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考点测试34二元一次不等式组与简单的线性规划高考概览本考点是高考必考知识点，常考题型为选择题、填空题，分值5分，中等难度考纲研读1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组2．了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组3．会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决一、基础小题1．不等式y(x＋y－2)≥0在平面直角坐标系中表示的区域(用阴影部分表示)是()答案C解析由y(x＋y－2)≥0，得y≥0，x＋y－2≥0或y≤0，x＋y－2≤0，所以不等式y(x＋y－2)≥0在平面直角坐标系中表示的区域是C项．2.已知点A(－3，－1)与点B(4，－6)在直线3x－2y－a＝0的两侧，则实数a的取值范围是()A．(－24，7)B．(－7，24)C．(－∞，－24)∪(7，＋∞)D．(－∞，－7)∪(24，＋∞)答案B解析(－9＋2－a)(12＋12－a)＜0，所以－7＜a＜24.故选B.3．若实数x，y满足不等式组x－y≥－1，x＋y≥1，3x－y≤3，则该约束条件所围成的平面区域的面积是()A．3B.52C．2D．22答案C解析因为直线x－y＝－1与x＋y＝1互相垂直，所以如图所示的可行域为直角三角形，易得A(0，1)，B(1，0)，C(2，3)，故|AB|＝2，|AC|＝22，所以其面积为12×|AB|×|AC|＝2.4．若变量x，y满足约束条件x＋y≥0，x－y≥0，3x＋y－4≤0，则3x＋2y的最大值是()A．0B．2C．5D．6答案C解析作不等式组的可行域，如图：令z＝3x＋2y，则y＝－32x＋z2表示一系列平行于y＝－32x的直线，并且z2表示该直线的纵截距．显然，把直线y＝－32x平移至点A处，z最大．由x－y＝0，3x＋y－4＝0得A(1，1)．所以zmax＝3x＋2y＝3＋2＝5.故选C.5．已知点(a，b)是平面区域x＋y－2≤0，x≥0，y≥－1内的任意一点，则3a－b的最小值为()A．－3B．－2C．－1D．0答案B解析根据题意可知(a，b)在如图阴影中，设z＝3a－b.则b＝3a－z，所以－z可以理解为y＝3x＋t中的纵截距t.因而当y＝3x＋t过点(0，2)时，t最大为2.即－z最大为2，所以z最小为－2.6．若x，y满足约束条件x≥0，x－y≤0，x＋y－1≥0，则z＝x＋3y的取值范围是()A．(－∞，2]B．[2，3]C．[3，＋∞)D．[2，＋∞)答案D解析作不等式组表示的平面区域，如图．平移直线x＋3y＝0到点A时，z取得最小值，由x－y＝0，x＋y－1＝0，解得点A12，12，所以zmin＝12＋32＝2，无最大值．故选D.7．在如图所示的平面区域内有A(5，3)，B(1，1)，C(1，5)三点，若使目标函数z＝ax＋y(a0)取得最大值的最优解有无穷多个，则实数a的值是()A.23B.12C．2D.32答案B解析由题意知，当z＝ax＋y与直线AC重合时最优解有无穷多个．因为kAC＝－12，所以－a＝－12，即a＝12.故选B.8．已知实数x，y满足约束条件x＋3y－7≤0，x≥1，y≥1，则|y－x|的最大值是()A．22B.322C．4D．3答案D解析画出不等式组表示的平面区域(如图)，计算得A(1，2)，B(4，1)，当直线z＝x－y过点A时zmin＝－1，过点B时zmax＝3，则－1≤x－y≤3，则|y－x|≤3.9．不等式组x0，y0，2x＋y6所表示的平面区域内的整点个数为()A．2B．3C．4D．5答案C解析由不等式2x＋y6，得y6－2x，且x0，y0，则当x＝1时，0y4，则y＝1，2，3，此时整点有(1，1)，(1，2)，(1，3)；当x＝2时，0y2，则y＝1，此时整点有(2，1)；当x＝3时，y无解．