2020高考数学刷题首选卷 函数与方程思想专练 理（含解析）

函数与方程思想专练一、选择题1．椭圆x24＋y2＝1的两个焦点为F1，F2，过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，其一交点为P，则|PF2|＝()A．32B．3C．72D．4答案C解析如图，令|F1P|＝r1，|F2P|＝r2，那么r1＋r2＝2a＝4，r22－r21＝2c2＝12⇒r1＋r2＝4，r2－r1＝3⇒r2＝72．故选C．2．(2018·湖北七校联考)已知f(x)是奇函数并且是R上的单调函数，若函数y＝f(2x2＋1)＋f(λ－x)只有一个零点，则实数λ的值是()A．14B．18C．－78D．－38答案C解析依题意，方程f(2x2＋1)＋f(λ－x)＝0只有1个解，故f(2x2＋1)＝－f(λ－x)＝f(x－λ)有1解，所以2x2＋1＝x－λ，即2x2－x＋1＋λ＝0有唯一解，故Δ＝1－8(1＋λ)＝0，解得λ＝－78．故选C．3．设a1，若对于任意的x∈[a，2a]，都有y∈[a，a2]满足方程logax＋logay＝3，这时a的取值的集合为()A．{a|1a≤2}B．{a|a≥2}C．{a|2≤a≤3}D．{2，3}答案B解析依题意得y＝a3x，当x∈[a，2a]时，y＝a3x∈12a2，a2⊆[a，a2]，因此有12a2≥a，又a1，由此解得a≥2．故选B．4．若2x＋5y≤2－y＋5－x，则有()A．x＋y≥0B．x＋y≤0C．x－y≤0D．x－y≥0答案B解析原不等式可变形为2x－5－x≤2－y－5y．即2x－15x≤2－y－15－y．故设函数f(x)＝2x－15x，f(x)为增函数，所以x≤－y，即x＋y≤0．故选B．5．为了竖一块广告牌，要制造三角形支架，如图，要求∠ACB＝60°，BC的长度大于1米，且AC比AB长0．5米，为了稳固广告牌，要求AC越短越好，则AC最短为()A．1＋32米B．2米C．(1＋3)米D．(2＋3)米答案D解析由题意，设BC＝x(x1)米，AC＝t(t0)米，则AB＝AC－0．5＝(t－0．5)米，在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos60°，即(t－0．5)2＝t2＋x2－tx，化简并整理得t＝x2－0.25x－1(x1)，即t＝x－1＋0.75x－1＋2，因x1，故t＝x－1＋0.75x－1＋2≥2＋3当且仅当x＝1＋32时取等号，此时t取最小值2＋3．故选D．二、填空题6．设a1，d为实数，首项为a1，公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn，满足S5S6＋15＝0，则d的取值范围是________．答案(－∞，－22]∪[22，＋∞)解析由S5S6＋15＝0得(5a1＋10d)(6a1＋15d)＋15＝0，即2a21＋9a1d＋10d2＋1＝0，∴Δ＝81d2－8(10d2＋1)≥0，解得d≤－22或d≥22．7．若存在两个正实数x，y，使得等式x3eyx－ay3＝0成立，其中e为自然对数的底数，则实数a的最小值为________．答案e327解析由题意知a＝eyxyx3，设yx＝t(t0)，则令f(t)＝ett3，则f′(t)＝ett－3t4，当t3时，f′(t)0，当0t3时，f′(t)0，所以f(t)min＝f(3)＝e327，则a≥e327，即amin＝e327．8．满足条件AB＝2，AC＝2BC的三角形ABC的面积的最大值是________．答案22解析可设BC＝x，则AC＝2x，根据面积公式得S△ABC＝x1－cos2B，由余弦定理计算得cosB＝4－x24x，代入上式得S△ABC＝x1－4－x24x2＝128－x2－12216．由2x＋x2，x＋22x，得22－2x22＋2．故当x＝23时，S△ABC最大值为22．三、解答题9．在△ABC中，点D在BC边上，AD平分∠BAC，AB＝6，AD＝32，AC＝4．(1)利用正弦定理证明：ABAC＝BDDC；(2)求BC的长．解(1)证明：由正弦定理知，在△ABD中，ABsin∠ADB＝BDsin∠BAD，①在△ADC中，ACsin∠ADC＝DCsin∠DAC，②由∠ADB＋∠ADC＝π，∠BAD＝∠DAC，得sin∠ADB＝sin∠ADC，sin∠BAD＝sin∠DAC，①÷②得ABAC＝BDDC．