2020高考数学刷题首选卷 考点测试8 二次函数与幂函数 理（含解析）

考点测试8二次函数与幂函数高考概览高考在本考点的常考题型为选择题、填空题，分值5分，中等难度考纲研读1．了解幂函数的概念2．结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，y＝x12的图象，了解它们的变化情况3．理解并掌握二次函数的定义、图象及性质4．能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题一、基础小题1．若二次函数y＝2x2＋bx＋c关于y轴对称，且过点(0，3)，则函数的解析式为()A．y＝2x2＋x＋3B．y＝2x2＋3C．y＝2x2＋x－3D．y＝2x2－3答案B解析由题可知函数y＝f(x)为偶函数，则b＝0．又过点(0，3)，则c＝3，故解析式为y＝2x2＋3．故选B．2．若幂函数y＝f(x)的图象过点(4，2)，则f(8)的值为()A．4B．2C．22D．1答案C解析设f(x)＝xα，由条件知f(4)＝2，所以2＝4α，α＝12，所以f(x)＝x12，f(8)＝812＝22．故选C．3．已知函数f(x)＝x2－2x＋m，若f(x1)＝f(x2)(x1≠x2)，则fx1＋x22的值为()A．1B．2C．m－1D．m答案C解析由题意知，函数的对称轴为直线x＝x1＋x22＝1，所以fx1＋x22＝f(1)＝m－1．故选C．4．函数f(x)＝－2x2＋6x(－2≤x≤2)的值域是()A．[－20，4]B．(－20，4)C．－20，92D．－20，92答案C解析由函数f(x)＝－2x2＋6x可知，该二次函数的图象开口向下，对称轴为x＝32，当－2≤x32时，函数f(x)单调递增，当32≤x≤2时，函数f(x)单调递减，∴f(x)max＝f32＝－2×94＋6×32＝92，f(x)min＝min{f(－2)，f(2)}，又f(－2)＝－8－12＝－20，f(2)＝－8＋12＝4，∴函数f(x)的值域为－20，92，故选C．5．若函数f(x)＝x2＋px＋q满足f(1)＝f(2)＝0，则f(－1)＝()A．5B．6C．－5D．－6答案B解析解法一：由f(1)＝f(2)＝0可得p＝－3，q＝2，故f(x)＝x2－3x＋2，f(－1)＝6．故选B．解法二：由题意知f(x)＝(x－1)(x－2)，则f(－1)＝6．6．若函数f(x)＝x2－2x＋2的定义域和值域都是[1，b]，则实数b＝()A．3B．2或3C．2D．1或2答案C解析二次函数的对称轴为直线x＝1，它在[1，b]上为增函数，所以解得b＝2．故选C．7．已知函数f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1在区间[－1，＋∞)上单调递减，则实数a的取值范围是()A．[－3，0)B．(－∞，－3]C．[－2，0]D．[－3，0]答案D解析当a＝0时，f(x)＝－3x＋1，满足题意；当a0时，函数f(x)的图象在其对称轴右侧单调递增，不满足题意；当a0时，函数f(x)的图象的对称轴为x＝－a－32a，∵函数f(x)在区间[－1，＋∞)上单调递减，∴－a－32a≤－1，得－3≤a0．综上可知，实数a的取值范围是[－3，0]．故选D．8．已知二次函数f(x)的二次项系数为a，且不等式f(x)－2x的解集为(1，3)．若方程f(x)＋6a＝0有两个相等的根，则实数a＝()A．－15B．1C．1或－15D．－1或－15答案A解析因为f(x)＋2x0的解集为(1，3)，设f(x)＋2x＝a(x－1)(x－3)，且a0，所以f(x)＝a(x－1)(x－3)－2x＝ax2－(2＋4a)x＋3a．由方程f(x)＋6a＝0得ax2－(2＋4a)x＋9a＝0．因为方程有两个相等的根，所以Δ＝[－(2＋4a)]2－4a·9a＝0，解得a＝1或a＝－15．由于a0，则a＝－15．故选A．9．已知幂函数f(x)＝x－m2＋2m＋3(m∈Z)在区间(0，＋∞)上是单调递增函数，且y＝f(x)的图象关于y轴对称，则f(－2)的值为()A．