2020高考数学刷题首选卷 第三章 三角函数、解三角形与平面向量 考点测试27 平面向量的数量积及应

考点测试27平面向量的数量积及应用高考概览高考在本考点的常考题型为选择题、填空题，分值5分，中、低等难度考纲研读1．理解平面向量数量积的含义及其几何意义2．了解平面向量的数量积与向量投影的关系3．掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算4．能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系一、基础小题1．已知向量a＝(－2，－1)，b＝(m,1)，m∈R，若a⊥b，则m的值为()A．－12B．12C．2D．－2答案A解析由a⊥b，得a·b＝0，即－2m－1＝0，则m＝－12．故选A．2．在边长为1的等边三角形ABC中，设BC→＝a，CA→＝b，AB→＝c，则a·b＋b·c＋c·a＝()A．－32B．0C．32D．3答案A解析依题意有a·b＋b·c＋c·a＝1×1×－12＋1×1×－12＋1×1×－12＝－32．故选A．3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，则AB→·AC→等于()A．－16B．－8C．8D．16答案D解析因为cosA＝|AC→||AB→|，故AB→·AC→＝|AB→||AC→|cosA＝|AC→|2＝16．故选D．4．已知|a|＝6，|b|＝3，向量a在b方向上的投影是4，则a·b为()A．12B．8C．－8D．2答案A解析∵|a|cos〈a，b〉＝4，|b|＝3，∴a·b＝|a||b|·cos〈a，b〉＝3×4＝12．故选A．5．平面四边形ABCD中，AB→＋CD→＝0，(AB→－AD→)·AC→＝0，则四边形ABCD是()A．矩形B．正方形C．菱形D．梯形答案C解析因为AB→＋CD→＝0，所以AB→＝－CD→＝DC→，所以四边形ABCD是平行四边形．又(AB→－AD→)·AC→＝DB→·AC→＝0，所以四边形对角线互相垂直，所以四边形ABCD是菱形．故选C．6．已知向量a＝(2,7)，b＝(x，－3)，且a与b的夹角为钝角，则实数x的取值范围为()A．x212B．－67x212C．x67D．x212且x≠－67答案D解析由a·b＝2x－210，得x212．当a与b共线时，2x＝7－3，则x＝－67．故x的取值范围为x212且x≠－67．故选D．7．(2018·大庆质检一)若e1，e2是夹角为60°的两个单位向量，则向量a＝e1＋e2，b＝－e1＋2e2的夹角为()A．30°B．60°C．90°D．120°答案B解析依题意，有e1·e2＝cos60°＝12，则cos〈a，b〉＝a·b|a||b|＝e1＋e2·－e1＋2e2e1＋e22·－e1＋2e22＝－1＋e1·e2＋22＋2e1·e2·5－4e1·e2＝323×3＝12，故〈a，b〉＝60°，故选B．8．已知在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，点P是斜边AB上的中点，则CP→·CB→＋CP→·CA→＝________．答案4解析由题意可建立如图所示的坐标系．可得A(2,0)，B(0,2)，P(1，1)，C(0,0)，则CP→·CB→＋CP→·CA→＝(1,1)·(0,2)＋(1,1)·(2,0)＝2＋2＝4．二、高考小题9．(2018·全国卷Ⅱ)已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)＝()A．4B．3C．2D．0答案B解析因为a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2|a|2－(－1)＝2＋1＝3．故选B．10．(2018·天津高考)在如图的平面图形中，已知OM＝1，ON＝2，∠MON＝120°，BM→＝2MA→，CN→＝2NA→，则BC→·OM→的值为()A．－15B．－9C．－6D．0答案C解析解法一：连接OA．