2020高考数学刷题首选卷 考点测试23 简单的三角恒等变换 理（含解析）

考点测试23简单的三角恒等变换一、基础小题1．已知tanα＝2，则sin2αcos2α的值为()A．2B．3C．4D．6答案C解析sin2αcos2α＝2sinαcosαcos2α＝2tanα＝4，故选C．2．已知cosα＝13，α∈(π，2π)，则cosα2等于()A．63B．－63C．33D．－33答案B解析∵cosα＝13，α∈(π，2π)，∴α2∈π2，π．∴cosα2＝－1＋cosα2＝－1＋132＝－63．故选B．3．若cosπ2－α＝13，则cos(π－2α)＝()A．－429B．429C．－79D．79答案C解析解法一：因为cosπ2－α＝sinα＝13，所以cos(π－2α)＝－cos2α＝2sin2α－1＝－79，故选C．解法二：cos(π－2α)＝2cos2π2－α－1＝2×19－1＝－79，故选C．4．已知tan(α＋β)＝12，tanβ＝13，则tanα－π4＝()A．34B．－34C．17D．67答案B解析因为tanα＝tan[(α＋β)－β]＝tanα＋β－tanβ1＋tanα＋βtanβ＝12－131＋12×13＝17，所以tanα－π4＝tanα－tanπ41＋tanαtanπ4＝17－11＋17＝－34，故选B．5．若α为锐角，3sinα＝tanα＝2tanβ，则tan2β＝()A．34B．43C．－34D．－43答案D解析因为3sinα＝tanα＝sinαcosα，α为锐角，所以cosα＝13，sinα＝223，所以tanα＝sinαcosα＝22＝2tanβ，所以tanβ＝2，tan2β＝41－4＝－43．故选D．6．cos20°cos40°cos80°的值为()A．12B．14C．18D．116答案C解析cos20°cos40°cos80°＝8sin20°cos20°cos40°cos80°8sin20°＝sin160°8sin20°＝18．故选C．7．已知cos(x＋2θ)＋2sinθsin(x＋θ)＝13，则cos2x的值为________．答案－79解析cos(x＋2θ)＋2sinθsin(x＋θ)＝cos(x＋θ)cosθ＋sinθsin(x＋θ)＝cosx＝13，则cos2x＝2cos2x－1＝－79．8．化简：2sinπ－α＋sin2αcos2α2＝________．答案4sinα解析2sinπ－α＋sin2αcos2α2＝2sinα＋2sinαcosα121＋cosα＝4sinα1＋cosα1＋cosα＝4sinα．二、高考小题9．(2015·重庆高考)若tanα＝2tanπ5，则cosα－3π10sinα－π5＝()A．1B．2C．3D．4答案C解析cosα－3π10sinα－π5＝sinπ2＋α－3π10sinα－π5＝sinα＋π5sinα－π5＝sinαcosπ5＋cosαsinπ5sinαcosπ5－cosαsinπ5＝tanα＋tanπ5tanα－tanπ5，∵tanα＝2tanπ5，∴cosα－3π10sinα－π5＝3tanπ5tanπ5＝3．故选C．10．(2018·全国卷Ⅱ)已知sinα＋cosβ＝1，cosα＋sinβ＝0，则sin(α＋β)＝________．答案－12解析解法一：因为sinα＋cosβ＝1，cosα＋sinβ＝0，所以(1－sinα)2＋(－cosα)2＝1，所以sinα＝12，cosβ＝12，因此sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝12×12－cos2α＝14－1＋sin2α＝14－1＋14＝－12．解法二：由(sinα＋cosβ)2＋(cosα＋sinβ)2＝1，得2＋2sin(α＋β)＝1，所以sin(α＋β)＝－12．11．(2016·浙江高考)已知2cos2x＋sin2x＝Asin(ωx＋φ)＋b(A0)，则A＝________，b＝________．答案21解析∵2cos2x＋sin2x＝1＋cos2x＋sin2x＝2sin2x＋π4＋1，∴A＝2，b＝1．12．(2016·全国卷Ⅰ)已知θ是第四象限角，且sinθ＋π4＝35，则tanθ－π4＝________．答案－43解析解法一：∵sinθ＋π4＝22×(sinθ＋cosθ)＝35，∴sinθ＋cosθ＝325，①∴2sinθcosθ＝－725．∵θ是第四象限角，∴sinθ＜0，cosθ＞0，∴sinθ－cosθ＝－1－2sinθcosθ＝－425，②由①②得sinθ＝－210，cosθ＝7210，∴tanθ＝－17，∴tanθ－π4＝tanθ－11＋tanθ＝－43．解法二：∵θ＋π4＋π4－θ＝π2，∴sinθ＋π4＝cosπ4－θ＝35，又2kπ－π2＜θ＜2kπ，k∈Z，∴2kπ－π4＜θ＋π4＜2kπ＋π4，k∈Z，∴cosθ＋π4＝45，∴sinπ4－θ＝45，∴tanπ4－θ＝sinπ4－θcosπ4－θ＝43，∴tanθ－π4＝－tanπ4－θ＝－43．解法三：∵θ是第四象限角，∴2kπ－π2＜θ＜2kπ，k∈Z，∴2kπ－π4＜θ＋π4＜2kπ＋π4，k∈Z，又sinθ＋π4＝35，∴cosθ＋π4＝45，∴tanθ－π4＝tanθ－1tanθ＋1＝sinθ－cosθsinθ＋cosθ＝－cosπ4＋θsinπ4＋θ＝－4535＝－43．三、模拟小题13．(2018·河北衡水中学测试)若α∈π2，π，且3cos2α＝sinπ4－α，则sin2α的值为()A．－118B．118C．－1718D．1718答案C解析由3cos2α＝sinπ4－α可得3(cos2α－sin2α)＝22(cosα－sinα)，又由α∈π2，π可知cosα－sinα≠0，于是3(cosα＋sinα)＝22，所以1＋2sinαcosα＝118，故sin2α＝－1718．