2020高考数学刷题首选卷 第七章 平面解析几何 考点测试52 椭圆 理（含解析）

考点测试52椭圆高考概览本考点是高考必考知识点，常考题型为选择题、填空题、解答题，分值为5分或12分，中、高等难度考纲研读1．掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率)2．了解椭圆的简单应用3．理解数形结合的思想一、基础小题1．已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1，0)，离心率等于12，则C的方程是()A．x23＋y24＝1B．x24＋y23＝1C．x24＋y23＝1D．x24＋y2＝1答案C解析依题意，所求椭圆的焦点位于x轴上，且c＝1，e＝ca⇒a＝2，b2＝a2－c2＝3，因此其方程是x24＋y23＝1，故选C．2．到点A(－4，0)与点B(4，0)的距离之和为10的点的轨迹方程为()A．x225＋y216＝1B．x225－y216＝1C．x225＋y29＝1D．x225－y29＝1答案C解析由椭圆的定义可知该点的轨迹为焦点在x轴上的椭圆，而c＝4，a＝5，故b2＝a2－c2＝9．故选C．3．已知△ABC的顶点B，C在椭圆x23＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是()A．23B．6C．43D．12答案C解析依题意，记椭圆的另一个焦点为F，则△ABC的周长等于|AB|＋|AC|＋|BC|＝|AB|＋|AC|＋|BF|＋|CF|＝(|AB|＋|BF|)＋(|AC|＋|CF|)＝43，故选C．4．椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的2倍，则m等于()A．12B．2C．4D．14答案D解析由x2＋y21m＝1及题意知，21m＝2×2×1，m＝14，故选D．5．已知动点M(x，y)满足x＋22＋y2＋x－22＋y2＝4，则动点M的轨迹是()A．椭圆B．直线C．圆D．线段答案D解析设点F1(－2，0)，F2(2，0)，由题意知动点M满足|MF1|＋|MF2|＝4＝|F1F2|，故动点M的轨迹是线段F1F2．故选D．6．设F1，F2为椭圆x29＋y25＝1的两个焦点，点P在椭圆上，若线段PF1的中点在y轴上，则|PF2||PF1|的值为()A．514B．513C．49D．59答案B解析由题意知a＝3，b＝5．由椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝6．在△PF1F2中，因为PF1的中点在y轴上，O为F1F2的中点，由三角形中位线的性质可推得PF2⊥x轴，所以由x＝c时可得|PF2|＝b2a＝53，所以|PF1|＝6－|PF2|＝133，所以|PF2||PF1|＝513，故选B．7．已知圆(x＋2)2＋y2＝36的圆心为M，设A为圆上任一点，且点N(2，0)，线段AN的垂直平分线交MA于点P，则动点P的轨迹是()A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线答案B解析点P在线段AN的垂直平分线上，故|PA|＝|PN|，又AM是圆的半径，所以|PM|＋|PN|＝|PM|＋|PA|＝|AM|＝6|MN|，由椭圆定义知，动点P的轨迹是椭圆．故选B．8．若椭圆的方程为x210－a＋y2a－2＝1，且此椭圆的焦距为4，则实数a＝________．答案4或8解析对椭圆的焦点位置进行讨论．由椭圆的焦距为4得c＝2，当2a6时，椭圆的焦点在x轴上，则10－a－(a－2)＝4，解得a＝4；当6a10时，椭圆的焦点在y轴上，则a－2－(10－a)＝4，解得a＝8．故a＝4或a＝8．二、高考小题9．(2018·全国卷Ⅰ)已知椭圆C：x2a2＋y24＝1的一个焦点为(2，0)，则C的离心率为()A．13B．12C．22D．223答案C解析根据题意，可知c＝2，因为b2＝4，所以a2＝b2＋c2＝8，即a＝22，所以椭圆C的离心率为e＝222＝22．故选C．10．(2018·全国卷Ⅱ)已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若PF1⊥PF2，且∠PF2F1＝60°，则C的离心率为()A．