故平面区域内的整点个数为4.故选C.10．某蔬菜收购点租用车辆，将100吨新鲜黄瓜运往某市销售，可供租用的卡车和农用车分别为10辆和20辆．若每辆卡车载重8吨，运费960元，每辆农用车载重2.5吨，运费360元，则蔬菜收购点运完全部黄瓜支出的最低运费为()A．11280元B．12480元C．10280元D．11480元答案B解析设租用的卡车和农用车分别为x辆和y辆，运完全部黄瓜支出的运费为z元，则0≤x≤10，0≤y≤20，8x＋2.5y≥100，x∈N*，y∈N*，目标函数z＝960x＋360y，此不等式组表示的可行域是△ABC(其中A(10，8)，B(10，20)，C(6.25，20))内横坐标和纵坐标均为整数的点．当直线l：z＝960x＋360y经过点A(10，8)时，运费最低，且其最低运费zmin＝960×10＋360×8＝12480(元)，选B.11．设不等式组3x＋y≥10，x＋3y≤6表示的平面区域为D，若在区域D上存在函数y＝logax(a1)的图象上的点，则实数a的取值范围是()A．(3，＋∞)B．(1，3)C．[3，＋∞)D．(1，3]答案C解析作不等式组3x＋y≥10，x＋3y≤6表示的平面区域D，如图中阴影部分所示．由3x＋y＝10，x＋3y＝6，解得点A(3，1)．由a1，对数函数的图象经过可行域，此时满足loga3≤1，解得a≥3，所以实数a的取值范围是[3，＋∞)，故选C.12．已知实数x，y满足x＋y－1≤0，x－y＋1≥0，y≥－1，则w＝x2＋y2－4x－4y＋8的最小值为________．答案92解析目标函数w＝x2＋y2－4x－4y＋8＝(x－2)2＋(y－2)2，其几何意义是点(2，2)与可行域内的点的距离的平方．由实数x，y所满足的不等式组作出可行域如图中阴影部分所示，由图可知，点(2，2)到直线x＋y－1＝0的距离为其到可行域内点的距离的最小值，又|2＋2－1|2＝322，所以wmin＝92.二、高考小题13．(2018·天津高考)设变量x，y满足约束条件x＋y≤5，2x－y≤4，－x＋y≤1，y≥0，则目标函数z＝3x＋5y的最大值为()A．6B．19C．21D．45答案C解析由变量x，y满足的约束条件画出可行域(如图中阴影部分所示)．作出基本直线l0：3x＋5y＝0，平移直线l0，当直线经过点A(2，3)时，z取最大值，即zmax＝3×2＋5×3＝21.故选C.14．(2018·全国卷Ⅱ)若x，y满足约束条件x＋2y－5≥0，x－2y＋3≥0，x－5≤0，则z＝x＋y的最大值为________．答案9解析不等式组表示的可行域是以A(5，4)，B(1，2)，C(5，0)为顶点的三角形区域，如图所示，由图可知目标函数z＝x＋y的最大值在顶点A处取得，即当x＝5，y＝4时，zmax＝9.15．(2018·全国卷Ⅰ)若x，y满足约束条件x－2y－2≤0，x－y＋1≥0，y≤0，则z＝3x＋2y的最大值为________．答案6解析根据题中所给的约束条件，画出其对应的可行域，如图所示：由z＝3x＋2y可得y＝－32x＋12z，画出直线y＝－32x，将其上下移动，结合z2的几何意义，可知当直线过点B时，z取得最大值，由x－2y－2＝0，y＝0，解得B(2，0)，此时zmax＝3×2＋0＝6.16．(2018·全国卷Ⅲ)若变量x，y满足约束条件2x＋y＋3≥0，x－2y＋4≥0，x－2≤0，则z＝x＋13y的最大值是________．答案3解析作出可行域如图阴影部分．由图可知目标函数在直线x－2y＋4＝0与x＝2的交点(2，3)处取得最大值3.17．(2018·浙江高考)若x，y满足约束条件x－y≥0，2x＋y≤6，x＋y≥2，则z＝x＋3y的最小值是________，最大值是________．