2020高考数学刷题首选卷 考点测试17 定积分与微积分基本定理 理（含解析）

考点测试17定积分与微积分基本定理高考概览高考在本考点的常考题型为选择题、填空题，分值5分，中、低等难度考纲研读1．了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念2．了解微积分基本定理的含义一、基础小题1．计算：01(ex＋2x)dx＝()A．1B．e－1C．eD．e＋1答案C解析01(ex＋2x)dx＝(ex＋x2)10＝e．故选C．2．若1a2x＋1xdx＝3＋ln2(a1)，则a的值是()A．2B．3C．4D．6答案A解析1a2x＋1xdx＝(x2＋lnx)a1＝a2＋lna－1＝3＋ln2，即a＝2．3．设f(x)＝(e为自然对数的底数)，则0ef(x)dx＝()A．－43B．－23C．23D．43答案D解析依题意得，0ef(x)dx＝01x2dx＋1e1xdx＝13x310＋lnxe1＝13＋1＝43．4．已知函数y＝f(x)的图象为如图所示的折线ABC，则1－1[(x＋1)f(x)]dx＝()A．2B．－2C．1D．－1答案D解析由图易知f(x)＝所以1－1[(x＋1)f(x)]dx＝0－1(x＋1)(－x－1)dx＋10(x＋1)(x－1)dx＝0－1(－x2－2x－1)dx＋10(x2－1)dx＝－13x3－x2－x0－1＋13x3－x10＝－13－23＝－1，故选D．5．设f(x)是一条连续的曲线，且为偶函数，在对称区间[－a，a]上的定积分为a－af(x)dx，由定积分的几何意义和性质，得a－af(x)dx可表示为()A．－a－af(x)dxB．20－af(x)dxC．120af(x)dxD．0－af(x)dx答案B解析偶函数的图象关于y轴对称，故a－af(x)dx对应的几何区域关于y轴对称，因而其可表示为20－af(x)dx，应选B．6．设函数f(x)＝ax2＋b(a≠0)，若03f(x)dx＝3f(x0)，则x0等于()A．±1B．2C．±3D．2答案C解析03f(x)dx＝03(ax2＋b)dx＝13ax3＋bx30＝9a＋3b，∴9a＋3b＝3(ax20＋b)，即x20＝3，x0＝±3，故选C．7．给出如下命题：①badx＝abdt＝b－a(a，b为常数，且ab)；②0－11－x2dx＝011－x2dx＝π4；③a－af(x)dx＝20af(x)dx(a0)．其中正确命题的个数为()A．0B．1C．2D．3答案B解析由于badx＝a－b，abdt＝b－a，所以①错误；由定积分的几何意义知，0－11－x2dx和011－x2dx都表示半径为1的圆的14面积，所以都等于π4，所以②正确；只有当函数f(x)为偶函数时，才有a－af(x)dx＝20af(x)dx，所以③错误．故选B．8．由抛物线y＝－x2＋4x－3及其在点M(0，－3)和点N(3，0)处的两条切线所围成的图形的面积为()A．94B．92C．74D．2答案A解析由y＝－x2＋4x－3，得y′＝－2x＋4，∴y′x＝0＝4，在M点处的切线方程为y＝4x－3；y′x＝3＝－2，在N点处的切线方程为y＝－2x＋6．又两切线交点的横坐标为x＝32，故所求面积S＝∫320[4x－3－(－x2＋4x－3)]dx＋[－2x＋6－(－x2＋4x－3)]dx＝∫320x2dx＋(x2－6x＋9)dx＝13x3320＋13x3－3x2＋9x332＝94．9．曲线y＝sinx，y＝cosx与直线x＝0，x＝π2所围成的平面区域的面积为()A．∫π20(sinx－cosx)dxB．2∫π40(sinx－cosx)dxC．2∫π40(cosx－sinx)dxD．