2020高考数学刷题首选卷 第七章 平面解析几何 考点测试50 两条直线的位置关系与距离公式 理（含

考点测试50两条直线的位置关系与距离公式高考概览高考在本考点的常考题型为选择题，分值为5分，中、低等难度考纲研读1．能根据两直线方程判断这两条直线平行或垂直2．能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标3．掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离一、基础小题1．过点(1，0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是()A．x－2y－1＝0B．x－2y＋1＝0C．2x＋y－2＝0D．x＋2y－1＝0答案A解析设直线方程为x－2y＋c＝0(c≠－2)，又该直线经过点(1，0)，故c＝－1，所求直线方程为x－2y－1＝0．故选A．2．若点P(a，b)与Q(b－1，a＋1)关于直线l对称，则直线l的倾斜角α为()A．135°B．45°C．30°D．60°答案B解析由题意知，PQ⊥l，∵kPQ＝a＋1－bb－1－a＝－1，∴kl＝1，即tanα＝1，∴α＝45°．故选B．3．已知点A(1，－2)，B(m，2)，且线段AB的垂直平分线的方程是x＋2y－2＝0，则实数m的值是()A．－2B．－7C．3D．1答案C解析因为线段AB的中点1＋m2，0在直线x＋2y－2＝0上，代入解得m＝3．4．已知直线3x＋y－1＝0与直线23x＋my＋3＝0平行，则它们之间的距离是()A．1B．54C．3D．4答案B解析∵323＝1m≠－13，∴m＝2，两平行线之间的距离d＝－1－323＋1＝54．故选B．5．已知点M是直线x＋3y＝2上的一个动点，若点P的坐标为(3，－1)，则|PM|的最小值为()A．12B．1C．2D．3答案B解析|PM|的最小值即点P(3，－1)到直线x＋3y＝2的距离，又|3－3－2|1＋3＝1，故|PM|的最小值为1．选B．6．若直线l1：ax＋2y－8＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行，则实数a的值为()A．1B．1或2C．－2D．1或－2答案A解析直线l1的方程为y＝－a2x＋4．若a＝－1，显然两直线不平行，所以a≠－1；要使两直线平行，则有a1＝2a＋1，解得a＝1或a＝－2．当a＝－2时，两直线重合，所以不满足条件，所以a＝1．故选A．7．若直线l1：y＝k(x－4)与直线l2关于点(2，1)对称，则直线l2恒过定点()A．(0，4)B．(0，2)C．(－2，4)D．(4，－2)答案B解析直线l1：y＝k(x－4)恒过定点(4，0)，其关于点(2，1)的对称点为(0，2)．又由于直线l1：y＝k(x－4)与直线l2关于点(2，1)对称，故直线l2恒过定点(0，2)．8．若动点A，B分别在直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上移动，则AB的中点M到原点的距离的最小值为()A．3B．2C．32D．23答案C解析点M在直线x＋y－6＝0上，到原点的最小距离等价于原点O(0，0)到直线x＋y－6＝0的距离，即d＝|0＋0－6|12＋12＝62＝32．故选C．9．已知x，y满足x＋2y－5＝0，则(x－1)2＋(y－1)2的最小值为()A．45B．25C．255D．105答案A解析(x－1)2＋(y－1)2表示点P(x，y)到点Q(1，1)的距离的平方．由已知可得点P在直线l：x＋2y－5＝0上，所以|PQ|的最小值为点Q到直线l的距离，即d＝|1＋2×1－5|1＋22＝255，所以(x－1)2＋(y－1)2的最小值为d2＝45．故选A．10．已知△ABC的顶点A(5，1)，边AB上的中线CM所在直线的方程为2x－y－5＝0，边AC上的高BH所在直线的方程为x－2y－5＝0，则直线BC的方程为()A．2x＋y－11＝0B．6x－5y－10＝0C．5x－6y－9＝0D．6x－5y－9＝0答案D解析依题意知kAC＝－2，点A(5，1)，则直线AC的方程为2x＋y－11＝0，联立2x＋y－11＝0，2x－y－5＝0，可得点C(4，3)．