2020高考数学刷题首选卷 第三章 三角函数、解三角形与平面向量 考点测试25 平面向量的概念及线性

测试25平面向量的概念及线性运算高考概览高考在本考点的常考题型为选择题和填空题，分值5分，中、低等难度考纲研读1．了解向量的实际背景2．理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义3．理解向量的几何表示4．掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义5．掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义6．了解向量线性运算的性质及其几何意义一、基础小题1．下列等式：①0－a＝－a；②－(－a)＝a；③a＋(－a)＝0；④a＋0＝a；⑤a－b＝a＋(－b)．正确的个数是()A．2B．3C．4D．5答案D解析由零向量和相反向量的性质知①②③④⑤均正确．2．若m∥n，n∥k，则向量m与向量k()A．共线B．不共线C．共线且同向D．不一定共线答案D解析如m∥0，0∥k，但k与m可能共线也可能不共线，故选D．3．如图，正六边形ABCDEF中，BA→＋CD→＋EF→＝()A．0B．BE→C．AD→D．CF→答案D解析BA→＋CD→＋EF→＝BA→＋AF→＋CB→＝CF→．故选D．4．下列命题正确的是()A．若|a|＝|b|，则a＝±bB．若|a||b|，则abC．若a∥b，则a＝bD．若|a|＝0，则a＝0答案D解析对于A，当|a|＝|b|，即向量a，b的模相等时，方向不确定，故a＝±b不一定成立；对于B，向量的模可以比较大小，但向量不可以比较大小，B不正确；C显然不正确．故选D．5．关于平面向量，下列说法正确的是()A．零向量是唯一没有方向的向量B．平面内的单位向量是唯一的C．方向相反的向量是共线向量，共线向量不一定是方向相反的向量D．共线向量就是相等向量答案C解析对于A，零向量是有方向的，其方向是任意的，故A不正确；对于B，单位向量的模为1，其方向可以是任意方向，故B不正确；对于C，方向相反的向量一定是共线向量，共线向量不一定是方向相反的向量，故C正确；对于D，由共线向量和相等向量的定义可知D不正确，故选C．6．已知m，n∈R，a，b是向量，有下列命题：①m(a－b)＝ma－mb；②(m－n)a＝ma－na；③若ma＝mb，则a＝b；④若ma＝na，则m＝n．其中正确的是()A．①②③B．①③④C．②③④D．①②答案D解析由数乘向量的运算律知，数乘向量对数和向量都有分配律，所以①②正确；当m＝0时，a，b不一定相等，当a＝0时，m，n未必相等，所以③④错误．故选D．7．已知向量a＝e1＋2e2，b＝2e1－e2，则a＋2b与2a－b()A．一定共线B．一定不共线C．当且仅当e1与e2共线时共线D．当且仅当e1＝e2时共线答案C解析由a＋2b＝5e1,2a－b＝5e2可知，当且仅当e1与e2共线时，两向量共线．故选C．8．给出下列命题：①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；②λa＝0(λ为实数)，则λ必为零；③λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．其中错误的命题的个数为()A．0B．1C．2D．3答案D解析①错误，两向量共线要看其方向而不是起点或终点；②错误，当a＝0时，不论λ为何值，λa＝0；③错误，当λ＝μ＝0时，λa＝μb＝0，此时a与b可以是任意向量．错误的命题有3个，故选D．9．已知向量a，b是两个不共线的向量，若向量m＝4a＋b与n＝a－λb共线，则实数λ的值为()A．－4B．－14C．14D．4答案B解析因为向量a，b是两个不共线的向量，所以若向量m＝4a＋b与n＝a－λb共线，则4×(－λ)＝1×1，解得λ＝－14，故选B．10．已知a，b是不共线的向量，AB→＝λa＋b，AC→＝a＋μb，λ，μ∈R，则A，B，C三点共线的充要条件为()A．λ＋μ＝2B．λ－μ＝1C．λμ＝－1D．