2020高考数学刷题首选卷 考点测试62 离散型随机变量及其分布列（理）（含解析）

考点测试62离散型随机变量及其分布列高考概览高考在本考点的常考题型为解答题，分值为12分，中等难度考纲研读1．理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性2．理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用一、基础小题1．已知离散型随机变量X的分布列为：X123…nPknknkn…kn则k的值为()A．12B．1C．2D．3答案B解析由分布列的性质知k＝1．2．袋中装有10个红球，5个黑球，每次随机抽取一个球，若取得黑球，则另换一个红球放回袋中，直到取到红球为止，若抽取的次数为X，则表示“放回5个球”的事件为()A．X＝4B．X＝5C．X＝6D．X≤4答案C解析第一次取到黑球，则放回1个球，第二次取到黑球，则共放回2个球，……，共放了五回，第六次取到了红球，试验终止，故X＝6．3．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X去描述1次试验的成功次数，则P(X＝0)等于()A．0B．12C．13D．23答案C解析设失败率为p，则成功率为2p．∴X的分布列为：X01Pp2p则“X＝0”表示试验失败，“X＝1”表示试验成功，∴由p＋2p＝1，得p＝13，即P(X＝0)＝13．故选C．4．某人在打电话时忘了号码的最后四位数字，只记得最后四位数字两两不同且都大于5，于是他随机拨最后四位数字，设他拨到所要号码时已拨的次数为ξ，则随机变量ξ的所有可能取值的种数为()A．24B．20C．18D．4答案A解析由于后四位数字两两不同，且都大于5，即是6，7，8，9四位数字的不同排列，则有A44＝24种．5．从装有3个白球、4个红球的箱子中，随机取出了3个球，恰好是2个白球、1个红球的概率是()A．435B．635C．1235D．36343答案C解析如果将白球视为合格品，红球视为不合格品，则这是一个超几何分布问题，故所求概率为P＝C23C14C37＝1235．6．随机变量ξ的所有可能的取值为1，2，3，…，10，且P(ξ＝k)＝ak(k＝1，2，…，10)，则a的值为()A．1110B．155C．110D．55答案B解析∵随机变量ξ的所有可能的取值为1，2，3，…，10，且P(ξ＝k)＝ak(k＝1，2，…，10)，∴a＋2a＋3a＋…＋10a＝1，∴55a＝1，∴a＝155．7．15个村庄有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用X表示这10个村庄中交通不方便的村庄数，下列概率中等于C47C68C1015的是()A．P(X＝2)B．P(X≤2)C．P(X＝4)D．P(X≤4)答案C解析X服从超几何分布，故P(X＝k)＝Ck7C10－k8C1015，k＝4．8．已知随机变量X的分布列为：P(X＝k)＝12k，k＝1，2，…，则P(2X≤4)等于()A．316B．14C．116D．516答案A解析P(2X≤4)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＝123＋124＝316．故选A．9．老师计划在晚修19：00～20：00解答同学甲、乙的问题，预计解答完一个学生的问题需要20分钟．若甲、乙两人在晚修内的任意时刻去问问题是相互独立的，则两人独自去时不需要等待的概率为()A．29B．49C．59D．79答案B解析设19：00～20：00对应时刻[0，60]，甲、乙问问题的时刻为x，y，则x，y∈[0，60]，两人独自去时不需要等待满足|x－y|≥20，概率为12×60－202×260×60＝49．故选B．10．甲、乙两队在一次对抗赛的某一轮中有3个抢答题，比赛规定：对于每一个题，没有抢到题的队伍得0分，抢到题并回答正确的得1分，抢到题但回答错误的扣1分(即得－1分)；若X是甲队在该轮比赛获胜时的得分(分数高者胜)，则X的所有可能取值是________．答案－1，0，1，2，3解析X＝－1，甲抢到1题但答错了，而乙抢到了2题且都答错了；X＝0，甲没抢到题，乙抢到3题且答错至少2题，或甲抢到2题，但答时1对1错，而乙答错1题；X＝1时，甲抢到1题且答对，乙抢到2题且至少答错1题，或甲抢到3题，且1错2对；X＝2时，甲抢到2题均答对；X＝3时，甲抢到3题均答对．二、高考小题本考点在近三年高考中未涉及此题型．三、模拟小题11．(2018·孝感一模)已知随机变量ξ的分布列如下：ξ012Pabc其中a，b，c成等差数列，则函数f(x)＝x2＋2x＋ξ有且只有一个零点的概率为()A．16B．13C．12D．56答案B解析由题意知a，b，c∈[0，1]，且2b＝a＋c，a＋b＋c＝1，解得b＝13，又函数f(x)＝x2＋2x＋ξ有且只有一个零点，故对于方程x2＋2x＋ξ＝0，Δ＝4－4ξ＝0，解得ξ＝1，所以P(ξ＝1)＝13．故选B．12．(2018·云南师大附中月考)随机变量X的概率分布规律为P(X＝n)＝ann＋1(n＝1，2，3，4)，其中a是常数，则P12X52的值为()A．23B．34C．45D．56答案D解析∵P(X＝n)＝ann＋1(n＝1，2，3，4)，∴a2＋a6＋a12＋a20＝1，∴a＝54，∴P12X52＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝54×12＋54×16＝56．故选D．13．(2018·石家庄质检)如图所示，A，B两点5条连线并联，它们在单位时间内能通过的最大信息量依次为2，3，4，3，2．现记从中任取三条线且在单位时间内都通过的最大信息总量为ξ，则P(ξ≥8)＝________．答案45解析解法一：由已知得ξ的可能取值为7，8，9，10，∵P(ξ＝7)＝C22C12C35＝15，P(ξ＝8)＝C22C11＋C22C12C35＝310，P(ξ＝9)＝C12C12C11C35＝25，P(ξ＝10)＝C22C11C35＝110，∴ξ的概率分布列为：ξ78910P1531025110∴P(ξ≥8)＝P(ξ＝8)＋P(ξ＝9)＋P(ξ＝10)＝310＋25＋110＝45．