（江苏专用）2020年高考数学一轮复习 考点30 数列求和必刷题（含解析）

考点30数列求和1．（江苏省南京市、盐城市2019届高三第二次模拟考试）等差数列na中，410a，前12项的和1290S，则18a的值为______.【答案】4【解析】由题得1118131013,1,1317(1)4121112902adadaad.故答案为：-42．（盐城市2019届高三年级第一学期期中模拟考试）若数列的首项，且，则=________.【答案】【解析】得且所以即是以2为首项，1为公差的等差数列。=n+1，从而3．（江苏省苏北六市2018届高三第二次调研测试）设等差数列{}的前n项和为，若，，成等差数列，且，则的值为_______．【答案】【解析】由题意可得解得则4．（江苏省淮安市等四市2018届高三上学期第一次模拟）已知等差数列满足，，则的值为____．【答案】【解析】由题意，，，，所以．5．（江苏省宿迁市2018届高三上学期第一次模拟考试）已知等差数列满足，则的值为___________．【答案】11【解析】等差数列满足,故答案为：11.6．（江苏省七市2019届(南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港)高三第二次调研考试）已知集合{|21N}{|88N}AxxkkBxxkk，，，，从集合A中取出m个不同元素，其和记为S；从集合B中取出n个不同元素，其和记为T．若967ST，则2mn的最大值为____．【答案】44【解析】欲使m,n更大，则所取元素尽可能小，所以从最小开始取，S=2222121088,44,44967,22mmnnmTnnmnn即2221968,,,nmmnN令2n-1=t,则m+2n=t+m+1,t为奇数,m为整数，则22968tm，由基本不等式22,44,22tmmtmt当且仅当m=t=22时取等，∵t为奇数，∴mt的最大值在t=22附近取到，则t=21,m=23（舍）；t=21,m=22,成立；t=23,m=21（舍）;t=23,m=20,成立；故m+t的最大值为43，所以m2n的最大值为44故答案为447．（盐城市2019届高三年级第一学期期中模拟考试）已知数列满足：，.若成等差数列，，，则=__________.【答案】1【解析】根据题意,数列{an}满足：a1=3,(n⩾2)，则a2=2a1−3=2×3−3=3，a3=2a2−3=2×3+3=9，a4=2a3+3=2×9−3=15，其中a1、a3、a4为等差数列的前3项，又由{ak1}是等差数列,且k1=1，则有k2=3,k3=4，则k3−k2=1．8．（江苏省南通市2018年高考数学模拟）已知为数列{an}的前n项和，且，，则{an}的首项的所有可能值为______【答案】【解析】因为，所以，所以，将以上各式相加，得，又，所以，解得或.9．（江苏省南京师大附中2018届高三高考考前模拟考试）在数列{an}中，若a4＝1，a12＝5，且任意连续三项的和都是15，则a2018＝______．【答案】9【解析】由题意可得an+an+1+an+2=15，将n换为an+1+an+2+an+3=15，可得an+3=an，可得数列{an是周期为3的数列．故，由an+an+1+an+2=15，n取1可得，故，故答案为9.10．（江苏省南京师范大学附属中学2018届高三5月模拟考试）在数列中，，且任意连续三项的和都是15，则____．【答案】9【解析】由题意可得，将换为，可得，可得数列为周期为的数列，，即有，由任意连续三项的和都是可得可得，故答案为.11．（江苏省徐州市（苏北三市（徐州、淮安、连云港))2019届高三年级第一次质量检测）已知数列满足对任意的，都有，且，其中，．记．（1）若，求的值；（2）设数列满足．①求数列的通项公式；②若数列满足，且当时，，是否存在正整数，使，，成等比数列？若存在，求出所有的值；若不存在，说明理由．【答案】（1）1011（2）①；②，满足题意【解析】（1）当时，由，得，又，所以，又，所以．（2）由，得，又，所以，又因为，所以，所以，，所以．②由题意，得，，因为，，成等比数列，所以，即，所以，即．由于，所以，即．当时，，得．当时，由(*)，得为奇数，所以，即，代入(*)得，即，此时无正整数解．综上，，．12．（江苏省淮安市淮安区2019届高三第一学期联合测试）已知数列的前n项和为，且()．（1）求；（2）设函数，()，求数列的前n项和；（3）设为实数，对满足且的任意正整数m，n，k，不等式恒成立，试求实数的最大值．【答案】（1）；（2）；（3）【解析】（1）当时，.当时，，满足上式，所以；（2）由分段函数可以得到：，，当，时，，故当，时，,，所以；（3）由，及得，∵，∴，∵，∴，要恒成立，只要，∴的最大值为.13．（江苏省清江中学2018届高三学情调研考试）数列中，，，（）.（1）求数列的通项公式；（2）设（），，是否存在最大的整数，使得任意的均有总成立？若存在，求出；若不存在，请说明理由.【答案】(1);(2)7.【解析】（1）∵，∴（），∴等差数列.设公差为，又，，∴，∴.（2），∴假设存在整数满足总成立，又∴数列是单调递增的∴的最小值，故，即又∴适合条件的的最大值为7.14．（江苏省南京师范大学附属中学、天一、海门、淮阴四校2018届高三联考数学调研测试）设数列的首项为1，前n项和为，若对任意的，均有（k是常数且）成立，则称数列为“数列”．（1）若数列为“数列”，求数列的通项公式；（2）是否存在数列既是“数列”，也是“数列”？