故选C．14．(2018·河南信阳一模)已知α，β均为锐角，且sinα＝437，cos(α＋β)＝－1114，则β等于()A．π3B．π4C．π6D．π12答案A解析∵α为锐角且sinα＝437，∴cosα＝17．∵α，β均为锐角，∴0α＋βπ．又∵cos(α＋β)＝－1114，∴sin(α＋β)＝5314．∴cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝－1114×17＋5314×437＝－11＋6098＝12．又∵β为锐角，∴β＝π3．故选A．15．(2018·河南濮阳一模)设0°α90°，若sin(75°＋2α)＝－35，则sin(15°＋α)sin(75°－α)＝()A．110B．220C．－110D．－220答案B解析因为0°α90°，所以75°75°＋2α255°．又因为sin(75°＋2α)＝－350，所以180°75°＋2α255°，角75°＋2α为第三象限角，所以cos(75°＋2α)＝－45．所以sin(15°＋α)sin(75°－α)＝sin(15°＋α)cos(15°＋α)＝12sin(30°＋2α)＝12sin[(75°＋2α)－45°]＝12[sin(75°＋2α)cos45°－cos(75°＋2α)sin45°]＝12×－35×22＋45×22＝220，故选B．16．(2018·湖南湘东五校联考)已知sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝13，则log5tanαtanβ2等于()A．2B．3C．4D．5答案C解析由sin(α＋β)＝12，得sinαcosβ＋cosαsinβ＝12，①由sin(α－β)＝13，得sinαcosβ－cosαsinβ＝13，②由①②可得sinαcosβ＝512，cosαsinβ＝112．所以tanαtanβ＝sinαcosβcosαsinβ＝512112＝5．所以log5tanαtanβ2＝log525＝4，故选C．17．(2018·河北、河南两省重点中学4月联考)已知atanα＋b＝(a－btanα)tanβ，且α＋π6与β的终边相同，则ba的值为()A．23B．33C．223D．34答案B解析已知等式可化为atanα＋b＝atanβ－btanαtanβ，即b(1＋tanαtanβ)＝a(tanβ－tanα)，∴ba＝tanβ－tanα1＋tanαtanβ＝tan(β－α)，又∵α＋π6与β的终边相同，即β＝2kπ＋α＋π6(k∈Z)，∴tan(β－α)＝tan2kπ＋π6＝tanπ6＝33，即ba＝33，故选B．18．(2018·湖北八校第一次联考)已知3πθ4π，且1＋cosθ2＋1－cosθ2＝62，则θ＝()A．10π3或11π3B．37π12或47π12C．13π4或15π4D．19π6或23π6答案D解析∵3πθ4π，∴3π2θ22π，∴cosθ20，sinθ20，∴1＋cosθ2＋1－cosθ2＝cos2θ2＋sin2θ2＝cosθ2－sinθ2＝2cosθ2＋π4＝62，∴cosθ2＋π4＝32，∴θ2＋π4＝π6＋2kπ，k∈Z或θ2＋π4＝－π6＋2kπ，k∈Z，即θ＝－π6＋4kπ，k∈Z或θ＝－5π6＋4kπ，k∈Z，又∵3πθ4π，∴θ＝19π6或23π6．故选D．一、高考大题1．(2015·广东高考)已知tanα＝2．(1)求tanα＋π4的值；(2)求sin2αsin2α＋sinαcosα－cos2α－1的值．解(1)因为tanα＝2，所以tanα＋π4＝tanα＋tanπ41－tanα·tanπ4＝2＋11－2×1＝－3．(2)因为tanα＝2，所以sin2αsin2α＋sinαcosα－cos2α－1＝2sinαcosαsin2α＋sinαcosα－cos2α＋1＝2sinαcosαsin2α＋sinαcosα－2cos2α＝2tanαtan2α＋tanα－2＝2×222＋2－2＝1．二、模拟大题2．(2018·咸阳质检)已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点P(－3，3)．(1)求sin2α－tanα的值；(2)若函数f(x)＝cos(x－α)cosα－sin(x－α)sinα，求函数g(x)＝3fπ2－2x－2f2(x)在区间0，2π3上的取值范围．解(1)∵角α的终边经过点P(－3，3)，∴sinα＝12，cosα＝－32，tanα＝－33．∴sin2α－tanα＝2sinαcosα－tanα＝－32＋33＝－36．(2)∵f(x)＝cos(x－α)cosα－sin(x－α)sinα＝cosx，x∈R，∴g(x)＝3cosπ2－2x－2cos2x＝3sin2x－1－cos2x＝2sin2x－π6－1，∵0≤x≤2π3，∴－π6≤2x－π6≤7π6．∴－12≤sin2x－π6≤1，∴－2≤2sin2x－π6－1≤1，故函数g(x)＝3fπ2－2x－2f2(x)在区间0，2π3上的取值范围是[－2，1]．3．(2018·南昌调研)已知函数f(x)＝cosxsinx＋π3－3sinx＋π2＋34．(1)若fθ2＋5π12＝310，0θπ2，求tanθ的值；(2)求f(x)的最小正周期及函数g(x)＝f－x2的单调增区间．解f(x)＝cosxsinx＋π3－3sinx＋π2＋34＝cosx12sinx＋32cosx－3cosx＋34＝cosx12sinx－32cosx＋34＝12sinxcosx－32cos2x＋34＝14sin2x－34cos2x－34＋34＝14sin2x－34cos2x＝12sin2x－π3．(1)由于fθ2＋5π12＝310，所以12sinθ＋5π6－π3