式f(x)a有解，求实数a的取值范围；(2)若关于x的不等式f(x)a的解集为b，72，求a＋b的值．解(1)解法一：不等式等价于af(x)min，f(x)＝2x－2，x3，4，－1≤x≤3，2－2x，x＜－1，绘制函数f(x)的图象如图所示，观察函数的图象，可得实数a的取值范围是(4，＋∞)．解法二：f(x)＝|x＋1|＋|x－3|≥|(x＋1)－(x－3)|＝4，当且仅当－1≤x≤3时，f(x)取得最小值4．关于x的不等式f(x)a有解，则a4，即实数a的取值范围是(4，＋∞)．(2)由题意可得x＝72是方程|x＋1|＋|x－3|＝a的解，据此有a＝72＋1＋72－3＝5，求解绝对值不等式|x＋1|＋|x－3|5可得－32x72．故b＝－32，a＋b＝5－32＝72．7．(2018·河北石家庄二模)设函数f(x)＝|x－1|－|2x＋1|的最大值为m．(1)作出函数f(x)的图象；(2)若a2＋2c2＋3b2＝m，求ab＋2bc的最大值．解(1)因为f(x)＝|x－1|－|2x＋1|，所以f(x)＝x＋2，x≤－12，－3x，－12＜x＜1，－x－2，x≥1，画出图象如图．(2)由(1)可知m＝32．因为32＝m＝a2＋2c2＋3b2＝(a2＋b2)＋2(c2＋b2)≥2ab＋4bc，所以ab＋2bc≤34，当且仅当a＝b＝c＝12时，等号成立．所以ab＋2bc的最大值为34．8．(2018·河北唐山一模)设函数f(x)＝|x＋1|－|x|的最大值为m．(1)求m的值；(2)若正实数a，b满足a＋b＝m，求a2b＋1＋b2a＋1的最小值．解(1)|x＋1|－|x|≤|x＋1－x|＝1，∴f(x)的最大值为1，∴m＝1．(2)由(1)可知，a＋b＝1，∴a2b＋1＋b2a＋1＝13a2b＋1＋b2a＋1[(a＋1)＋(b＋1)]＝13a2a＋1b＋1＋b2b＋1a＋1＋a2＋b2≥13(2ab＋a2＋b2)＝13(a＋b)2＝13，当且仅当a＝b＝12时取等号，∴a2b＋1＋b2a＋1的最小值为13．9．(2018·山西晋中二模)已知函数f(x)＝|x＋1|．(1)若∃x0∈R，使不等式f(x0－2)－f(x0－3)≥u成立，求满足条件的实数u的集合M；(2)已知t为集合M中的最大正整数，若a1，b1，c1，且(a－1)(b－1)(c－1)＝t，求证：abc≥8．解(1)由已知得f(x－2)－f(x－3)＝|x－1|－|x－2|＝－1，x≤1，2x－3，1＜x＜2，1，x≥2，则－1≤f(x)≤1，由于∃x0∈R，使不等式|x0－1|－|x0－2|≥u成立，所以u≤1，即M＝{u|u≤1}．(2)证明：由(1)知t＝1，则(a－1)(b－1)(c－1)＝1，因为a1，b1，c1，所以a－10，b－10，c－10，则a＝(a－1)＋1≥2a－10(当且仅当a＝2时等号成立)，b＝(b－1)＋1≥2b－10(当且仅当b＝2时等号成立)，c＝(c－1)＋1≥2c－10(当且仅当c＝2时等号成立)，则abc≥8a－1b－1c－1＝8(当且仅当a＝b＝c＝2时等号成立)．10．(2018·河南郑州二模)已知函数f(x)＝|2x＋1|，g(x)＝|x|＋a．(1)当a＝0时，解不等式f(x)≥g(x)；(2)若存在x∈R，使得f(x)≤g(x)成立，求实数a的取值范围．解(1)当a＝0时，由f(x)≥g(x)得|2x＋1|≥|x|，两边平方整理得3x2＋4x＋1≥0，解得x≤－1或x≥－13，∴原不等式的解集为(－∞，－1]∪－13，＋∞．(2)由f(x)≤g(x)得a≥|2x＋1|－|x|，令h(x)＝|2x＋1|－|x|，则h(x)＝－x－1，x≤－12，3x＋1，－12x0，x＋1.x≥0，故h(x)min＝h－12＝－12，所以实数a的取值范围为a≥－12．