∫π20(cosx－sinx)dx答案C解析当x∈0，π4时，cosx≥sinx，当x∈π4，π2时，sinxcosx，故所求平面区域的面积为∫π40cosx－sinxdx＋∫π2π4(sinx－cosx)dx，数形结合知∫π40(cosx－sinx)dx＝∫π2π4(sinx－cosx)dx．故选C．10．一列火车在平直的铁轨上行驶，由于遇到紧急情况，火车以速度v(t)＝5－t＋551＋t(t的单位：s，v的单位：m/s)紧急刹车至停止．在此期间火车继续行驶的距离是()A．55ln10mB．55ln11mC．(12＋55ln7)mD．(12＋55ln6)m答案B解析令5－t＋551＋t＝0，注意到t0，得t＝10，即经过的时间为10s；行驶的距离s＝∫1005－t＋55t＋1dt＝5t－12t2＋55lnt＋1100＝55ln11，即紧急刹车后火车运行的路程为55ln11m．11．∫π20sin2x2dx＝________．答案π4－12解析∫π20sin2x2dx＝∫π201－cosx2dx＝12x－12sinxπ20＝π4－12．12．由曲线y＝2－x2，直线y＝x及x轴所围成的封闭图形(图中的阴影部分)的面积是________．答案423＋76解析把阴影部分分成两部分(y轴左侧部分和右侧部分)求面积．易得S＝0－2(2－x2)dx＋01(2－x2－x)dx＝2x－x330－2＋2x－x33－x2210＝22－233＋2－13－12＝423＋76．二、高考小题13．(2014·山东高考)直线y＝4x与曲线y＝x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为()A．22B．42C．2D．4答案D解析由得x＝0或x＝2或x＝－2(舍)．∴S＝02(4x－x3)dx＝2x2－14x420＝4．14．(2014·湖北高考)若函数f(x)，g(x)满足1－1f(x)g(x)dx＝0，则称f(x)，g(x)为区间[－1，1]上的一组正交函数．给出三组函数：①f(x)＝sin12x，g(x)＝cos12x；②f(x)＝x＋1，g(x)＝x－1；③f(x)＝x，g(x)＝x2．其中为区间[－1，1]上的正交函数的组数是()A．0B．1C．2D．3答案C解析由①得f(x)g(x)＝sin12xcos12x＝12sinx，是奇函数，所以1－1f(x)g(x)dx＝0，所以①为区间[－1，1]上的正交函数；由②得f(x)g(x)＝x2－1，所以1－1f(x)g(x)dx＝1－1(x2－1)dx＝x33－x1－1＝－43，所以②不是区间[－1，1]上的正交函数；由③得f(x)g(x)＝x3，是奇函数，所以1－1f(x)g(x)dx＝0，所以③为区间[－1，1]上的正交函数．故选C．15．(2014·湖南高考)已知函数f(x)＝sin(x－φ)，且∫2π30f(x)dx＝0，则函数f(x)的图象的一条对称轴是()A．x＝5π6B．x＝7π12C．x＝π3D．x＝π6答案A解析由∫2π30f(x)dx＝∫2π30sin(x－φ)dx＝－cos(x－φ)2π30＝－cos2π3－φ＋cosφ＝0，得32cosφ＝32sinφ．从而有tanφ＝3，则φ＝nπ＋π3，n∈Z，从而有f(x)＝sinx－nπ－π3＝(－1)n·sinx－π3，n∈Z．令x－π3＝kπ＋π2，k∈Z，得x＝kπ＋5π6，k∈Z，即f(x)的图象的对称轴是x＝kπ＋5π6，k∈Z．故选A．16．(2015·天津高考)曲线y＝x2与直线y＝x所围成的封闭图形的面积为________．答案16解析曲线y＝x2与直线y＝x所围成的封闭图形如图中阴影部分所示，由{y＝x，y＝x2解得x＝0或x＝1，所以S＝01(x－x2)dx＝12x2－13x310＝12－13＝16．17．(2015·陕西高考)如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型(图中虚线所示)，则原始的最大流量与当前最大流量的比值为________．