2020高考数学刷题首选卷 第四章 数列 考点测试30 等差数列 理（含解析）

考点测试30等差数列高考概览本考点是高考必考知识点，常考题型为选择题、填空题和解答题，分值5分、12分，中、低等难度考纲研读1．理解等差数列的概念2．掌握等差数列的通项公式与前n项和公式3．能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题4．了解等差数列与一次函数、二次函数的关系一、基础小题1．已知{an}为等差数列，其前n项和为Sn，若a1＝1，a3＝5，Sn＝64，则n＝()A．6B．7C．8D．9答案C解析因为d＝a3－a12＝2，所以Sn＝na1＋nn－12d＝n＋n(n－1)＝64，解得n＝8．故选C．2．在等差数列{an}中，已知a3＋a8＝10，则3a5＋a7＝()A．10B．18C．20D．28答案C解析由题意可知a3＋a8＝a5＋a6＝10，所以3a5＋a7＝2a5＋a5＋a7＝2a5＋2a6＝20，故选C．3．已知Sn是数列{an}的前n项和，且Sn＋1＝Sn＋an＋3，a4＋a5＝23，则S8＝()A．72B．88C．92D．98答案C解析由Sn＋1＝Sn＋an＋3得an＋1－an＝3，所以{an}为等差数列，公差为3，由a4＋a5＝23得2a1＋7d＝23，所以a1＝1，S8＝8＋12×8×7×3＝92．故选C．4．设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a1＝1，公差d＝2，Sk＋2－Sk＝24，则k＝()A．8B．7C．6D．5答案D解析由a1＝1，公差d＝2，得通项an＝2n－1，又Sk＋2－Sk＝ak＋1＋ak＋2，所以2k＋1＋2k＋3＝24，解得k＝5．故选D．5．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2＋a8＋a11＝30，则S13＝()A．130B．65C．70D．140答案A解析设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，由a2＋a8＋a11＝30，可得a1＋6d＝10，故S13＝13a1＋a132＝13(a1＋6d)＝130．故选A．6．设{an}是公差不为0的等差数列，且a24＋a25＝a26＋a27，则该数列的前10项和S10＝()A．－10B．－5C．0D．5答案C解析由a24＋a25＝a26＋a27得a24－a26＝a27－a25，即(a4－a6)(a4＋a6)＝(a7－a5)(a7＋a5)，也即－2d×2a5＝2d×2a6，由d≠0，得a6＋a5＝a1＋a10＝0，所以S10＝5(a1＋a10)＝0．故选C．7．在等差数列{an}中，已知S4＝1，S8＝4，设S＝a17＋a18＋a19＋a20，则S的值为()A．8B．9C．10D．11答案B解析由S4＝1，S8＝4得S8－S4＝3，所以S12－S8＝5，所以S16－S12＝7，所以S＝S20－S16＝9．故选B．8．等差数列{an}的前n项和为Sn．已知am－1＋am＋1－a2m＝0，S2m－1＝38，则m＝________．答案10解析因为am－1＋am＋1－a2m＝0，数列{an}是等差数列，所以2am－a2m＝0，解得am＝0或am＝2．又S2m－1＝38，所以am＝0不符合题意，所以am＝2．所以S2m－1＝2m－1a1＋a2m－12＝(2m－1)am＝38，解得m＝10．二、高考小题9．(2018·全国卷Ⅰ)设Sn为等差数列{an}的前n项和，若3S3＝S2＋S4，a1＝2，则a5＝()A．－12B．－10C．10D．12答案B解析设该等差数列的公差为d，根据题中的条件可得3×3×2＋3×22·d＝2×2＋d＋4×2＋4×32·d，解得d＝－3，所以a5＝a1＋4d＝2－12＝－10，故选B．10．(2017·全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a4＋a5＝24，S6＝48，则{an}的公差为()A．1B．2C．4D．