λμ＝1答案D解析∵A，B，C三点共线，∴AB→∥AC→，设AB→＝mAC→(m≠0)，则λa＋b＝m(a＋μb)，∴λ＝m，1＝mμ，∴λμ＝1，故选D．11．已知点M是△ABC的边BC的中点，点E在边AC上，且EC→＝2AE→，则EM→＝()A．12AC→＋13AB→B．12AC→＋16AB→C．16AC→＋12AB→D．16AC→＋32AB→答案C解析如图，∵EC→＝2AE→，∴EM→＝EC→＋CM→＝23AC→＋12CB→＝23AC→＋12(AB→－AC→)＝12AB→＋16AC→．故选C．12．已知在四边形ABCD中，O是四边形ABCD内一点，OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c，OD→＝a－b＋c，则四边形ABCD的形状为()A．梯形B．正方形C．平行四边形D．菱形答案C解析因为OD→＝a－b＋c，所以AD→＝c－b，又BC→＝c－b，所以AD→∥BC→且|AD→|＝|BC→|，所以四边形ABCD是平行四边形．故选C．二、高考小题13．(2015·全国卷Ⅰ)设D为△ABC所在平面内一点，BC→＝3CD→，则()A．AD→＝－13AB→＋43AC→B．AD→＝13AB→－43AC→C．AD→＝43AB→＋13AC→D．AD→＝43AB→－13AC→答案A解析AD→＝AB→＋BD→＝AB→＋BC→＋CD→＝AB→＋43BC→＝AB→＋43(AC→－AB→)＝－13AB→＋43AC→．故选A．14．(2018·全国卷Ⅰ)在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则EB→＝()A．34AB→－14AC→B．14AB→－34AC→C．34AB→＋14AC→D．14AB→＋34AC→答案A解析根据向量的运算法则，可得EB→＝AB→－AE→＝AB→－12AD→＝AB→－14(AB→＋AC→)＝34AB→－14AC→，故选A．15．(2015·安徽高考)△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足AB→＝2a，AC→＝2a＋b，则下列结论正确的是()A．|b|＝1B．a⊥bC．a·b＝1D．(4a＋b)⊥BC→答案D解析∵AB→＝2a，AC→＝2a＋b，∴a＝12AB→，b＝AC→－AB→＝BC→，∵△ABC是边长为2的等边三角形，∴|b|＝2，a·b＝12AB→·BC→＝－1，故a，b不垂直，4a＋b＝2AB→＋BC→＝AB→＋AC→，故(4a＋b)·BC→＝(AB→＋AC→)·BC→＝－2＋2＝0，∴(4a＋b)⊥BC→，故选D．16．(2015·北京高考)在△ABC中，点M，N满足AM→＝2MC→，BN→＝NC→．若MN→＝xAB→＋yAC→，则x＝________；y＝________．答案12－16解析如图在△ABC中，MN→＝MA→＋AB→＋BN→＝－23AC→＋AB→＋12BC→＝－23AC→＋AB→＋12(AC→－AB→)＝12AB→－16AC→．∴x＝12，y＝－16．三、模拟小题17．(2018·河北张家口月考)如图，在正六边形ABCDEF中，BA→＋CD→＋FB→＝()A．0B．BE→C．AD→D．CF→答案A解析在正六边形ABCDEF中，CD∥AF，CD＝AF，所以BA→＋CD→＋FB→＝BA→＋AF→＋FB→＝BA→＋AB→＝0，故选A．18．(2018·邯郸摸底)如图，在△ABC中，已知D为边BC的中点，E，F，G依次为线段AD从上至下的3个四等分点，若AB→＋AC→＝4AP→，则()A．点P与图中的点D重合B．点P与图中的点E重合C．点P与图中的点F重合D．点P与图中的点G重合答案C解析由平行四边形法则知AB→＋AC→＝2AD→，又由AB→＋AC→＝4AP→知2AD→＝4AP→，即AD→＝2AP→，所以P为AD的中点，即点P与点F重合．故选C．19．(2018·怀化一模)已知向量a，b不共线，向量AB→＝a＋3b，BC→＝5a＋3b，CD→＝－3a＋3b，则()A．A，B，C三点共线B．A，B，D三点共线C．A，C，D三点共线D．B，C，D三点共线答案B解析因为BD→＝BC→＋CD→＝2a＋6b＝2(a＋3b)＝2AB→，所以BD→，AB→共线，又有公共点B，所以A，B，D三点共线．