2020高考数学刷题首选卷 考点测试60 古典概型（理）（含解析）

考点测试60古典概型高考概览高考在本考点的常考题型为选择题、填空题，分值为5分，中等难度考纲研读1．理解古典概型及其概率计算公式2．会计算一些随机事件所包含的基本事件数及事件发生的概率一、基础小题1．某银行储蓄卡上的密码是一个6位数号码，每位上的数字可以在0～9这10个数字中选取．某人未记住密码的最后一位数字，如果随意按密码的最后一位数字，则正好按对密码的概率是()A．1106B．1105C．1102D．110答案D解析只考虑最后一位数字即可，从0到9这10个数字中随机选一个的概率为110．2．一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都会随机地选择一条路径，则它能获得食物的概率为()A．12B．13C．38D．58答案B解析该树枝的树梢有6处，有2处能找到食物，所以获得食物的概率为26＝13．3．天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为40%，用随机模拟的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率．可利用计算机产生0到9之间的整数值的随机数，如果我们用1，2，3，4表示下雨，用5，6，7，8，9，0表示不下雨，顺次产生的随机数如下：907966191925271932812458569683631257393027556488730113137989则这三天中恰有两天下雨的概率约为()A．1320B．720C．920D．1120答案B解析由题意知这20组随机数中表示三天中恰有两天下雨的有：191，271，932，812，631，393，137，共7组随机数，∴所求概率为720．4．给甲、乙、丙三人打电话，若打电话的顺序是任意的，则第一个给甲打电话的概率是()A．16B．13C．12D．23答案B解析给三人打电话的不同顺序有6种可能，其中第一个给甲打电话的可能有2种，故所求概率为P＝26＝13．5．一个袋子中有5个大小相同的球，其中有3个黑球与2个红球，如果从中任取两个球，则恰好取到两个同色球的概率是()A．15B．310C．25D．12答案C解析基本事件有C25＝10个，其中为同色球的有C23＋C22＝4个，故所求概率为410＝25．故选C．6．一部3卷文集随机地排在书架上，卷号自左向右或自右向左恰为1，2，3的概率是()A．16B．13C．12D．23答案B解析3卷文集随机排列，共有A33＝6种结果，卷号自左向右或自右向左恰为1，2，3的只有2种结果，所以卷号自左向右或自右向左恰为1，2，3的概率是26＝13．故选B．7．一个正方体，它的表面涂满了红色，切割为27个同样大小的小正方体，从中任取一个，它恰有一个面涂有红色的概率是________．答案29解析研究涂红后的正方体的六个面，发现每个面中仅最中间那块只有一个面涂有红色，故所求概率为627＝29．8．连掷两次骰子得到的点数分别为m和n，记向量a＝(m，n)与向量b＝(1，－1)的夹角为θ，则θ∈0，π2的概率是________．答案712解析∵a·b＝m－n，夹角θ∈0，π2，∴a·b≥0，即m≥n．满足θ∈0，π2的点A(m，n)有6＋5＋4＋3＋2＋1＝21个，列举可知点A(m，n)的基本事件总数为36，故所求概率为2136＝712．二、高考小题9．(2018·全国卷Ⅱ)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30＝7＋23．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是()A．112B．114C．115D．118答案C解析不超过30的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共10个，随机选取两个不同的数，共有C210＝45种方法，因为7＋23＝11＋19＝13＋17＝30，所以随机选取两个不同的数，其和等于30的有3种方法，故概率为345＝115．故选C．10．(2017·天津高考)有5支彩笔(除颜色外无差别)，颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫．从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为()A．45B．35C．25D．15答案C解析从5支彩笔中任取2支不同颜色彩笔的取法有C25＝10种，其中取出的2支彩笔中含有红色彩笔的取法有红黄、红蓝、红绿、红紫，共4种，所以所求概率P＝410＝25．故选C．11．(2017·全国卷Ⅱ)从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为()A．110B．15C．310D．25答案D解析从5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张的基本事件总数为5×5＝25，第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的事件数为10，∴所求概率P＝1025＝25．故选D．12．(2016·江苏高考)将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具)先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是________．答案56解析先后抛掷2次骰子，所有可能出现的情况共36个，其中点数之和不小于10的有(4，6)，(5，5)，(5，6)，(6，4)，(6，5)，(6，6)，共6个，从而点数之和小于10的有30个，故所求概率P＝3036＝56．三、模拟小题13．(2018·湖南省湘潭市四模)食物相克是指事物之间存在着相互拮抗、制约的关系，若搭配不当，会引起中毒反应．已知蜂蜜与生葱相克，鲤鱼与南瓜相克，螃蟹与南瓜相克．现从蜂蜜、生葱、南瓜、鲤鱼、螃蟹五种食物中任意选取两种，则它们相克的概率为()A．13B．23C．310D．710答案C解析已知蜂蜜与生葱相克，鲤鱼与南瓜相克，螃蟹与南瓜相克．现从蜂蜜、生葱、南瓜、鲤鱼、螃蟹五种食物中任意选取两种，基本事件总数n＝C25＝10，∴它们相克的概率为P＝310．故选C．14．(2018·江西南昌二模)在《周易》中，长横“”表示阳爻，两个短横“”表示阴爻．有放回地取阳爻和阴爻三次合成一卦，共有23＝8种组合方法，这便是《系辞传》所说“太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦”．