2020高考数学刷题首选卷 第五章 不等式、推理与证明、算法初步与复数 考点测试36 基本不等式 理

考点测试36基本不等式高考概览高考在本考点的常考题型为选择题、填空题，分值5分，中等难度考纲研读1．了解基本不等式的证明过程2．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题一、基础小题1．“a0且b0”是“a＋b2≥ab”成立的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案A解析a0且b0⇒a＋b2≥ab，但a＋b2≥ab⇒/a0且b0，只能推出a≥0且b≥0．2．已知0x1，则x(3－3x)取得最大值时x的值为()A．13B．12C．34D．23答案B解析∵0x1，∴x(3－3x)＝3x(1－x)≤3x＋1－x22＝34．当且仅当x＝1－x，即x＝12时等号成立．3．若函数f(x)＝x＋1x－2(x2)在x＝a处取最小值，则a等于()A．1＋2B．1＋3C．3D．4答案C解析∵x＞2，∴x－2＞0，∴f(x)＝x＋1x－2＝(x－2)＋1x－2＋2≥2x－2·1x－2＋2＝2＋2＝4，当且仅当x－2＝1x－2，即(x－2)2＝1时等号成立，解得x＝1或3．又∵x＞2，∴x＝3，即a等于3时，函数f(x)在x＝3处取得最小值，故选C．4．函数f(x)＝x＋1x(x0)的值域为()A．(－∞，0)B．(－∞，－2]C．[2，＋∞)D．(－∞，＋∞)答案B解析f(x)＝－－x－1x≤－2－x·1－x＝－2，当且仅当－x＝1－x，即x＝－1时，等号成立．5．设0x2，则函数y＝x4－2x的最大值为()A．2B．22C．3D．2答案D解析∵0x2，∴2－x0，∴y＝x4－2x＝2·x2－x≤2·x＋2－x2＝2，当且仅当x＝2－x，即x＝1时取等号．6．函数y＝x2＋2x＋2x＋1(x－1)的图象的最低点的坐标是()A．(1，2)B．(1，－2)C．(1，1)D．(0，2)答案D解析y＝x＋12＋1x＋1＝(x＋1)＋1x＋1≥2，当x＝0时取最小值．7．设0ab，则下列不等式中正确的是()A．ababa＋b2B．aaba＋b2bC．aabba＋b2D．abaa＋b2b答案B解析∵0ab，∴aa＋b2b，A，C错误；ab－a＝a(b－a)0，即aba，D错误．故选B．8．已知a0，b0，a，b的等比中项是1，且m＝b＋1a，n＝a＋1b，则m＋n的最小值是()A．3B．4C．5D．6答案B解析由题意知ab＝1，∴m＝b＋1a＝2b，n＝a＋1b＝2a，∴m＋n＝2(a＋b)≥4ab＝4，当且仅当a＝b＝1时取等号．9．若2x＋2y＝1，则x＋y的取值范围是()A．[0，2]B．[－2，0]C．[－2，＋∞)D．(－∞，－2]答案D解析∵1＝2x＋2y≥22x·2y＝22x＋y当且仅当2x＝2y＝12，即x＝y＝－1时等号成立，∴2x＋y≤12，∴2x＋y≤14，得x＋y≤－2．10．下列函数中，最小值为4的是()A．y＝x2＋9x2＋5B．y＝sinx＋4sinx(0＜x＜π)C．y＝ex＋4e－xD．y＝log3x＋4logx3答案C解析对于A，因为x2＋5≥5，所以y＝x2＋5＋4x2＋5的最小值不是4，所以不满足题意；对于B，令sinx＝t∈(0，1]，则y＝t＋4t，y′＝1－4t2＜0，因此函数y＝t＋4t在(0，1]上单调递减，所以y≥5，所以不满足题意；对于C，y≥2ex·4e－x＝4，当且仅当ex＝4e－x，即x＝ln2时取等号，故满足题意；对于D，当x∈(0，1)时，log3x，logx30，所以不满足题意．11．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x件，则平均存储时间为x8天，且每件产品每天的存储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与存储费用之和最小，每批应生产产品()A．