∵BC→＝AC→－AB→＝3AN→－3AM→＝3(ON→－OA→)－3(OM→－OA→)＝3(ON→－OM→)，∴BC→·OM→＝3(ON→－OM→)·OM→＝3(ON→·OM→－|OM→|2)＝3×(2×1×cos120°－12)＝3×(－2)＝－6．故选C．解法二：在△ABC中，不妨设∠A＝90°，取特殊情况ON⊥AC，以A为坐标原点，AB，AC所在直线分别为x轴，y轴建立如图所示的平面直角坐标系，因为∠MON＝120°，ON＝2，OM＝1，所以O2，32，C0，332，M52，0，B152，0．故BC→·OM→＝－152，332·12，－32＝－154－94＝－6．故选C．11．(2018·浙江高考)已知a，b，e是平面向量，e是单位向量．若非零向量a与e的夹角为π3，向量b满足b2－4e·b＋3＝0，则|a－b|的最小值是()A．3－1B．3＋1C．2D．2－3答案A解析设OA→＝a，OB→＝b，OE→＝e，以O为原点，OE→的方向为x轴正方向建立平面直角坐标系，则E(1,0)．不妨设A点在第一象限，∵a与e的夹角为π3，∴点A在从原点出发，倾斜角为π3，且在第一象限内的射线上．设B(x，y)，由b2－4e·b＋3＝0，得x2＋y2－4x＋3＝0，即(x－2)2＋y2＝1，即点B在圆(x－2)2＋y2＝1上运动．而BA→＝a－b，∴|a－b|的最小值即为点B到射线OA的距离的最小值，即为圆心(2,0)到射线y＝3x(x≥0)的距离减去圆的半径，所以|a－b|min＝3－1．故选A．12．(2017·全国卷Ⅱ)已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则PA→·(PB→＋PC→)的最小值是()A．－2B．－32C．－43D．－1答案B解析解法一：设BC的中点为D，AD的中点为E，则有PB→＋PC→＝2PD→，则PA→·(PB→＋PC→)＝2PA→·PD→＝2(PE→＋EA→)·(PE→－EA→)＝2(PE→2－EA→2)．而AE→2＝322＝34，当P与E重合时，PE→2有最小值0，故此时PA→·(PB→＋PC→)取最小值，最小值为－2EA→2＝－2×34＝－32．故选B．解法二：以AB所在直线为x轴，AB的中点为原点建立平面直角坐标系，如图，则A(－1,0)，B(1,0)，C(0，3)，设P(x，y)，取BC的中点D，则D12，32．PA→·(PB→＋PC→)＝2PA→·PD→＝2(－1－x，－y)·12－x，32－y＝2(x＋1)·x－12＋y·y－32＝2x＋142＋y－342－34．因此，当x＝－14，y＝34时，PA→·(PB→＋PC→)取得最小值，为2×－34＝－32．故选B．13．(2017·山东高考)已知e1，e2是互相垂直的单位向量．若3e1－e2与e1＋λe2的夹角为60°，则实数λ的值是______．答案33解析由题意不妨设e1＝(1,0)，e2＝(0,1)，则3e1－e2＝(3，－1)，e1＋λe2＝(1，λ)．根据向量的夹角公式得cos60°＝3，－1·1，λ21＋λ2＝3－λ21＋λ2＝12，所以3－λ＝1＋λ2，解得λ＝33．14．(2018·上海高考)在平面直角坐标系中，已知点A(－1，0)，B(2,0)，E，F是y轴上的两个动点，且|EF→|＝2，则AE→·BF→的最小值为________．答案－3解析设E(0，m)，F(0，n)，又A(－1,0)，B(2,0)，∴AE→＝(1，m)，BF→＝(－2，n)．∴AE→·BF→＝－2＋mn，又知|EF→|＝2，∴|m－n|＝2．①当m＝n＋2时，AE→·BF→＝mn－2＝(n＋2)n－2＝n2＋2n－2＝(n＋1)2－3．∴当n＝－1，即E的坐标为(0,1)，F的坐标为(0，－1)时，AE→·BF→取得最小值－3．②当m＝n－2时，AE→·BF→＝mn－2＝(n－2)n－2＝n2－2n－2＝(n－1)2－3．∴当n＝1，即E的坐标为(0，－1)，F的坐标为(0,1)时，AE→·BF→取得最小值－3．综上可知，AE→·BF→的最小值为－3．三、模拟小题15．(2018·惠州一模)若O为△ABC所在平面内任一点，且满足(OB→－OC→)·(OB→＋OC→－2OA→)＝0，则△ABC的形状为()A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形答案A解析因为(OB→－OC→)·(OB→＋OC→－2OA→)＝0，即CB→·(AB→＋AC→)＝0，(AB→－AC→)·(AB→＋AC→)＝0，即|AB→|＝|AC→|，所以△ABC是等腰三角形，故选A．