2020高考数学刷题首选卷 第二章 函数、导数及其应用 考点测试13 函数模型及其应用 文（含解析）

考点测试13函数模型及其应用高考概览高考在本考点的常考题型多为选择题、填空题，分值5分，中等难度考纲研读1.了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义2．了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用一、基础小题1.甲、乙两人在一次赛跑中，从同一地点出发，路程S与时间t的函数关系如图所示，则下列说法正确的是()A．甲比乙先出发B．乙比甲跑的路程多C．甲、乙两人的速度相同D．甲比乙先到达终点答案D解析由题图知，甲和乙所走的路程相同且同时出发，但甲用时间少，即甲的速度比乙快．2.如图是张大爷晨练时离家的距离(y)与行走时间(x)之间的函数关系的图象．若用黑点表示张大爷家的位置，则张大爷散步行走的路线可能是()答案D解析根据图象可得，张大爷先是离家越来越远，后离家距离保持不变，最后慢慢回家，符合的只有D.3．国家相继出台多项政策控制房地产行业，现在规定房地产行业收入税如下：年收入在280万元及以下的税率为p%，超过280万元的部分按(p＋2)%征税，有一公司的实际缴税比例为(p＋0.25)%，则该公司的年收入是()A．560万元B．420万元C．350万元D．320万元答案D解析设该公司的年收入为a万元，则280p%＋(a－280)·(p＋2)%＝a(p＋0.25)%，解得a＝280×22－0.25＝320.故选D.4．某种动物的种群数量y(单位：只)与时间x(单位：年)的关系式为y＝alog2(x＋1)，若这种动物第一年有100只，则到第7年它们发展到()A．300只B．400只C．500只D．600只答案A解析由题意，得100＝alog2(1＋1)，解得a＝100，所以y＝100log2(x＋1)，当x＝7时，y＝100log2(7＋1)＝300，故到第7年它们发展到300只．5．设甲、乙两地的距离为a(a0)，小王骑自行车匀速从甲地到乙地用了20min，在乙地休息10min后，他又以匀速从乙地返回到甲地用了30min，则小王从出发到返回原地所经过的路程y与其所用的时间x的函数的图象为()答案D解析由题意知小王在0～20min，30～60min这两段时间运动的路程都在不断增加，在20～30min时，运动的路程不变．故选D.6．f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，对三个函数的增长速度进行比较，下列选项中正确的是()A．f(x)g(x)h(x)B．g(x)f(x)h(x)C．g(x)h(x)f(x)D．f(x)h(x)g(x)答案B解析画出三个函数的图象，如下图所示，当x∈(4，＋∞)时，指数函数的图象位于二次函数的图象的上方，二次函数的图象位于对数函数图象的上方，故g(x)f(x)h(x)．7．某种计算机病毒是通过电子邮件进行传播的，表格是某公司前5天监测到的数据：第x天12345被感染的计算机数量y/台12244995190则下列函数模型中能较好地反映在第x天被感染的数量y与x之间的关系的是()A．y＝12xB．y＝6x2－6x＋12C．y＝6·2xD．y＝12log2x＋12答案C解析由表格可知，每一天的计算机被感染台数大约是前一天的2倍，故增长速度符合指数型函数，故选C.8．已知甲、乙两种商品在过去一段时间内的价格走势如图所示．假设某商人持有资金120万元，他可以在t1至t4的任意时刻买卖这两种商品，且买卖能够立即成交(其他费用忽略不计)．如果他在t4时刻卖出所有商品，那么他将获得的最大利润是()A．40万元B．60万元C．120万元D．140万元答案C解析甲6元时该商人全部买入甲商品，可以买120÷6＝20(万份)，在t2时刻全部卖出，此时获利20×2＝40(万元)，乙4元时该商人买入乙商品，可以买(120＋40)÷4＝40(万份)，在t4时刻全部卖出，此时获利40×2＝80(万元)，共获利40＋80＝120(万元)．故选C.9．某公司为了实现1000万元销售利润的目标，准备制订一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按照销售利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随销售利润x的增加而增加，但奖金不超过5万元，同时奖金不超过销售利润的25%，则下列函数最符合要求的是()A．y＝14xB．y＝lgx＋1C．y＝32xD．y＝x答案B解析由题意知，x∈[10，1000]，符合公司要求的模型需同时满足：①函数为增函数；②函数的最大值不超过5；③y≤x·25%.对于y＝14x，易知满足①，但当x20时，y5，不满足要求；对于y＝32x，易知满足①，因为3245，故当x4时，不满足要求；对于y＝x，易知满足①，但当x25时，y5，不满足要求；对于y＝lgx＋1，易知满足①，当x∈[10，1000]时，2≤y≤4，满足②，再证明lgx＋1≤x·25%，即4lgx＋4－x≤0，设F(x)＝4lgx＋4－x，则F′(x)＝4xln10－10，x∈[10，1000]，所以F(x)为减函数，F(x)max＝F(10)＝4lg10＋4－10＝－20，满足③，故选B.10．某工厂6年来生产某种产品的情况是：前3年年产量的增长速度越来越快，后3年的年产量的增长速度保持不变，将该厂6年来这种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系用图象表示，则正确的是()答案A解析因为前3年年产量的增长速度越来越快，可知图象的斜率随x的变大而变大，在图象上呈现下凹的情形；又因为后3年年产量的增长速度保持不变，可知图象的斜率不变，呈直线型变化．故选A.11．调查表明，酒后驾驶是导致交通事故的主要原因，交通法规规定，驾驶员在驾驶机动车时血液中酒精含量不得超过0.2mg/mL.某人喝酒后，其血液中酒精含量将上升到3mg/mL，在停止喝酒后，血液中酒精含量以每小时50%的速度减少，则至少经过________小时他才可以驾驶机动车．