8答案C解析在等差数列{an}中，S6＝a1＋a6×62＝48，则a1＋a6＝16＝a2＋a5．又a4＋a5＝24，所以a4－a2＝2d＝24－16＝8，得d＝4．故选C．11．(2017·全国卷Ⅲ)等差数列{an}的首项为1，公差不为0．若a2，a3，a6成等比数列，则{an}前6项的和为()A．－24B．－3C．3D．8答案A解析设等差数列{an}的公差为d，依题意得a23＝a2·a6，即(1＋2d)2＝(1＋d)(1＋5d)，解得d＝－2或d＝0(舍去)，又a1＝1，所以S6＝6×1＋6×52×(－2)＝－24．故选A．12．(2016·全国卷Ⅰ)已知等差数列{an}前9项的和为27，a10＝8，则a100＝()A．100B．99C．98D．97答案C解析设{an}的公差为d，由等差数列的前n项和公式及通项公式，得S9＝9a1＋9×82d＝27，a10＝a1＋9d＝8，解得a1＝－1，d＝1，an＝a1＋(n－1)d＝n－2，所以a100＝100－2＝98．故选C．13．(2018·北京高考)设{an}是等差数列，且a1＝3，a2＋a5＝36，则{an}的通项公式为________．答案an＝6n－3解析设等差数列{an}的公差为d，则a2＋a5＝a1＋d＋a1＋4d＝2a1＋5d＝6＋5d＝36，∴d＝6，∴an＝a1＋(n－1)d＝3＋6(n－1)＝6n－3．14．(2016·江苏高考)已知{an}是等差数列，Sn是其前n项和．若a1＋a22＝－3，S5＝10，则a9的值是________．答案20解析设等差数列{an}的公差为d，则由题设可得a1＋a1＋d2＝－3，5a1＋5×42d＝10，解得d＝3，a1＝－4，从而a9＝a1＋8d＝20．三、模拟小题15．(2018·深圳4月调研)设Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1＝S3＝3，则S4的值为()A．－3B．0C．3D．6答案B解析解法一：由S3＝3a2＝3，得a2＝1，又a1＝3，则公差d＝－2，故S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝3＋1＋(－1)＋(－3)＝0，故选B．解法二：a2＋a3＝S3－a1＝0，则S4＝2(a2＋a3)＝0，故选B．16．(2018·青岛质检)已知公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn，若a6＝3a4，且S9＝λa4，则λ的值为()A．18B．20C．21D．25答案A解析设等差数列{an}的首项为a1，公差为d．由a6＝3a4，得a1＋5d＝3(a1＋3d)，所以a1＝－2d．由S9＝λa4，得9a1＋36d＝λ(a1＋3d)，代入a1＝－2d，得λ＝18．故选A．17．(2018·沈阳质检一)在等差数列{an}中，若Sn为其前n项和，2a7＝a8＋5，则S11的值是()A．55B．11C．50D．60答案A解析依题意有a7－(a8－a7)＝5，即a7－d＝5(d为{an}的公差)，亦即a6＝5．从而S11＝11a6＝11×5＝55．故选A．18．(2018·安徽江南十校模拟)《九章算术》是我国古代的数学名著，书中《均属章》有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知A，B，C，D，E五人分5钱，A，B两人所得与C，D，E三人所得相同，且A，B，C，D，E每人所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”(“钱”是古代的一种重量单位)．在这个问题中，E所得为()A．23钱B．43钱C．56钱D．32钱答案A解析由题意，设A所得为a－4d，B所得为a－3d，C所得为a－2d，D所得为a－d，E所得为a，则5a－10d＝5，2a－7d＝3a－3d，解得a＝23，故E所得为23钱．故选A．19．(2018·衡阳二模)已知在等差数列{an}中，－1a7a60，若它的前n项和Sn有最大值，则当Sn0时，n的最大值为()A．11B．12C．13D．