16．(2018·唐山期末)在平行四边形ABCD中，已知AB＝5，AD＝3，|BA→＋BC→|＝4，则AB→·AD→＝()A．5B．9C．12D．16答案B解析如图，因为BA→＋BC→＝BD→，所以|BA→＋BC→|＝|BD→|＝4．又AB＝5，AD＝3，所以AD⊥BD．所以AB→·AD→＝|AB→||AD→|cos〈AB→，AD→〉＝5×3×35＝9．故选B．17．(2018·郑州质检三)在△ABC中，已知AD⊥AB，CD→＝3DB→，|AD→|＝1，则AC→·AD→＝()A．1B．2C．3D．4答案D解析如图，过点C作CE⊥AD交AD的延长线于点E，则AB∥CE．由CD→＝3DB→，得DE→＝3AD→，从而AE→＝4AD→．由数量积的几何意义，知AC→·AD→＝4AD→·AD→＝4，故选D．18．(2018·石家庄质检二)若两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|＝2|b|，则向量a＋b与a的夹角为()A．π3B．2π3C．5π6D．π6答案D解析由|a＋b|＝|a－b|两边平方得a·b＝0．再由|a＋b|＝2|b|两边平方得|a|＝3|b|．从而有cos〈a＋b，a〉＝a＋b·a|a＋b||a|＝a2＋b·a2|b|·3|b|＝3|b|2＋023|b|2＝32，所以〈a＋b，a〉＝π6，故选D．19．(2018·衡阳二模)如图，在正方形ABCD中，已知AB＝2，E为BC的中点，F为CD的中点，则AE→·BF→的值是________．答案0解析解法一：AE→·BF→＝AB→＋12BC→·BC→－12AB→＝AB→·BC→＋12BC→2－12AB→2－14AB→·BC→＝0＋2－2－0＝0．解法二：因为在正方形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，所以△ABE≌△BCF，故∠EAB＝∠FBC，从而AE⊥BF，故AE→·BF→＝0．20．(2018·太原三模)已知a，b是单位向量，a·b＝0，若向量c满足|c－a－b|＝1，则|c|的最大值是________．答案2＋1解析因为a，b是单位向量，a·b＝0，设a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝(x，y)，则c－a－b＝(x－1，y－1)，所以|c－a－b|＝x－12＋y－12＝1，即(x－1)2＋(y－1)2＝1，所以向量c的模|c|＝x2＋y2表示圆(x－1)2＋(y－1)2＝1上的动点与原点的距离，最大值为12＋12＋1＝2＋1．一、高考大题1．(2017·江苏高考)已知向量a＝(cosx，sinx)，b＝(3，－3)，x∈[0，π]．(1)若a∥b，求x的值；(2)记f(x)＝a·b，求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值．解(1)因为a＝(cosx，sinx)，b＝(3，－3)，a∥b，所以－3cosx＝3sinx．若cosx＝0，则sinx＝0，与sin2x＋cos2x＝1矛盾，故cosx≠0，于是tanx＝－33．又x∈[0，π]，所以x＝5π6．(2)f(x)＝a·b＝(cosx，sinx)·(3，－3)＝3cosx－3sinx＝23cosx＋π6．因为x∈[0，π]，所以x＋π6∈π6，7π6，从而－1≤cosx＋π6≤32．于是，当x＋π6＝π6，即x＝0时，f(x)取到最大值3；当x＋π6＝π，即x＝5π6时，f(x)取到最小值－23．2．(2015·广东高考)在平面直角坐标系xOy中，已知向量m＝22，－22，n＝(sinx，cosx)，x∈0，π2．(1)若m⊥n，求tanx的值；(2)若m与n的夹角为π3，求x的值．解(1)∵m⊥n，∴m·n＝0，故22sinx－22cosx＝0，∴tanx＝1．(2)∵m与n的夹角为π3，∴cos〈m，n〉＝