设B(x0，y0)，则AB的中点M为x0＋52，y0＋12，代入2x－y－5＝0，得2x0－y0－1＝0，所以2x0－y0－1＝0，x0－2y0－5＝0，解得点B(－1，－3)，故kBC＝65，则直线BC的方程为y－3＝65(x－4)，即6x－5y－9＝0．故选D．11．已知A(－2，1)，B(1，2)，点C为直线y＝13x上的动点，则|AC|＋|BC|的最小值为()A．22B．23C．25D．27答案C解析设B关于直线y＝13x的对称点为B′(x0，y0)，则y0－2x0－1＝－3，y0＋22＝13×x0＋12，解得B′(2，－1)．由平面几何知识得|AC|＋|BC|的最小值即是|B′A|＝2＋22＋－1－12＝25．故选C．12．已知点A(－3，－4)，B(6，3)到直线l：ax＋y＋1＝0的距离相等，则实数a的值为________．答案－13或－79解析由题意及点到直线的距离公式得|－3a－4＋1|a2＋1＝|6a＋3＋1|a2＋1，解得a＝－13或－79．二、高考小题13．(2016·全国卷Ⅱ)圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心到直线ax＋y－1＝0的距离为1，则a＝()A．－43B．－34C．3D．2答案A解析圆的方程可化为(x－1)2＋(y－4)2＝4，则圆心坐标为(1，4)，圆心到直线ax＋y－1＝0的距离为|a＋4－1|a2＋1＝1，解得a＝－43．故选A．14．(2015·山东高考)一条光线从点(－2，－3)射出，经y轴反射后与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为()A．－53或－35B．－32或－23C．－54或－45D．－43或－34答案D解析如图，作出点P(－2，－3)关于y轴的对称点P0(2，－3)．由题意知反射光线与圆相切，其反向延长线过点P0．故设反射光线为y＝k(x－2)－3，即kx－y－2k－3＝0．∴圆心到直线的距离d＝|－3k－2－2k－3|1＋k2＝1，解得k＝－43或k＝－34．故选D．15．(2015·广东高考)平行于直线2x＋y＋1＝0且与圆x2＋y2＝5相切的直线的方程是()A．2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0B．2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0C．2x－y＋5＝0或2x－y－5＝0D．2x－y＋5＝0或2x－y－5＝0答案A解析设与直线2x＋y＋1＝0平行的直线方程为2x＋y＋m＝0(m≠1)，因为直线2x＋y＋m＝0与圆x2＋y2＝5相切，即点(0，0)到直线2x＋y＋m＝0的距离为5，所以|m|5＝5，|m|＝5．故所求直线的方程为2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0．故选A．16．(经典重庆高考)已知直线ax＋y－2＝0与圆心为C的圆(x－1)2＋(y－a)2＝4相交于A，B两点，且△ABC为等边三角形，则实数a＝________．答案4±15解析由△ABC为等边三角形可得，C到AB的距离为3，即(1，a)到直线ax＋y－2＝0的距离d＝|a＋a－2|1＋a2＝3，即a2－8a＋1＝0，可求得a＝4±15．三、模拟小题17．(2018·福建闽侯六中模拟)“直线(m＋2)x＋3my＋1＝0与(m－2)x＋(m＋2)y＝0互相垂直”是“m＝12”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案B解析若直线(m＋2)x＋3my＋1＝0与(m－2)x＋(m＋2)y＝0互相垂直，则(m＋2)(m－2)＋3m(m＋2)＝0，解得m＝－2或m＝12，即“直线(m＋2)x＋3my＋1＝0与(m－2)x＋(m＋2)y＝0互相垂直”是“m＝12”的必要不充分条件．18．(2018·天津一中模拟)已知直线x＋a2y＋6＝0与直线(a－2)x＋3ay＋2a＝0平行，则a的值为()A．0或3或－1B．