60件B．80件C．100件D．120件答案B解析若每批生产x件产品，则每件产品的生产准备费用是800x元，存储费用是x8元，总的费用y＝800x＋x8≥2800x·x8＝20，当且仅当800x＝x8时取等号，得x＝80(件)．故选B．12．设M＝1a－11b－11c－1，且a＋b＋c＝1，a，b，c∈(0，＋∞)，则M的取值范围是________．答案[8，＋∞)解析M＝b＋ca·a＋cb·a＋bc≥2bc·2ac·2ababc＝8，当且仅当a＝b＝c＝13时取等号．二、高考小题13．(2017·天津高考)已知函数f(x)＝x2－x＋3，x≤1，x＋2x，x＞1.设a∈R，若关于x的不等式f(x)≥x2＋a在R上恒成立，则a的取值范围是()A．－4716，2B．－4716，3916C．[－23，2]D．－23，3916答案A解析①当x≤1时，关于x的不等式f(x)≥x2＋a在R上恒成立等价于－x2＋x－3≤x2＋a≤x2－x＋3在R上恒成立，即有－x2＋12x－3≤a≤x2－32x＋3在R上恒成立．由y＝－x2＋12x－3图象的对称轴为x＝1414＜1，可得在x＝14处取得最大值－4716；由y＝x2－32x＋3图象的对称轴为x＝3434＜1，可得在x＝34处取得最小值3916，则－4716≤a≤3916．②当x1时，关于x的不等式f(x)≥x2＋a在R上恒成立等价于－x＋2x≤x2＋a≤x＋2x在R上恒成立，即有－32x＋2x≤a≤x2＋2x在R上恒成立，由于x1，所以－32x＋2x≤－23x2·2x＝－23，当且仅当x＝23时取得最大值－23；因为x1，所以12x＋2x≥212x·2x＝2，当且仅当x＝2时取得最小值2，则－23≤a≤2．由①②可得－4716≤a≤2．故选A．14．(2018·天津高考)已知a，b∈R，且a－3b＋6＝0，则2a＋18b的最小值为________．答案14解析由已知，得2a＋18b＝2a＋2－3b≥22a·2－3b＝22a－3b＝22－6＝14，当且仅当2a＝2－3b时等号成立，由a＝－3b，a－3b＋6＝0，得a＝－3，b＝1，故当a＝－3，b＝1时，2a＋18b取得最小值14．15．(2015·重庆高考)设a，b0，a＋b＝5，则a＋1＋b＋3的最大值为________．答案32解析令t＝a＋1＋b＋3，则t2＝(a＋1＋b＋3)2＝a＋1＋b＋3＋2a＋1·b＋3≤9＋a＋1＋b＋3＝18，当且仅当a＋1＝b＋3时，即a＝72，b＝32时，等号成立，所以t的最大值为32．16．(2017·江苏高考)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是________．答案30解析设总费用为y万元，则y＝600x×6＋4x＝4x＋900x≥240，当且仅当x＝900x，即x＝30时，等号成立．17．(2017·天津高考)若a，b∈R，ab0，则a4＋4b4＋1ab的最小值为________．答案4解析∵a4＋4b4≥2a2·2b2＝4a2b2(当且仅当a2＝2b2时“＝”成立)，∴a4＋4b4＋1ab≥4a2b2＋1ab＝4ab＋1ab，由于ab＞0，∴4ab＋1ab≥24ab·1ab＝4当且仅当4ab＝1ab时“＝”成立，故当且仅当a2＝2b2，4ab＝1ab时，a4＋4b4＋1ab的最小值为4．三、模拟小题18．(2018·廊坊一模)已知m0，n0，2m＋n＝1，则14m＋2n的最小值为()A．4B．22C．92D．16答案C解析∵m0，n0，2m＋n＝1，则14m＋2n＝(2m＋n)·14m＋2n＝52＋n4m＋4mn≥52＋2n4m·4mn＝92，当且仅当n＝23，m＝16时取等号．故选C．19．(2018·山东日照模拟)若实数x，y满足xy0，则xx＋y＋2yx＋2y的最大值为()A．2－2B．