答案－28解析由约束条件得可行域是以A(1，1)，B(2，2)，C(4，－2)为顶点的三角形区域(含边界)，如图．当直线y＝－13x＋z3过点C(4，－2)时，z＝x＋3y取得最小值－2，过点B(2，2)时，z＝x＋3y取得最大值8.18．(2018·北京高考)若x，y满足x＋1≤y≤2x，则2y－x的最小值是________．答案3解析由x＋1≤y≤2x作出可行域，如图中阴影部分所示．设z＝2y－x，则y＝12x＋12z，当直线y＝12x＋12z过A(1，2)时，z取得最小值3.三、模拟小题19．(2018·山西太原模拟)已知实数x，y满足x－2y＋1≥0，x2，x＋y－1≥0，则z＝2x－2y－1的取值范围是()A.53，5B．[0，5]C.53，5D．－53，5答案D解析作出不等式组表示的可行域，如图阴影部分所示，可知2×13－2×23－1≤z2×2－2×(－1)－1，即z的取值范围是－53，5.20．(2018·南昌一模)设不等式组x＋y－3≥0，x－y＋1≥0，3x－y－5≤0表示的平面区域为M，若直线y＝kx经过区域M内的点，则实数k的取值范围为()A.12，2B.12，43C.12，2D.43，2答案C解析作不等式组表示的平面区域，如图阴影部分所示：由x＋y－3＝0，x－y＋1＝0得A(1，2)，由x＋y－3＝0，3x－y－5＝0得B(2，1)，平面区域M即为图中阴影部分△ABC，直线y＝kx经过区域M内的点A时，k＝2，直线y＝kx经过区域M内的点B时，k＝12，故12≤k≤2，故选C.21．(2018·长沙统考)已知x，y满足约束条件x－y≥0，2x＋3y≤4，y≥0，若z＝ax＋y的最大值为4，则a＝()A．2B.12C．－2D．－12答案A解析作不等式组表示的平面区域如图．当直线l：y＝－ax＋z经过△AOB区域时，l在y轴上的最大截距为4，则点B(2，0)为最优解，所以z＝2a＝4，即a＝2，故选A.22．(2018·太原模拟)已知不等式ax－2by≤2在平面区域{(x，y)||x|≤1且|y|≤1}上恒成立，则动点P(a，b)所形成平面区域的面积为()A．4B．8C．16D．32答案A解析作平面区域{(x，y)||x|≤1且|y|≤1}，如图1所示．该平面区域表示正方形ABCD内部(含边界)．令z＝ax－2by，因为ax－2by≤2恒成立，则函数z＝ax－2by在该平面区域要求的条件下，zmax＝2恒成立．当直线ax－2by－z＝0过点A(－1，1)或B(1，1)或C(1，－1)或D(－1，－1)时，有－a－2b≤2，a－2b≤2，a＋2b≤2，－a＋2b≤2，再作该不等式组表示的可行域，即菱形EFGH内部(含边界)．如图2所示．其中H(－2，0)，F(2，0)，E(0，1)，G(0，－1)，所以动点P(a，b)所形成平面区域的面积为12×4×2＝4.故选A.23．(2018·湖北八市联考)已知x，y满足y≥x，x＋y≤2，2x－y≥m.若z＝x＋2y有最大值4，则实数m的值为()A．－4B．－2C．－1D．1答案B解析可行域所表示区域为三条直线所封闭的三角形区域(含边界)，如图阴影部分所示．依题意，有直线y＝－12x＋z2的纵截距z2有最大值2，则结合图形可知需满足直线2x－y＝m过点(0，2)，从而m＝2×0－2＝－2，故选B.24．(2018·河北石家庄质检)在平面直角坐标系中，不等式组x＋y≤0，x－y≤0，x2＋y2≤r2(r为常数)表示的平面区域的面积为π，若x，y满足上述约束条件，则z＝x＋y＋1x＋3的最小值为()A．－1B．－52＋17C.13D．－75答案D解析作出不等式组表示的平面区域，如图所示，由题意知14πr2＝π，解得r＝2.z＝x＋y＋1x＋3＝1＋y－2x＋3，易知y－2x＋3表示可行域内的点(x，y)与点P(－3，2)的连线的斜率，由图可知当点(x，y)与点P的连线与圆x2＋y2＝r2相切时斜率最小．设切线方程为y－2＝