(精确到小时)答案4解析设n小时后他才可以驾驶机动车，由题意得3(1－0.5)n≤0.2，即2n≥15，故至少经过4小时他才可以驾驶机动车．12．已知某房地产公司计划出租70套相同的公寓房．当每套房月租金定为3000元时，这70套公寓房能全部租出去；当月租金每增加50元时(设月租金均为50元的整数倍)，就会多一套房子不能出租．设已出租的每套房子每月需要公司花费100元的日常维修等费用(设没有出租的房子不需要花这些费用)，则要使公司获得最大利润，每套房月租金应定为________元．答案3300解析设利润为y元，租金定为3000＋50x(0≤x≤70，x∈N)元．则y＝(3000＋50x)(70－x)－100(70－x)＝(2900＋50x)(70－x)＝50(58＋x)(70－x)≤5058＋x＋70－x22，当且仅当58＋x＝70－x，即x＝6时，等号成立，故每月租金定为3000＋300＝3300(元)时，公司获得最大利润．二、高考小题13．(2016·四川高考)某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是()(参考数据：lg1.12≈0.05，lg1.3≈0.11，lg2≈0.30)A．2018年B．2019年C．2020年D．2021年答案B解析设第n(n∈N*)年该公司全年投入的研发资金开始超过200万元．根据题意得130(1＋12%)n－1200，则lg[130(1＋12%)n－1]lg200，∴lg130＋(n－1)·lg1.12lg2＋2，∴2＋lg1.3＋(n－1)lg1.12lg2＋2，∴0.11＋(n－1)×0.050.30，解得n245.又∵n∈N*，∴n≥5，∴该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是2019年．故选B.14．(2015·北京高考)汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．下列叙述中正确的是()A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D．某城市机动车最高限速80千米/小时．相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油答案D解析对于A选项，从图中可以看出当乙车的行驶速度大于40km/h时的燃油效率大于5km/L，故乙车消耗1升汽油的行驶路程可大于5千米，所以A错误．对于B选项，由图可知甲车消耗汽油最少．对于C选项，甲车以80km/h的速度行驶时的燃油效率为10km/L，故行驶1小时的路程为80千米，消耗8L汽油，所以C错误．对于D选项，当最高限速为80km/h且速度相同时丙车的燃油效率大于乙车的燃油效率，故用丙车比用乙车更省油，所以D正确．15．(2015·四川高考)某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y＝ekx＋b(e＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数)．若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是()A．16小时B．20小时C．24小时D．28小时答案C解析由题意得eb＝192，e22k＋b＝48，即eb＝192，e11k＝12，所以该食品在33℃的保鲜时间是y＝e33k＋b＝(e11k)3·eb＝123×192＝24(小时)．16．(2014·湖南高考)某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为()A.p＋q2B.p＋1q＋1－12C.pqD.p＋1q＋1－1答案D解析设两年前的年底该市的生产总值为a，则第二年年底的生产总值为a(1＋p)(1＋q)．设这两年生产总值的年平均增长率为x，则a(1＋x)2＝a(1＋p)(1＋q)，由于连续两年持续增加，所以x0，因此x＝1＋p1＋q－1，故选D.17．(2018·浙江高考)我国古代数学著作《张邱建算经》中记载百鸡问题：“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一．凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？”设鸡翁，鸡母，鸡雏个数分别为x，y，z，则x＋y＋z＝100，5x＋3y＋13z＝100，当z＝81时，x＝________，y＝________.答案811解析把z＝81代入方程组，化简得x＋y＝19，5x＋3y＝73，解得x＝8，y＝11.18．(2014·湖北高考)某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F(单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/小时)与车流速度v(假设车辆以相同速度v行驶，单位：米/秒)、平均车长l(单位：米)的值有关，其公式为F＝76000vv2＋18v＋20l.(1)如果不限定车型，l＝6.05，则最大车流量为________辆/小时；(2)如果限定车型，l＝5，则最大车流量比(1)中的最大车流量增加________辆/小时．答案(1)1900(2)100解析(1)当l＝6.05时，F＝76000vv2＋18v＋20×6.05，∴F＝76000vv2＋18v＋121＝76000v＋121v＋18≤760002v·121v＋18＝1900，当且仅当v＝121v，即v＝11时取“＝”．∴最大车流量F为1900辆/小时．(2)当l＝5时，F＝76000vv2＋18v＋20×5＝76000v＋100v＋18，∴F≤760002v·100v＋18＝2000，当且仅当v＝100v，即v＝10时取“＝”．∴最大车流量比(1)中的最大车流量增加2000－1900＝100辆/小时．三、模拟小题19．(2018·福建质检)当生物死亡后，其体内原有的碳14的含量大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．当死亡生物体内的碳14含量不足死