(2)由(1)知BDDC＝ABAC＝32，设BD＝3x，DC＝2x(x0)，则BC＝5x，由cos∠BDA＋cos∠ADC＝0知9x2＋18－36182x＋4x2＋18－16122x＝0，解得x＝1，所以BC＝5．10．已知各项均不相等的等差数列{an}的前5项和S5＝20，且a1，a3，a7成等比数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)若Tn为数列1anan＋1的前n项和，且存在n∈N*，使得Tn－λan＋1≥0成立，求实数λ的取值范围．解(1)设数列{an}的公差为d，则5a1＋5×42d＝20，a1＋2d2＝a1a1＋6d，即a1＋2d＝4，2d2＝a1d，又因为d≠0，所以a1＝2，d＝1，所以an＝n＋1．(2)因为1anan＋1＝1n＋1n＋2＝1n＋1－1n＋2，所以Tn＝12－13＋13－14＋…＋1n＋1－1n＋2＝12－1n＋2＝n2n＋2．因为存在n∈N*，使得Tn－λan＋1≥0成立，所以存在n∈N*，使得n2n＋2－λ(n＋2)≥0成立，即存在n∈N*，使λ≤n2n＋22成立．又n2n＋22＝12n＋4n＋4，且12n＋4n＋4≤116(当且仅当n＝2时取等号)，所以λ≤116．即实数λ的取值范围是－∞，116．11．设函数f(x)＝lnx＋ax－1(a为常数)．(1)若曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线与x轴平行，求实数a的值；(2)若函数f(x)在(e，＋∞)内有极值，求实数a的取值范围．解(1)函数f(x)的定义域为(0，1)∪(1，＋∞)，由f(x)＝lnx＋ax－1得f′(x)＝1x－ax－12，由于曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线与x轴平行，所以f′(2)＝0，即12－a2－12＝0，所以a＝12．(2)因为f′(x)＝1x－ax－12＝x2－2＋ax＋1xx－12，若函数f(x)在(e，＋∞)内有极值，则函数y＝f′(x)在(e，＋∞)内有异号零点，令φ(x)＝x2－(2＋a)x＋1．设x2－(2＋a)x＋1＝(x－α)(x－β)，可知αβ＝1，不妨设βα，则α∈(0，1)，β∈(1，＋∞)，若函数y＝f′(x)在(e，＋∞)内有异号零点，即y＝φ(x)在(e，＋∞)内有异号零点，所以βe，又φ(0)＝10，所以φ(e)＝e2－(2＋a)e＋10，解得ae＋1e－2，所以实数a的取值范围是e＋1e－2，＋∞．12．(2018·河南联考)在平面直角坐标系中，动点M到定点F(－1，0)的距离与它到直线x＝－2的距离之比是常数22，记M的轨迹为T．(1)求轨迹T的方程；(2)过点F且不与x轴重合的直线m与轨迹T交于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点P，在轨迹T上是否存在点Q，使得四边形APBQ为菱形？若存在，请求出直线m的方程；若不存在，请说明理由．解(1)设M(x，y)，根据动点M到定点F(－1，0)的距离与它到直线x＝－2的距离之比是常数22，得x＋12＋y2|x＋2|＝22，整理得x22＋y2＝1，∴轨迹T的方程为x22＋y2＝1．(2)假设存在直线m，设直线m的方程为x＝ky－1，由x＝ky－1，x22＋y2＝1消去x，得(k2＋2)y2－2ky－1＝0．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝2kk2＋2，x1＋x2＝k(y1＋y2)－2＝－4k2＋2，∴线段AB的中点H的坐标为－2k2＋2，kk2＋2．∵PQ⊥AB，∴直线PQ的方程为y－kk2＋2＝－kx＋2k2＋2，令y＝0，解得x＝－1k2＋2，即P－1k2＋2，0．设Q(x0，y0)，∵P，Q关于点H对称，∴－2k2＋2＝12x0－1k2＋2，kk2＋2＝12(y0＋0)，解得x0＝－3k2＋2，y0＝2kk2＋2，即Q－3k2＋2，2kk2＋2．∵点Q在椭圆上，∴－3k2＋22＋22kk2＋22＝2，解得k2＝12，于是1k2＝2，即1k＝±42，∴直线m的方程为y＝42x＋42或y＝－42x－42．