16B．8C．－16D．－8答案A解析∵幂函数f(x)＝x－m2＋2m＋3(m∈Z)的图象关于y轴对称，∴函数f(x)为偶函数，又幂函数f(x)＝x－m2＋2m＋3(m∈Z)在区间(0，＋∞)上是单调递增函数，∴－m2＋2m＋3是偶数，且－m2＋2m＋30，∵m∈Z，∴m＝1，∴幂函数f(x)＝x4，f(－2)＝16．故选A．10．已知函数f(x)＝ax2－2x＋2，若对一切x∈12，2，f(x)0都成立，则实数a的取值范围为()A．12，＋∞B．12，＋∞C．[－4，＋∞)D．(－4，＋∞)答案B解析由题意得，对一切x∈12，2，f(x)0都成立，即a2x－2x2＝－2x2＋2x＝－21x－122＋12在x∈12，2上恒成立，而－21x－122＋12≤12，则实数a的取值范围为12，＋∞．故选B．11．若二次函数f(x)＝－x2＋4x＋t图象的顶点在x轴上，则t＝________．答案－4解析由于f(x)＝－x2＋4x＋t＝－(x－2)2＋t＋4图象的顶点在x轴上，所以f(2)＝t＋4＝0，故t＝－4．12．若函数y＝x2－3x－4的定义域为[0，m]，值域为－254，－4，则实数m的取值范围是________．答案32，3解析因为y＝x2－3x－4＝x－322－254，且f(0)＝－4，值域为－254，－4，所以32∈[0，m]，即m≥32．又f(m)≤－4，则0≤m≤3，所以32≤m≤3．二、高考小题13．(2016·全国卷Ⅲ)已知a＝243，b＝425，c＝2513，则()A．bacB．abcC．bcaD．cab答案A解析因为a＝243＝423，c＝2513＝523，函数y＝x23在(0，＋∞)上单调递增，所以423523，即ac，又因为函数y＝4x在R上单调递增，所以425423，即ba，所以bac．故选A．14．(2017·浙江高考)若函数f(x)＝x2＋ax＋b在区间[0，1]上的最大值是M，最小值是m，则M－m()A．与a有关，且与b有关B．与a有关，但与b无关C．与a无关，且与b无关D．与a无关，但与b有关答案B解析解法一：设x1，x2分别是函数f(x)在[0，1]上的最小值点与最大值点，则m＝x21＋ax1＋b，M＝x22＋ax2＋b．∴M－m＝x22－x21＋a(x2－x1)，显然此值与a有关，与b无关．故选B．解法二：由题意可知，函数f(x)的二次项系数为固定值，则二次函数图象的形状一定．随着b的变动，相当于图象上下移动，若b增大k个单位，则最大值与最小值分别变为M＋k，m＋k，而(M＋k)－(m＋k)＝M－m，故与b无关．随着a的变动，相当于图象左右移动，则M－m的值在变化，故与a有关．故选B．15．(2016·浙江高考)已知函数f(x)＝x2＋bx，则“b0”是“f[f(x)]的最小值与f(x)的最小值相等”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案A解析记g(x)＝f[f(x)]＝(x2＋bx)2＋b(x2＋bx)＝x2＋bx＋b22－b24＝x＋b22－b24＋b22－b24．当b0时，－b24＋b20，即当x＋b22－b24＋b2＝0时，g(x)有最小值，且g(x)min＝－b24，又f(x)＝x＋b22－b24，所以f[f(x)]的最小值与f(x)的最小值相等，都为－b24，故充分性成立．另一方面，当b＝0时，f[f(x)]的最小值为0，也与f(x)的最小值相等．故必要性不成立．故选A．16．(2015·四川高考)如果函数f(x)＝12(m－2)x2＋(n－8)x＋1(m≥0，n≥0)在区间12，2上单调递减，那么mn的最大值为()A．16B．18C．25D．812答案B解析当m＝2时，f(x)＝(n－8)x＋1在区间12，2上单调递减，则n－80⇒n8，于是mn16，则mn无最大值．当m∈[0，2)时，f(x)的图象开口向下，要使f(x)在区间12，2上单调递减，需－n－8m－2≤12，即2n＋m≤18，又n≥0，则mn≤m9－m2＝－12m2＋9m．