解法二：P(ξ≥8)＝1－P(ξ＝7)＝1－C22C12C35＝45．一、高考大题1．(2018·天津高考)已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16，现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查．(1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？(2)若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查．①用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望；②设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A发生的概率．解(1)由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7人，因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人．(2)①随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3．P(X＝k)＝Ck4·C3－k3C37(k＝0，1，2，3)．所以，随机变量X的分布列为X0123P13512351835435随机变量X的数学期望E(X)＝0×135＋1×1235＋2×1835＋3×435＝127．②设事件B为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有1人，睡眠不足的员工有2人”；事件C为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有2人，睡眠不足的员工有1人”，则A＝B∪C，且B与C互斥．由①知，P(B)＝P(X＝2)，P(C)＝P(X＝1)，故P(A)＝P(B∪C)＝P(X＝2)＋P(X＝1)＝67．所以，事件A发生的概率为67．2．(2017·全国卷Ⅲ)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温[10，15)[15，20)[20，25)[25，30)[30，35)[35，40)天数216362574以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率．(1)求六月份这种酸奶一天的需求量X(单位：瓶)的分布列；(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量n(单位：瓶)为多少时，Y的数学期望达到最大值？解(1)由题意知，X所有可能取值为200，300，500，由表格数据知P(X＝200)＝2＋1690＝0．2，P(X＝300)＝3690＝0．4，P(X＝500)＝25＋7＋490＝0．4．因此X的分布列为X200300500P0．20．40．4(2)由题意知，这种酸奶一天的需求量至多为500，至少为200，因此只需考虑200≤n≤500．当300≤n≤500时，若最高气温不低于25，则Y＝6n－4n＝2n；若最高气温位于区间[20，25)，则Y＝6×300＋2(n－300)－4n＝1200－2n；若最高气温低于20，则Y＝6×200＋2(n－200)－4n＝800－2n．因此E(Y)＝2n×0．4＋(1200－2n)×0．4＋(800－2n)×0．2＝640－0．4n．当200≤n＜300时，若最高气温不低于20，则Y＝6n－4n＝2n；若最高气温低于20，则Y＝6×200＋2(n－200)－4n＝800－2n，因此E(Y)＝2n×(0．4＋0．4)＋(800－2n)×0．2＝160＋1．2n．所以n＝300时，Y的数学期望达到最大值，最大值为520元．3．(2016·全国卷Ⅰ)某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．(1)求X的分布列；(2)若要求P(X≤n)≥0．5，确定n的最小值；(3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n＝19与n＝20之中选其一，应选用哪个？解(1)由柱状图并以频率代替概率可得：1台机器在三年内需更换的易损零件数为8，9，10，11的概率分别为0．2，0．4，0．2，0．2，从而P(X＝16)＝0．2×0．2＝0．04；P(X＝17)＝2×0．2×0．4＝0．16；P(X＝18)＝2×0．2×0．2＋0．4×0．4＝0．24；P(X＝19)＝2×0．2×0．2＋2×0．4×0．2＝0．24；P(X＝20)＝2×0．2×0．4＋0．2×0．2＝0．2；P(X＝21)＝2×0．2×0．2＝0．08；P(X＝22)＝0．2×0．2＝0．04．所以X的分布列为X16171819202122P0．040．160．240．240．20．080．04(2)由(1)知P(X≤18)＝0．44，P(X≤19)＝0．68，故n的最小值为19．(3)记Y表示2台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元)．当n＝19时，E(Y)＝19×200×0．68＋(19×200＋500)×0．2＋(19×200＋2×500)×0．08＋(19×200＋3×500)×0．04＝4040(元)．当n＝20时，E(Y)＝20×200×0．88＋(20×200＋500)×0．08＋(20×200＋2×500)×0．04＝4080(元)．可知当n＝19时所需费用的期望值小于n＝20时所需费用的期望值．故应选n＝19．4．(2017·天津高考)从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为12，13，14．(1)记X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X的分布列和数学期望；(2)若