2＋2C．4＋22D．4－22答案D解析xx＋y＋2yx＋2y＝xx＋y＋x＋2y－xx＋2y＝1＋xx＋y－xx＋2y＝1＋xyx＋yx＋2y＝1＋xyx2＋3xy＋2y2＝1＋13＋xy＋2yx，因为xy0，所以xy0，yx0．由基本不等式可知xy＋2yx≥22，当且仅当x＝2y时等号成立，所以1＋13＋xy＋2yx≤1＋13＋22＝4－22．20．(2018·四川资阳诊断)已知a0，b0，且2a＋b＝ab，则a＋2b的最小值为()A．5＋22B．82C．5D．9答案D解析∵a0，b0，且2a＋b＝ab，∴a＝bb－20，解得b2，即b－20，则a＋2b＝bb－2＋2b＝1＋2b－2＋2(b－2)＋4≥5＋22b－2·2b－2＝9，当且仅当b＝3，a＝3时等号成立，其最小值为9．21．(2018·江西九校联考)若正实数x，y满足(2xy－1)2＝(5y＋2)·(y－2)，则x＋12y的最大值为()A．－1＋322B．1C．1＋332D．322答案A解析由(2xy－1)2＝(5y＋2)·(y－2)，可得(2xy－1)2＝9y2－(2y＋2)2，即(2xy－1)2＋(2y＋2)2＝9y2，得2x－1y2＋2＋2y2＝9，又2x－1y2＋2＋2y2≥2x－1y＋2＋2y22＝2x＋1y＋222，当且仅当2x－1y＝2＋2y时等号成立，所以2x＋1y＋22≤18，得2x＋1y≤32－2，所以x＋12y≤32－22，所以x＋12y的最大值为－1＋322．故选A．22．(2018·南昌摸底)已知函数y＝x＋mx－2(x2)的最小值为6，则正数m的值为________．答案4解析由x2，知x－20，又m0，则y＝(x－2)＋mx－2＋2≥2x－2mx－2＋2＝2m＋2，取等号的条件为x－2＝mx－2．从而依题意可知2m＋2＝6，解得m＝4．23．(2018·邯郸模拟)设x0，y0，且x－1y2＝16yx，则当x＋1y取最小值时，x2＋1y2＝________．答案12解析∵x0，y0，∴当x＋1y取最小值时，x＋1y2取得最小值，∵x＋1y2＝x2＋1y2＋2xy，又x－1y2＝16yx，∴x2＋1y2＝2xy＋16yx，∴x＋1y2＝4xy＋16yx≥24xy·16yx＝16，∴x＋1y≥4，当且仅当4xy＝16yx，即x＝2y时取等号，∴当x＋1y取最小值时，x＝2y，x2＋1y2＋2xy＝16，∴x2＋1y2＋2×2yy＝16，∴x2＋1y2＝16－4＝12．一、高考大题本考点在近三年高考中未涉及此题型．二、模拟大题1．(2018·河北唐山模拟)已知x，y∈(0，＋∞)，x2＋y2＝x＋y．(1)求1x＋1y的最小值；(2)是否存在x，y满足(x＋1)(y＋1)＝5？并说明理由．解(1)因为1x＋1y＝x＋yxy＝x2＋y2xy≥2xyxy＝2，当且仅当x＝y＝1时，等号成立，所以1x＋1y的最小值为2．(2)不存在．理由如下：因为x2＋y2≥2xy，所以(x＋y)2≤2(x2＋y2)＝2(x＋y)．又x，y∈(0，＋∞)，所以x＋y≤2．从而有(x＋1)(y＋1)≤x＋1＋y＋122≤4，因此不存在x，y满足(x＋1)(y＋1)＝5．2．(2018·河南驻马店检测)某地需要修建一条大型输油管道通过240km宽的沙漠地带，该段输油管道两端的输油站已建好，余下工程是在该段两端已建好的输油站之间铺设输油管道和等距离修建增压站(又称泵站)．经预算，修建一个增压站的费用为400万元，铺设距离为xkm的相邻两增压站之间的输油管道的费用为x2＋x万元．设余下工程的总费用为y万元．(1)试将y表示成x的函数；(2)需要修建多少个增压站才能使y最小，其最小值为多少？解(1)设需要修建k个增压站，则(k＋1)x＝240，即k＝240x－1．所以y＝400k＋(k＋1)(x2＋x)＝400240x－1＋240x()x2＋x＝96000x＋240x－160．因为x表示相邻两增压站之间的距离，则0