14答案B解析由数列{an}为等差数列，且它的前n项和Sn有最大值，可得d0．因为－1a7a60，由a7a60，得a60，a70，由a7a6－1，得a6＋a7a60，所以a6＋a70，所以a1＋a120，所以S120，又S13＝13a70，则当Sn0时，n的最大值为12，故选B．20．(2018·合肥质检三)已知数列{an}的前n项和为Sn，且数列Snn为等差数列，若S2＝1，S2018－S2016＝5，则S2018＝________．答案3027解析依题意，设Snn＝xn＋y(x，y∈R)，则S22＝12＝2x＋y，且S2018－S2016＝20182x＋2018y－(20162x＋2016y)＝5，联立可解得x＝12016，y＝5031008．则Sn＝12016n2＋5031008n，S2018＝3027．一、高考大题1．(2018·全国卷Ⅱ)记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1＝－7，S3＝－15．(1)求{an}的通项公式；(2)求Sn，并求Sn的最小值．解(1)设{an}的公差为d，由题意，得3a1＋3d＝－15．由a1＝－7，得d＝2．所以{an}的通项公式为an＝－7＋(n－1)×2＝2n－9．(2)由(1)，得Sn＝n×(－7)＋nn－12×2＝n2－8n＝(n－4)2－16．所以当n＝4时，Sn取得最小值，最小值为－16．2．(2018·北京高考)设{an}是等差数列，且a1＝ln2，a2＋a3＝5ln2．(1)求{an}的通项公式；(2)求ea1＋ea2＋…＋ean．解(1)设{an}的公差为d．因为a2＋a3＝5ln2，所以2a1＋3d＝5ln2．又a1＝ln2，所以d＝ln2．所以an＝a1＋(n－1)d＝nln2．(2)因为ea1＝eln2＝2，eanean－1＝ean－an－1＝eln2＝2，所以{ean}是首项为2，公比为2的等比数列．所以ea1＋ea2＋…＋ean＝2×1－2n1－2＝2(2n－1)＝2n＋1－2．3．(2017·全国卷Ⅰ)记Sn为等比数列{an}的前n项和．已知S2＝2，S3＝－6．(1)求{an}的通项公式；(2)求Sn，并判断Sn＋1，Sn，Sn＋2是否成等差数列．解(1)设{an}的公比为q，由题设可得a11＋q＝2，a11＋q＋q2＝－6.解得q＝－2，a1＝－2．故{an}的通项公式为an＝(－2)n．(2)由(1)可得Sn＝a11－qn1－q＝－23＋(－1)n·2n＋13．由于Sn＋2＋Sn＋1＝－43＋(－1)n·2n＋3－2n＋23＝2－23＋(－1)n·2n＋13＝2Sn，故Sn＋1，Sn，Sn＋2成等差数列．二、模拟大题4．(2018·福建龙岩检测)已知数列{an}满足(an＋1－1)·(an－1)＝3(an－an＋1)，a1＝2，令bn＝1an－1．(1)证明：数列{bn}是等差数列；(2)求数列{an}的通项公式．解(1)证明：1an＋1－1－1an－1＝an－an＋1an＋1－1an－1＝13，∴bn＋1－bn＝13，∴数列{bn}是等差数列．(2)由(1)及b1＝1a1－1＝12－1＝1，知bn＝13n＋23，∴an－1＝3n＋2，∴an＝n＋5n＋2．5．(2018·福建外国语中学调研)已知等差数列{an}的公差d0，前n项和为Sn，且a2·a3＝45，S4＝28．(1)求数列{an}的通项公式；(2)若bn＝Snn＋c(c为非零常数)，且数列{bn}也是等差数列，求c的值．解(1)∵S4＝28，∴a1＋a4×42＝28，∴a1＋a4＝14，∴a2＋a3＝14，又a2·a3＝45，公差d0，∴a2a3，a2＝5，a3＝9，∴a1＋d＝5，a1＋2d＝9，解得a1＝1，d＝4，∴an＝4n－3．(2)由(1)知Sn＝2n2－n，∴bn＝Snn＋c＝2n2－nn＋c，∴b1＝11＋c，b2＝62＋c，b3＝153＋c．又{bn}是等差数列，∴b1＋b3＝2b2，即2×62＋c＝11＋c＋153＋c，解得c＝－12(c＝0舍去)．6．(2019·河南郑州质检)在数列{an}中，an＋1＋an＝2n－44(n∈N*)，a1＝