有放回地取阳爻和阴爻一次有2种不同的情况，有放回地取阳爻和阴爻两次有四种情况，有放回地取阳爻和阴爻三次，八种情况．所谓的“算卦”，就是两个八卦的叠合，即共有放回地取阳爻和阴爻六次，得到六爻，然后对应不同的解析．在一次所谓“算卦”中得到六爻，这六爻恰好有三个阳爻三个阴爻的概率是()A．17B．516C．916D．58答案B解析在一次所谓“算卦”中得到六爻，基本事件的总数为n＝26＝64，这六爻恰好有三个阳爻包含的基本事件数为m＝C36＝20，所以这六爻恰好有三个阳爻三个阴爻的概率是P＝mn＝2064＝516．故选B．15．(2019·福建漳州质检)某公园举办水仙花展，有甲、乙、丙、丁4名志愿者，随机安排2人到A展区，另2人到B展区维持秩序，则甲、乙两人同时被安排到A展区的概率为()A．112B．16C．13D．12答案B解析随机安排2人到A展区，另2人到B展区维持秩序，有C24种不同的方法，其中甲、乙两人同时被安排到A展区，有C22种方法，则由古典概型的概率公式，得甲、乙两人同时被安排到A展区的概率为P＝C22C24＝16．16．(2018·湖北调研)党的十九大报告指出，建设教育强国是中华民族伟大复兴的基础工程，必须把教育事业放在优先位置，深化教育资源的均衡发展．现有4名男生和2名女生主动申请毕业后到两所偏远山区小学任教．将这6名毕业生全部进行安排，每所学校至少安排2名毕业生，则每所学校男女毕业生至少安排一名的概率为()A．425B．25C．1425D．45答案C解析由题意，将这六名毕业生全部进行安排，每所学校至少安排2名毕业生，基本事件的总数为N＝C26＋C36C33A22×A22＝50种，每所学校女毕业生至少安排一名共有：一是其中一个学校安排一女一男，另一个学校安排一女三男，有C12C14A22＝16种；二是其中一个学校安排一女二男，另一个学校安排一女二男，有C12C24＝12种，共有16＋12＝28种，所以所求概率为P＝2850＝1425．故选C．17．(2018·东北三省三校一模)从标有1，2，3，4，5的五张卡中，依次抽出2张，则在第一次抽到奇数的情况下，第二次抽到偶数的概率为()A．14B．12C．13D．23答案B解析由题意，记“第一次抽到奇数”为事件A，记“第二次抽到偶数”为事件B，则P(A)＝C13C15＝35，P(AB)＝C13C15×C12C14＝310，所以P(A|B)＝PABPA＝12．故选B．18．(2018·广东中山一中第五次统测)小球A在右图所示的通道由上到下随机地滑动，最后在下面某个出口落出，则投放一个小球，从“出口3”落出的概率为()A．15B．14C．38D．316答案C解析我们把从A到3的路线图单独画出来，从A到3需两横两竖四段路径，从四段路径中选出两段，共有C24＝6种走法，每一种走法的概率都是12，∴珠子从出口3出来是C24124＝38．故选C．一、高考大题1．(2018·天津高考)已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240，160，160．现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动．(1)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？(2)设抽出的7名同学分别用A，B，C，D，E，F，G表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作．①试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；②设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M发生的概率．解(1)由已知，甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7名同学，因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人．(2)①从抽出的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{A，G}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{B，G}，{C，D}，{C，E}，{C，F}，{C，G}，{D，E}，{D，F}，{D，G}，{E，F}，{E，G}，{F，G}，共21种．②由(1)，不妨设抽出的7名同学中，来自甲年级的是A，B，C，来自乙年级的是D，E，来自丙年级的是F，G，则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{B，C}，{D，E}，{F，G}，共5种．所以事件M发生的概率P(M)＝521．2．(2017·山东高考)某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A1，A2，A3和3个欧洲国家B1，B2，B3中选择2个国家去旅游．(1)若从这6个国家中任选2个，求这2个国家都是亚洲国家的概率；(2)若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，求这2个国家包括A1但不包括B1的概率．解(1)由题意知，从6个国家中任选两个国家，其一切可能的结果组成的基本事件有C26＝15个．所选两个国家都是亚洲国家的事件所包含的基本事件有：{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，共3个，则所求事件的概率为P＝315＝15．(2)从亚洲国家和欧洲国家中各任选一个，其一切可能的结果组成的基本事件有：3×3＝9个．包括A1但不包括B1的事件所包含的基本事件有：{A1，B2}，{A1，B3}，共2个，则所求事件的概率为P＝29．3．(2016·天津高考)某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为3，3，4．现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会．(1)设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A发生的概率；(2)设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期望．解(1)由已知，有P(A)＝C13C14＋C23C210＝13．所以，事件A发生的概率为13．(2)随机变量X的所有可能取值为0，1，2．P(X＝0)＝C23＋C23＋C24C210＝415，P(X＝1)＝C13C13＋C13C14C210＝