故选B．20．(2018·河南中原名校联考)如图，在直角梯形ABCD中，AB＝2AD＝2DC，E为BC边上一点，BC→＝3EC→，F为AE的中点，则BF→＝()A．23AB→－13AD→B．13AB→－23AD→C．－23AB→＋13AD→D．－13AB→＋23AD→答案C解析BF→＝BA→＋AF→＝BA→＋12AE→＝－AB→＋12AD→＋12AB→＋CE→＝－AB→＋12AD→＋12AB→＋13CB→＝－AB→＋12AD→＋14AB→＋16(CD→＋DA→＋AB→)＝－23AB→＋13AD→．故选C．21．(2018·深圳模拟)如图所示，正方形ABCD中，M是BC的中点，若AC→＝λAM→＋μBD→，则λ＋μ＝()A．43B．53C．158D．2答案B解析因为AC→＝λAM→＋μBD→＝λ(AB→＋BM→)＋μ(BA→＋AD→)＝λAB→＋12AD→＋μ(－AB→＋AD→)＝(λ－μ)AB→＋12λ＋μAD→，且AC→＝AB→＋AD→，所以λ－μ＝1，12λ＋μ＝1，得λ＝43，μ＝13，所以λ＋μ＝53，故选B．22．(2018·福建高三4月质检)庄严美丽的国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征．正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系：在如图所示的正五角星中，以A，B，C，D，E为顶点的多边形为正五边形，且PTAT＝5－12．下列关系中正确的是()A．BP→－TS→＝5＋12RS→B．CQ→＋TP→＝5＋12TS→C．ES→－AP→＝5－12BQ→D．AT→＋BQ→＝5－12CR→答案A解析由题意得，BP→－TS→＝TE→－TS→＝SE→＝RS→5－12＝5＋12RS→，所以A正确；CQ→＋TP→＝PA→＋TP→＝TA→＝5＋12ST→，所以B错误；ES→－AP→＝RC→－QC→＝RQ→＝5－12QB→，所以C错误；AT→＋BQ→＝SD→＋RD→，5－12CR→＝RS→＝RD→－SD→，若AT→＋BQ→＝5－12CR→，则SD→＝0，不符合题意，所以D错误．故选A．23．(2018·银川一模)设点P是△ABC所在平面内一点，且BC→＋BA→＝2BP→，则PC→＋PA→＝________．答案0解析因为BC→＋BA→＝2BP→，由平行四边形法则知，点P为AC的中点，故PC→＋PA→＝0．24．(2018·衡阳模拟)在如图所示的方格纸中，向量a，b，c的起点和终点均在格点(小正方形顶点)上，若c与xa＋yb(x，y为非零实数)共线，则xy的值为________．答案65解析设e1，e2分别为水平方向(向右)与竖直方向(向上)的单位向量，则向量c＝e1－2e2，a＝2e1＋e2，b＝－2e1－2e2，由c与xa＋yb共线，得c＝λ(xa＋yb)，所以e1－2e2＝2λ(x－y)e1＋λ(x－2y)e2，所以2λx－y＝1，λx－2y＝－2，所以x＝3λ，y＝52λ，则xy的值为65．一、高考大题本考点在近三年高考中未涉及此题型．二、模拟大题1．(2018·山东莱芜模拟)如图，已知△OCB中，B，C关于点A对称，OD∶DB＝2∶1，DC和OA交于点E，设OA→＝a，OB→＝b．(1)用a和b表示向量OC→，DC→；(2)若OE→＝λOA→，求实数λ的值．解(1)由题意知，A是BC的中点，且OD→＝23OB→，由平行四边形法则，得OB→＋OC→＝2OA→．∴OC→＝2OA→－OB→＝2a－b，∴DC→＝OC→－OD→＝(2a－b)－23b＝2a－53b．(2)∵EC→∥DC→，EC→＝OC→－OE→＝(2a－b)－λa＝(2－λ)a－b，DC→＝2a－53b，∴2－λ2＝－1－53，∴λ＝45．2．(2018·河南安阳模拟)如图所示，在△ABC中，在AC上取一点N，使得AN＝13AC，在AB上取一点M，使得AM＝13AB，在BN的延长线上取点P，使得NP＝12BN，在CM的延长线上取点Q，使得MQ→＝λCM→时，AP→＝QA→，试确定λ的值．解∵AP→＝NP→－NA→＝12(BN→－CN→)＝12(BN→＋NC→)＝12