0或3C．3或－1D．0或－1答案D解析由题意知1×3a－a2(a－2)＝0，即a(a2－2a－3)＝0，∴a＝0，a＝－1或a＝3，经验证当a＝3时，两直线重合．故选D．19．(2018·广西陆川模拟)光线沿着直线y＝－3x＋b射到直线x＋y＝0上，经反射后沿着直线y＝ax＋2射出，则有()A．a＝13，b＝6B．a＝－13，b＝－6C．a＝3，b＝－16D．a＝－3，b＝16答案B解析由题意，直线y＝－3x＋b与直线y＝ax＋2关于直线y＝－x对称，故直线y＝ax＋2上点(0，2)关于y＝－x的对称点(－2，0)在直线y＝－3x＋b上，∴b＝－6，y＝－3x－6上的点(0，－6)，关于直线y＝－x对称点(6，0)在直线y＝ax＋2上，∴a＝－13，故选B．20．(2018·杭州月考)已知P1(a1，b1)与P2(a2，b2)是直线y＝kx＋1(k为常数)上两个不同的点，则关于x和y的方程组a1x＋b1y＝1，a2x＋b2y＝1的解的情况是()A．无论k，P1，P2如何，总是无解B．无论k，P1，P2如何，总有唯一解C．存在k，P1，P2，使之恰有两解D．存在k，P1，P2，使之有无穷多解答案B解析由题意，直线y＝kx＋1一定不过原点O，P1，P2是直线y＝kx＋1上不同的两点，则OP1→与OP2→不平行，因此a1b2－a2b1≠0，所以二元一次方程组a1x＋b1y＝1，a2x＋b2y＝1一定有唯一解．故选B．21．(2018·湖北孝感五校联考)已知直线y＝2x是△ABC中∠C的平分线所在的直线，若点A，B的坐标分别是(－4，2)，(3，1)，则点C的坐标为()A．(－2，4)B．(－2，－4)C．(2，4)D．(2，－4)答案C解析设A(－4，2)关于直线y＝2x的对称点为(x，y)，则y－2x＋4×2＝－1，y＋22＝2×－4＋x2，解得x＝4，y＝－2，∴BC所在直线方程为y－1＝－2－14－3(x－3)，即3x＋y－10＝0．联立y＝2x，3x＋y－10＝0，解得x＝2，y＝4，则C(2，4)．故选C．22．(2018·百校联盟TOP20联考)我国魏晋时期的数学家刘徽创立了割圆术，也就是用内接正多边形去逐步逼近圆，即圆内接正多边形边数无限增加时，其周长就越逼近圆周长．这种用极限思想解决数学问题的方法是数学史上的一项重大成就，现作出圆x2＋y2＝2的一个内接正八边形，使该正八边形的其中4个顶点在坐标轴上，则下列4条直线中不是该正八边形的一条边所在直线的为()A．x＋(2－1)y－2＝0B．(1－2)x－y＋2＝0C．x－(2＋1)y＋2＝0D．(2－1)x－y＋2＝0答案C解析如图所示，可知A(2，0)，B(1，1)，C(0，2)，D(－1，1)，所以直线AB，BC，CD的方程分别为y＝1－01－2(x－2)，y＝(1－2)x＋2，y＝(2－1)x＋2，整理成一般式为x＋(2－1)y－2＝0，(1－2)x－y＋2＝0，(2－1)x－y＋2＝0，分别对应题中的A，B，D选项．故选C．23．(2018·北京西城区月考)已知l1，l2是分别经过A(1，1)，B(0，－1)两点的两条平行直线，当l1，l2间的距离最大时，则直线l1的方程是________．答案x＋2y－3＝0解析当直线AB与l1，l2垂直时，l1，l2间的距离最大．因为A(1，1)，B(0，－1)，所以kAB＝－1－10－1＝2，所以两平行直线的斜率为k＝－12，所以直线l1的方程是y－1＝－12(x－1)，即x＋2y－3＝0．24．(2018·河南焦作调研)著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，割裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：x－a2＋y－b2可以转化为平面上点M(x，y)与点N(a，b)的距离．结合上述观点，可得f(x)＝x2＋4x＋20＋x2＋2x＋10的最小值为________．答案52解析∵f(x)＝x2＋4x＋20＋x2＋2x＋10＝x＋22＋0－42＋x＋12＋0－32，∴f(x)的几何意义为点M(x，0)到两定点A(－2，4)与B(－1，3)的距离之和，设点A(－2，4)关于x轴的对称点