1－32B．2－3C．3－12D．3－1答案D解析在△F1PF2中，∠F1PF2＝90°，∠PF2F1＝60°，设|PF2|＝m，则2c＝|F1F2|＝2m，|PF1|＝3m，又由椭圆定义可知2a＝|PF1|＋|PF2|＝(3＋1)m，则离心率e＝ca＝2c2a＝2m3＋1m＝3－1．故选D．11．(2018·全国卷Ⅱ)已知F1，F2是椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左，右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为36的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P＝120°，则C的离心率为()A．23B．12C．13D．14答案D解析依题意易知|PF2|＝|F1F2|＝2c，且P在第一象限内，由∠F1F2P＝120°可得P点的坐标为(2c，3c)．又因为kAP＝36，即3c2c＋a＝36，所以a＝4c，e＝14，故选D．12．(2017·全国卷Ⅲ)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切，则C的离心率为()A．63B．33C．23D．13答案A解析由题意知以A1A2为直径的圆的圆心为(0，0)，半径为a．又直线bx－ay＋2ab＝0与圆相切，∴圆心到直线的距离d＝2aba2＋b2＝a，解得a＝3b，∴ba＝13，∴e＝ca＝a2－b2a＝1－ba2＝1－132＝63．故选A．13．(2016·江苏高考)如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的右焦点，直线y＝b2与椭圆交于B，C两点，且∠BFC＝90°，则该椭圆的离心率是________．答案63解析由已知条件易得B－32a，b2，C32a，b2，F(c，0)，∴BF→＝c＋32a，－b2，CF→＝c－32a，－b2，由∠BFC＝90°，可得BF→·CF→＝0，所以c－32ac＋32a＋－b22＝0，c2－34a2＋14b2＝0，即4c2－3a2＋(a2－c2)＝0，亦即3c2＝2a2，所以c2a2＝23，则e＝ca＝63．三、模拟小题14．(2018·山东济南一模)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)，若长轴长为6，且两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程为()A．x236＋y232＝1B．x29＋y28＝1C．x29＋y25＝1D．x216＋y212＝1答案B解析椭圆长轴长为6，即2a＝6，得a＝3，∵两焦点恰好将长轴三等分，∴2c＝13·2a＝2，得c＝1，因此，b2＝a2－c2＝9－1＝8，∴此椭圆的标准方程为x29＋y28＝1．故选B．15．(2018·河南六市一模)已知点A(－1，0)和B(1，0)，动点P(x，y)在直线l：y＝x＋3上移动，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则椭圆C的离心率的最大值为()A．55B．105C．255D．2105答案A解析A(－1，0)关于直线l：y＝x＋3的对称点为A′(－3，2)，连接A′B交直线l于点P，则此时椭圆C的长轴长最短，为|A′B|＝25，所以椭圆C的离心率的最大值为15＝55．故选A．16．(2018·四川德阳模拟)设P为椭圆C：x249＋y224＝1上一点，F1，F2分别是椭圆C的左、右焦点，且△PF1F2的重心为G，若|PF1|∶|PF2|＝3∶4，那么△GPF1的面积为()A．24B．12C．8D．6答案C解析∵P为椭圆C：x249＋y224＝1上一点，|PF1|∶|PF2|＝3∶4，|PF1|＋|PF2|＝2a＝14，∴|PF1|＝6，|PF2|＝8，又∵|F1F2|＝2c＝249－24＝10，∴易知△PF1F2是直角三角形，S△PF1F2＝12|PF1|·|PF2|＝24，∵△PF1F2的重心为点G，∴S△PF1F2＝3S△GPF1，∴△GPF1的面积为8，故选C．