而g(m)＝－12m2＋9m在[0，2)上为增函数，∴m∈[0，2)时，g(m)g(2)＝16，故m∈[0，2)时，mn无最大值．当m2时，f(x)的图象开口向上，要使f(x)在区间12，2上单调递减，需－n－8m－2≥2，即2m＋n≤12，而2m＋n≥22m·n，所以mn≤18，当且仅当即时，取“＝”，此时满足m2．故(mn)max＝18．故选B．17．(2015·陕西高考)对二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a为非零整数)，四位同学分别给出下列结论，其中有且只有一个结论是错误的，则错误的结论是()A．－1是f(x)的零点B．1是f(x)的极值点C．3是f(x)的极值D．点(2，8)在曲线y＝f(x)上答案A解析由已知得，f′(x)＝2ax＋b，则f(x)只有一个极值点，若A，B正确，则有解得b＝－2a，c＝－3a，则f(x)＝ax2－2ax－3a．由于a为非零整数，所以f(1)＝－4a≠3，则C错误．而f(2)＝－3a≠8，则D也错误，与题意不符，故A，B中有一个错误，C，D都正确．若A，C，D正确，则有由①②得代入③中并整理得9a2－4a＋649＝0，又a为非零整数，则9a2－4a为整数，故方程9a2－4a＋649＝0无整数解，故A错误．若B，C，D正确，则有解得a＝5，b＝－10，c＝8，则f(x)＝5x2－10x＋8，此时f(－1)＝23≠0，符合题意．故选A．18．(2018·上海高考)已知α∈－2，－1，－12，12，1，2，3．若幂函数f(x)＝xα为奇函数，且在(0，＋∞)上递减，则α＝________．答案－1解析∵幂函数f(x)＝xα为奇函数，∴α可取－1，1，3，又f(x)＝xα在(0，＋∞)上递减，∴α0，故α＝－1．三、模拟小题19．(2018·湖北黄冈中学质检)幂函数y＝x－1，y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象如图所示，则m与n的取值情况为()A．－1m0n1B．－1n0mC．－1m0nD．－1n0m1答案D解析在第一象限作出幂函数y＝x，y＝x0的图象，在(0，1)内作直线x＝x0与各图象有交点，如图，由“点低指数大”，知－1n0m1，故选D．20．(2018·河南安阳模拟)已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0，1]，若f(x)有最小值－2，则f(x)的最大值为()A．1B．0C．－1D．2答案A解析f(x)＝－x2＋4x＋a＝－(x－2)2＋a＋4，∴函数f(x)＝－x2＋4x＋a在[0，1]上单调递增，∴当x＝0时，f(x)取得最小值，当x＝1时，f(x)取得最大值，∴f(0)＝a＝－2，f(1)＝3＋a＝3－2＝1，故选A．21．(2018·湖北荆州模拟)二次函数f(x)满足f(x＋2)＝f(－x＋2)，又f(0)＝3，f(2)＝1，若在[0，m]上有最大值3，最小值1，则m的取值范围是()A．(0，＋∞)B．[2，＋∞)C．(0，2]D．[2，4]答案D解析∵二次函数f(x)满足f(2＋x)＝f(2－x)，∴其图象的对称轴是x＝2，又f(0)＝3，∴f(4)＝3，又f(2)f(0)，∴f(x)的图象开口向上，∵f(0)＝3，f(2)＝1，f(4)＝3，f(x)在[0，m]上的最大值为3，最小值为1，∴由二次函数的性质知2≤m≤4．故选D．22．(2018·河南洛阳二模)已知点a，12在幂函数f(x)＝(a－1)xb的图象上，则函数f(x)是()A．奇函数B．偶函数C．定义域内的减函数D．定义域内的增函数答案A解析∵点a，12在幂函数f(x)＝(a－1)xb的图象上，∴a－1＝1，解得a＝2，则2b＝12，∴b＝－1，∴f(x)＝x－1，∴函数f(x)是定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数，