若存在，求出符合条件的数列的通项公式及对应的k的值；若不存在，请说明理由；（3）若数列为“数列”，，设，证明：．【答案】（1）；（2）不存在；（3）证明见解析.【解析】（1）因为数列为“数列”，则故，两式相减得：，又时，，所以，故对任意的恒成立，即（常数），故数列为等比数列，其通项公式为.（2）假设存在这样的数列，则有，故有两式相减得：，故有，同理由是“数列”可得，所以对任意恒成立．所以，即，又，即，两者矛盾，故不存在这样的数列既是“数列”，也是“数列”．（3）因为数列为“数列”，所以，所以，故有，，又时，，故，满足，所以对任意正整数恒成立，数列的前几项为：．故，所以，两式相减得，显然，故，即.15．（2017-2018学年度第一学期江苏省常州北郊华罗庚江阴高中三校联考高三数学）已知数列na、nb，其中，112a，数列na满足111nnnana,*2,nnN，数列nb满足112,2nnbbb．（1）求数列na、nb的通项公式；（2）是否存在自然数m，使得对于任意*,2,nNn有12111814nmbbb恒成立？若存在,求出m的最小值；（3）若数列nc满足1,{,nnnnnacbn为奇数为偶数，求数列nc的前n项和nT．【答案】（1）2nnb；（2）存在，16m；（3）21243421,43{2421,43nnnnnnTnnn为奇数为偶数．【解析】（1）由111nnnana，即111nnanan．又112a，所以1232112321nnnnnnnaaaaaaaaaaaa12321111432nnnnnn11nn.当1n时，上式成立，因为112,2nnbbb，所以nb是首项为2，公比为2的等比数列，故2nnb.(2)由（1）知2nnb，则21211111111122222nnnbbb.假设存在自然数m，使得对于任意*,2,nNn有12111814nmbbb恒成立，即18224nm恒成立，由824m，解得16m．所以存在自然数m，使得对于任意*,2,nNn有12111814nmbbb恒成立，此时，m的最小值为16.（3）当n为奇数时，241131113nnnTbbbaana241241222nn124142112214nnn214342143nnn；当n为偶数时，2413111131nnnTbbbaana2424222nn241422214nnn2242143nnn.因此21243421,43{2421,43nnnnnnTnnn为奇数为偶数．16．（江苏省扬州树人学校2018届高三模拟考试四）已知无穷数列的各项都不为零，其前n项和为，且满足，数列满足，其中t为正整数．求；若不等式对任意都成立，求首项的取值范围；若首项是正整数，则数列中的任意一项是否总可以表示为数列中的其他两项之积？若是，请给出一种表示方式；若不是，请说明理由．【答案】(1).(2).(3)数列中的任意一项总可以表示为数列中的其他两项之积.理由见解析.【解析】（1）令，则，即，又，所以；由，得，两式相减得，又，故，所以．（2）由（1）知数列是首项为，公差为1的等差数列；数列是首项为，公差为1的等差数列．故所以①当时奇数时，，即，即对任意正奇数恒成立，所以，解得．②当时偶数时，，即，即对任意正偶数恒成立，所以，解得．综合①②得．（3）由数列是首项为1，公差为1的等差数列；数列是首项为正整数，公差为1的等差数列知，数列的各项都是正整数．设，即，所以，取，取，故，不妨设是偶数，则一定是整数，故当是偶数时，方程的一组解是当是奇数时，方程的一组解是所以数列中的任意一项总可以表示为数列中的其他两项之积．17．（江苏省宿迁市2018届高三上学期第一次模拟考试）已知数列，其前项和为，满足，其中，.（1）若，求证：数列是等比数列；（2）若数列是等比数列，求的值；（3）若，且，求证：数列是等差数列.【答案】（1）见解析（2）（3）见解析【解析】试题分析：（1）根据题意得到，即，所以，故数列是等比数列；（2）是等比数列，设其公比为，根据，，，可构造方程进而求得参数值；（3）先求得，由，得，两式相减得：，化简得到，再由迭代的方法得到数列进而证得数列是等差数列.解析：（1）证明：若，则当(),所以，即，所以，又由，，得，，即，所以，故数列是等比数列．（2）若是等比数列，设其公比为（），当时，，即，得，①当时，，即，得，②当时，，即，得，③②①，得，③②，得，解得．代入①式，得．此时()，所以，是公比为１的等比数列，故．（3）证明：若，由，得，又，解得．由，，，，代入得，所以，，成等差数列，由，得，两式相减得：即所以相减得：所以所以，因为，所以，即数列是等差数列.18．（江苏省南通市2018届高三上学期第一次调研测试）若数列同时满足：①对于任意的正整数n，恒成立；②若对于给定的正整数k，对于任意的正整数n(n＞k)恒成立，则称数列是“R(k)数列”．（1）已知，判断数列是否为“R(2)数列”，并说明理由；（2）已知数列是“R(3)数列”，且存在整数p(p＞1)，使得，，，成等差数列，证明：是等差数列．【答案】（1）是（2）见解析【解析】试题分析：（1）根据定义验证两个条件是否成立，由于函数为分段函数，所以分奇偶分别验证（2）根据定义数列隔项成等差，再根据单调性确定公差相等，最后求各项通项，根据通项关系得数列通项，根据等差数列证结论试题解析：（1）当为奇数时，，所以..当为偶数时，，所以..所以，数列是“数列”.（2）由题意可得：，则数列，，，是等差数列，设其公差为，数列，，，是等差数列，设其公差为，数列，，，是等差数列，设其公差为.因为，所以，所以，所以①，②.若，则当时，①不成立；若，则当时，②不成立；若，则①和②都成立，所