2020高考数学刷题首选卷 第六章 立体几何 考点测试43 空间几何体的表面积和体积 理（含解析）

考点测试43空间几何体的表面积和体积高考概览高考中本考点常见题型为选择题、填空题，分值为5分，中等难度考纲研读球体、柱体、锥体、台体的表面积和体积计算公式一、基础小题1．若球的半径扩大为原来的2倍，则它的体积扩大为原来的()A．2倍B．4倍C．8倍D．16倍答案C解析设原来球的半径为r，则现在球的半径为2r，则V原＝43πr3，V现＝43π·(2r)3，故V现＝8V原．故选C．2．一个正方体的体积是8，则这个正方体的内切球的表面积是()A．8πB．6πC．4πD．π答案C解析设正方体的棱长为a，则a3＝8，∴a＝2．而此正方体的内切球直径为2，∴S表＝4πr2＝4π．3．如图，一个空间几何体的正视图、侧视图都是面积为32，一个内角为60°的菱形，俯视图为正方形，那么这个几何体的表面积为()A．23B．43C．8D．4答案D解析由三视图知，原几何体为两个四棱锥的组合体，其中四棱锥的底面边长为1，斜高为1，所以这个几何体的表面积为S＝12×1×1×8＝4．4．一个直三棱柱的三视图如图所示，其中俯视图是正三角形，则此三棱柱的体积为()A．32B．3C．2D．4答案B解析由侧视图可知直三棱柱底面正三角形的高为3，容易求得正三角形的边长为2，所以底面正三角形面积为12×2×3＝3．再由侧视图可知直三棱柱的高为1，所以此三棱柱的体积为3×1＝3．故选B．5．已知圆锥的表面积为a，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面直径是()A．a2B．3πa3πC．23πa3πD．23a3π答案C解析设圆锥的底面半径为r，母线长为l，由题意知，2πr＝πl，∴l＝2r，则圆锥的表面积S表＝πr2＋12π(2r)2＝a，∴r2＝a3π，∴2r＝23πa3π．6．若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积等于()A．10cm3B．20cm3C．30cm3D．40cm3答案B解析由三视图可知，该几何体是一个直三棱柱ABC－A1B1C1截去一个三棱锥B1－ABC，则该几何体的体积为V＝12×3×4×5－13×12×3×4×5＝20(cm3)．故选B．7．某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的体积是()A．4B．143C．163D．6答案B解析依题意，所求几何体是一个四棱台，其中上底面是边长为1的正方形、下底面是边长为2的正方形，高是2，因此其体积等于13×(12＋22＋1×4)×2＝143．故选B．8．某几何体的三视图如图所示，图中三个正方形的边长均为2，则该几何体的表面积为()A．24＋(2－1)πB．24＋(22－2)πC．24＋(5－1)πD．24＋(23－2)π答案B解析如图，由三视图可知，该几何体是棱长为2的正方体挖出两个圆锥体所得．由图中知圆锥的半径为1，母线为2，该几何体的表面积为S＝6×22－2π×12＋2×12×2π×1×2＝24＋(22－2)π，故选B．9．已知一个几何体的三视图如图所示，则其体积为()A．10＋πB．2＋π2C．2＋π12D．2＋π4答案D解析根据几何体的三视图还原其直观图如图所示，显然可以看到该几何体是一个底面长为2，宽为1，高为1的正棱柱与一个底面半径为1，高为1的14圆柱组合而成，其体积为V＝2×1×1＋14×π×12×1＝2＋π4，故选D．10．我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水，天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸，若盆中积水深九寸，则平地降雨量是________寸．(注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸．)答案3解析由题意知，圆台中截面圆的半径为十寸，圆台内水的体积为V＝13πh(r2中＋r2下＋r中r下)＝π3×9×(102＋62＋10×6)＝588π(立方寸)，降雨量为V142π＝588π196π＝3(寸)．11．如图所示，已知一个多面体的平面展开图由一个边长为1的正方形和4个边长为1的正三角形组成，则该多面体的体积是________．答案26解析易知该几何体是正四棱锥．连接BD，设正四棱锥P－ABCD，由PD＝PB＝1，BD＝2，则PD⊥PB．设底面中心O，则四棱锥高PO＝22，则其体积是V＝13Sh＝13×12×22＝26．12．如图，在平面四边形ABCD中，已知AB⊥AD，AB＝AD＝1，BC＝CD＝5，以直线AB为轴，将四边形ABCD旋转一周，则所得旋转体的体积为________．答案12π解析由题意，该旋转体是一圆台内部挖去一个圆锥，如图1所示：如图2，过点C作CE⊥AB，连接BD．在等腰直角三角形ABD中，BD＝AD2＋AB2＝2．在△BDC中，CD2＝BD2＋BC2－2BD·BCcos∠DBC，所以25＝2＋25－102cos∠DBC，所以cos∠DBC＝210，所以sin∠DBC＝1－cos2∠DBC＝7210．因为∠CBE＝180°－∠ABD－∠DBC＝135°－∠DBC，所以sin∠CBE＝sin(135°－∠DBC)＝22cos∠DBC＋22sin∠DBC＝45．在Rt△BCE中，CE＝BCsin∠CBE＝4，所以BE＝BC2－CE2＝3，AE＝4．所以圆台上、下底面圆的面积分别为S上＝π，S下＝16π，圆台体积V1＝13(S上＋S下＋S上S下)·AE＝28π，圆锥体积V2＝13×16π×3＝16π，所以旋转体体积V＝V1－V2＝12π．二、高考小题13．(2017·全国卷Ⅱ)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为()A．90πB．63πC．42πD．36π答案B解析由三视图可知两个同样的几何体可以拼成一个底面直径为6，高为14的圆柱，所以该几何体的体积V＝12×32×π×14＝63π．故选B．14．(2018·浙江高考)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm3)是()A．