17．(2018·安徽宣城二模)已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左顶点为M，上顶点为N，右焦点为F，若NM→·NF→＝0，则椭圆的离心率为()A．32B．2－12C．3－12D．5－12答案D解析由题意知，M(－a，0)，N(0，b)，F(c，0)，∴NM→＝(－a，－b)，NF→＝(c，－b)．∵NM→·NF→＝0，∴－ac＋b2＝0，即b2＝ac．又b2＝a2－c2，∴a2－c2＝ac．∴e2＋e－1＝0，解得e＝5－12或e＝－5－12(舍去)．∴椭圆的离心率为5－12，故选D．18．(2018·湖南湘东五校联考)已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是椭圆上一点，△PF1F2是以F2P为底边的等腰三角形，且60°∠PF1F2120°，则该椭圆的离心率的取值范围是()A．3－12，1B．3－12，12C．12，1D．0，12答案B解析由题意可得，|PF2|2＝|F1F2|2＋|PF1|2－2|F1F2|·|PF1|cos∠PF1F2＝4c2＋4c2－2·2c·2c·cos∠PF1F2，即|PF2|＝22c·1－cos∠PF1F2，所以a＝|PF1|＋|PF2|2＝c＋2c·1－cos∠PF1F2，又60°∠PF1F2120°，∴－12cos∠PF1F212，所以2ca(3＋1)c，则13＋1ca12，即3－12e12．故选B．一、高考大题1．(2018·全国卷Ⅲ)已知斜率为k的直线l与椭圆C：x24＋y23＝1交于A，B两点．线段AB的中点为M(1，m)(m0)．(1)证明：k－12；(2)设F为C的右焦点，P为C上一点，且FP→＋FA→＋FB→＝0．证明：|FA→|，|FP→|，|FB→|成等差数列，并求该数列的公差．解(1)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x214＋y213＝1，x224＋y223＝1．两式相减，并由y1－y2x1－x2＝k得x1＋x24＋y1＋y23·k＝0．由题设知x1＋x22＝1，y1＋y22＝m，于是k＝－34m．①由题设得m1－14×3＝32，且m0，即0m32，故k－12．(2)由题意得F(1，0)．设P(x3，y3)，则由(1)及题设得(x3－1，y3)＋(x1－1，y1)＋(x2－1，y2)＝(0，0)，x3＝3－(x1＋x2)＝1，y3＝－(y1＋y2)＝－2m0．又点P在C上，所以m＝34，从而P1，－32，|FP→|＝32．于是|FA→|＝x1－12＋y21＝x1－12＋31－x214＝2－x12．同理|FB→|＝2－x22．所以|FA→|＋|FB→|＝4－12(x1＋x2)＝3．故2|FP→|＝|FA→|＋|FB→|，即|FA→|，|FP→|，|FB→|成等差数列．设该数列的公差为d，则2|d|＝||FB→|－|FA→||＝12|x1－x2|＝12x1＋x22－4x1x2．②将m＝34代入①得k＝－1．所以l的方程为y＝－x＋74，代入C的方程，并整理得7x2－14x＋14＝0．故x1＋x2＝2，x1x2＝128，代入②解得|d|＝32128．所以该数列的公差为32128或－32128．2．(2018·天津高考)设椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的右顶点为A，上顶点为B．已知椭圆的离心率为53，|AB|＝13．(1)求椭圆的方程；(2)设直线l：y＝kx(k0)与椭圆交于P，Q两点，l与直线AB交于点M，且点P，M均在第四象限．若△BPM的面积是△BPQ面积的2倍，求k的值．解(1)设椭圆的焦距为2c，由已知得c2a2＝59，又由a2＝b2＋c2，可得2a＝3b．由|AB|＝a2＋b2＝13，从而a＝3，b＝2．所以，椭圆的方程为x29＋y24＝1．(2)设点P的坐标为(x1，y1)，点M的坐标为(x2，y2)，由题意，x2x10，点Q的坐标为(－x1，－y1)．由△BPM的面积是△BPQ面积的2倍，可得|PM|＝2|PQ|，从而x2－x1＝2[x1－(－x1)]，即x2＝5x1．易知直线AB的方程为2x＋3y＝6，由方程组2x＋