答案65解析建立直角坐标系，如图．过B作BE⊥x轴于点E，∵∠BAE＝45°，BE＝2，∴AE＝2．又OE＝5，∴A(3，0)，B(5，2)．设抛物线的方程为x2＝2py(p0)，代入点B的坐标，得p＝254，故抛物线的方程为y＝225x2．从而曲边三角形OEB的面积为05225x2dx＝2x37550＝103．又S△ABE＝12×2×2＝2，故曲边三角形OAB的面积为43，从而图中阴影部分的面积为83．又易知等腰梯形ABCD的面积为6＋102×2＝16，则原始的最大流量与当前最大流量的比值为1616－83＝65．18．(2014·辽宁高考)正方形的四个顶点A(－1，－1)，B(1，－1)，C(1，1)，D(－1，1)分别在抛物线y＝－x2和y＝x2上，如图所示．若将一个质点随机投入正方形ABCD中，则质点落在图中阴影区域的概率是________．答案23解析由对称性可知S阴影＝S正方形ABCD－401x2dx＝22－4×13x310＝83，所以所求概率为834＝23．三、模拟小题19．(2018·安徽淮南一模)求曲线y＝x2与y＝x所围成的封闭图形的面积S，正确的是()A．S＝01(x2－x)dxB．S＝01(x－x2)dxC．S＝01(y2－y)dyD．S＝01(y－y)dy答案B解析两函数图象的交点坐标是(0，0)，(1，1)，故对x积分时，积分上限是1，下限是0，由于在[0，1]上，x≥x2，故曲线y＝x2与y＝x所围成的封闭图形的面积S＝01(x－x2)dx(同理可知对y积分时，S＝01(y－y)dy)．20．(2018·湖北孝感模拟)已知1e1x－mdx＝3－e2，则m的值为()A．e－14eB．12C．－12D．－1答案B解析由微积分基本定理得1e1x－mdx＝(lnx－mx)e1＝m＋1－me，结合题意得m＋1－me＝3－e2，解得m＝12．故选B．21．(2018·河南郑州一模)汽车以v＝(3t＋2)m/s做变速运动时，在第1s至第2s之间的1s内经过的路程是()A．5mB．112mC．6mD．132m答案D解析根据题意，汽车以v＝(3t＋2)m/s做变速运动时，汽车在第1s至第2s之间的1s内经过的路程s＝12(3t＋2)dt＝3t22＋2t21＝132m，故选D．22．(2018·山西联考)函数y＝x2－1的图象如图所示，则阴影部分的面积是()A．01(x2－1)dxB．02(x2－1)dxC．02|x2－1|dxD．01(x2－1)dx＋12(1－x2)dx答案C解析所求面积为01(1－x2)dx＋12(x2－1)dx＝02|x2－1|dx．23．(2018·河北五校联考)若f(x)＝f[f(1)]＝1，则a的值为()A．1B．2C．－1D．－2答案A解析因为f(1)＝lg1＝0，f(0)＝0a3t2dt＝t3a0＝a3，所以由f[f(1)]＝1得：a3＝1，a＝1，故选A．24．(2018·宁夏质检)已知1sinφ＋1cosφ＝22，若φ∈0，π2，则－1tanφ(x2－2x)dx＝()A．13B．－13C．23D．－23答案C解析由1sinφ＋1cosφ＝22⇒sinφ＋cosφ＝22sinφ·cosφ⇒2sinφ＋π4＝2sin2φ，因为φ∈0，π2，所以φ＝π4，所以tanφ＝1，故－1tanφ(x2－2x)dx＝－11(x2－2x)dx＝x33－x21－1＝23．25．(2018·陕西模拟)01(2x＋1－x2)dx＝________．答案1＋π4解析011－x2dx表示以原点为圆心，以1为半径的圆的面积的14，∴011－x2dx＝π4．又∵012xdx＝x210＝1，∴01(2x＋1－x2)dx＝012xdx＋011－x2dx＝1＋π4．26．(2018·河北衡水中学六调)曲线