2B．4C．6D．8答案C解析由三视图可知该几何体是直四棱柱，其中底面是直角梯形，直角梯形上、下底边的长分别为1cm，2cm，高为2cm，直四棱柱的高为2cm．故直四棱柱的体积V＝1＋22×2×2＝6cm3．15．(2018·全国卷Ⅰ)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为()A．122πB．12πC．82πD．10π答案B解析根据题意，可得截面是边长为22的正方形，结合圆柱的特征，可知该圆柱的底面为半径是2的圆，且高为22，所以其表面积为S＝2π(2)2＋2π×2×22＝12π．故选B．16．(2018·全国卷Ⅰ)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AC1与平面BB1C1C所成的角为30°，则该长方体的体积为()A．8B．62C．82D．83答案C解析在长方体ABCD－A1B1C1D1中，连接BC1，根据线面角的定义可知∠AC1B＝30°，因为AB＝2，ABBC1＝tan30°，所以BC1＝23，从而求得CC1＝BC21－BC2＝22，所以该长方体的体积为V＝2×2×22＝82．故选C．17．(2018·全国卷Ⅲ)设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且其面积为93，则三棱锥D－ABC体积的最大值为()A．123B．183C．243D．543答案B解析如图所示，点M为三角形ABC的重心，E为AC的中点，当DM⊥平面ABC时，三棱锥D－ABC体积最大，此时，OD＝OB＝R＝4．∵S△ABC＝34AB2＝93，∴AB＝6，∵点M为三角形ABC的重心，∴BM＝23BE＝23，∴在Rt△OMB中，有OM＝OB2－BM2＝2．∴DM＝OD＋OM＝4＋2＝6，∴(V三棱锥D－ABC)max＝13×93×6＝183．故选B．18．(2018·全国卷Ⅱ)已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为78，SA与圆锥底面所成角为45°，若△SAB的面积为515，则该圆锥的侧面积为________．答案402π解析因为母线SA，SB所成角的余弦值为78，所以母线SA，SB所成角的正弦值为158，因为△SAB的面积为515，设母线长为l，所以12×l2×158＝515，所以l2＝80，因为SA与圆锥底面所成角为45°，所以底面圆的半径为lcosπ4＝22l，因此，圆锥的侧面积为πrl＝22πl2＝402π．19．(2018·天津高考)已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，除面ABCD外，该正方体其余各面的中心分别为点E，F，G，H，M(如图)，则四棱锥M－EFGH的体积为________．答案112解析由题意知四棱锥的底面EFGH为正方形，其边长为22，即底面面积为12，由正方体的性质知，四棱锥的高为12．故四棱锥M－EFGH的体积V＝13×12×12＝112．20．(2018·江苏高考)如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为________．答案43解析多面体由两个完全相同的正四棱锥组合而成，其中正四棱锥的底面边长为2，高为1，∴其体积为13×(2)2×1＝23，∴多面体的体积为43．三、模拟小题21．(2018·邯郸摸底)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，已知该几何体的各个面中有n个面是矩形，体积为V，则()A．n＝4，V＝10B．n＝5，V＝12C．n＝4，V＝12D．n＝5，V＝10答案D解析由三视图可知，该几何体为直五棱柱，其直观图如图所示，故n＝5，体积V＝2×22＋12×2×1＝10．故选D．22．(2018·福州模拟)已知圆柱的高为2，底面半径为3，若该圆柱的两个底面的圆周都在同一个球面上，则这个球的表面积等于()A．4πB．16π3C．32π3D．16π答案D解析如图，可知球的半径R＝OH2＋AH2＝12＋32＝2，进而这个球的表面积为4πR2＝16π．故选D．23．(2018·合肥质检一)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为()A．5π＋18B．6π＋18C．8π＋6D．10π＋6答案C解析该几何体的表面积是由球的表面积、球的大圆面积、半个圆柱的侧面积以及圆柱的纵切面面积组成．从而该几何体的表面积为4π×12＋π×12＋12×2π×3＋3×2＝8π＋6．故选C．24．(2018·石家庄质检二)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为()A．83B．3C．8D．53答案A解析根据三视图还原该几何体的直观图，如图中四棱锥P－ABCD所示，则VP－ABCD＝VP－AFGD＋(VAFB－DEC－VG－ECD)＝13×1＋2×22×1＋12×1×2×2－13×12×1×2×1＝83．故选A．25．(2018·合肥质检三)我国古代的《九章算术》中将上、下两面为平行矩形的六面体称为“刍童”．如图所示为一个“刍童”的三视图，其中正视图及侧视图均为等腰梯形，两底的长分别为2和4，高为2，则该“刍童”的表面积为()A．125B．40C．16＋123D．16＋125答案D解析易得侧面梯形的高为22＋12＝5，所以一个侧面梯形的面积为12×(2＋4)×5＝35．故所求为4×35＋2×(2×4)＝125＋16．故选D．26．(2018·福建质检)已知底面边长为42，侧棱长为25的正四棱锥S－ABCD内接于球O1．若球O2在球O1内且与平面ABCD相切，则球O2的直径的最大值为________．答案8解析如图，正四棱锥S－ABCD内接于球O1，SO1与平面ABCD交于点O．在正方形ABCD中，AB＝42，AO＝4．在Rt△SAO中，SO＝SA2－OA2＝252－42＝2．设球O1的半径为R，则在Rt△OAO1中，(R－2)2＋42＝R2，解得R＝5，所以球O1的直径为10．当球O2与平面ABCD相切于点O且与球O1相切时，球O2的直径最大．又因为SO＝2，所以球O2的直径的最大值为1