（江苏专用）2020年高考数学一轮复习 考点23 平面向量的概念及其线性运算必刷题（含解析）

考点23平面向量的概念及其线性运算1．（2019届高三第三次联考）已知向量(,1)ax，(4,2)b，若ab，则ab______.【答案】5【解析】由ab，得24x，即2x，则(2,1)ab，所以5ab.2．（江苏省苏州市2019届高三高考模拟最后一卷）如图，已知P是半径为2，圆心角为3的一段圆弧AB上一点，2ABBC，则PCPA的最小值为_______．【答案】5﹣213【解析】设圆心为O,AB中点为D,由题得22sin2,36ABAC.取AC中点M，由题得2PAPCPMPCPAAC,两方程平方相减得2221944PCPAPMACPM，要使PCPA取最小值，就是PM最小，当圆弧AB的圆心与点P、M共线时，PM最小.此时DM=221113,()3222DM,所以PM有最小值为2﹣132，代入求得PCPA的最小值为5﹣213．故答案为：5﹣213．3．（江苏省南通市2019届高三年级阶段性学情联合调研）设，向量，，若，则的最小值为______．【答案】9【解析】因为∥，所以4x+（1﹣x）y=0，又x＞0，y＞0，所以+=1，故x+y=（+）（x+y）=5++≥9．当=，+=1同时成立，即x=3，y=6时，等号成立．（x+y）min=9．故答案为：9．4．（江苏省清江中学2019届高三第二次教学质量调研）在平面四边形ABCD中，若E为BC的中点，AE＝2，DE＝3，则＝_______．【答案】-5【解析】=故答案为：-5.5．（江苏省南通市2018届高三最后一卷）在中，且，设是平面上的一点，则的最小值是__________．【答案】.【解析】由，且，得，如图，以为坐标原点，为轴建立直角坐标系，则，设点的坐标为，则，即的最小值是，故答案为.6．（江苏省南京师大附中2018届高三高考考前模拟考试）已知直线与圆交于不同的两点A，B．若O是坐标原点，且，则实数的取值范围是__________.【答案】【解析】设AB的中点为D，则,故即，再由直线与圆的弦长公式可得：AB2=，（d为圆心到直线的距离），又直线与圆相交故dr，得，根据，得：，由点到线的距离公式可得，即要，综合可得：b的取值范围是．7．（江苏省南京师范大学附属中学、天一、海门、淮阴四校2018届高三联考）如图，在四边形ABCD中，1ABCD，点,MN分别是边,ADBC的中点，延长BA和CD交NM的延长线于不同．．的两点,PQ，则·PQABDC的值为_________．【答案】0【解析】如图，连AC，取AC的中点E，连ME，NE，则,MENE分别为,ADCCAB的中位线，所以11,22ENABMEDC,所以12MNMEENDCAB．由PQ与MN共线，所以PQMNR，故2PQABDCMNABDCABDCABDC2202ABDC．答案：0．8．（江苏省前黄高级中学、如东高级中学、姜堰中学等五校2018届高三上学期第一次学情监测）设向量2,6,1,abm，若//ab，则实数m的值为__________．【答案】3【解析】由向量平行的充要条件可得：261m，求解关于实数m的方程可得：3m.9．（江苏省常州市2018届高三上学期武进区高中数学期中试卷）已知数列na中，12a，点列1,2,nPn在ABC内部，且nPAB与nPAC的面积比为2:1，若对*Nn都存在数列nb满足113202nnnnnnbPAaPBaPC，则4a的值为______.【答案】80【解析】在BC上取点D，使得2BDCD，则nP在线段AD上．113202nnnnnnbPAaPBaPC1132322nnnnnnnnnnnaBPbAPaCPbBPBAaBPBC（）（）（）（），1133232)22nnnnnnabaBPbBAaBD（nAPD，，三点共线，1133232)22nnnnnababa（，即132nnaa．21324332832263280aaaaaa，，．故答案为：80．10．（江苏省常州市武进区2018届高三上学期期中考试）若2,3a，4,bm共线，则实数m的值为________．【答案】-6【解析】2,3,4,abm共线，2340m解得6m故答案为611．（江苏省横林高级中学2018届高三）已知等差数列的前项和，若，且三点共线(为该直线外一点)，则等于________.【答案】【解析】若，且三点共线(为该直线外一点)，则，.12．（江苏省南京师范大学附属中学2017届高三高考模拟考试二）如下图，在ABC中，1,2,,2ABACBCADDCAEEB．若12BDAC，则CEAB__________．【答案】43【解析】因为12ADDCBDBABC，所以,又因为ACABCB，所以111222BDACBABCABCBBABCABCB。即，也即221ABCB，所以2145ABABAC，又13CEABCA，故13CEABABABCAAB，由余弦定理得5543cos255A，则CEAB13455353，应填答案43．13．（江苏省如皋市2017届高三下学期语数英学科联考二）平面直角坐标系中，角满足，，，设点是角终边上一动点，则的最小值是___．【答案】【解析】由题意可得,，∵点B是角θ终边上一点，不妨设=25m(m0),则B(−7m,−24m)，∵=(−1,0)，∴=(−1+7m,24m)，∴=(−1+7m)2+(24m)2=625m2−14m+1，当时,有最小值,最小值为，故的最小值是.14．（江苏省淮安市淮海中学2017届高三下学期第二次阶段性测试）已知定点(1,0)A，(2,0)B，圆C：2222330xyxy.（1）过点B向圆C引切线l，求切线l的方程；（2）过点A作直线1l交圆C于P，Q，且APPQ，求直线1l的斜率；（3）定点M，N在直线2:1lx上，对于圆C上任意一点R都满足3RNRM，试求M，N两点的坐标.【答案】（1）x＝2或3230xy（2）3113315k或（3）4323(1),(123)(1),(10)33MNMN，，或，，．【解析】解：(1)①当直线l与x轴垂直时，易知x＝2符合题意；②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x－2)．即kx－y－2k＝0.若直线l与圆C相切，则有2k311k，解得k＝3，∴直线l：3xy230故直线l的方程为x＝2或3xy230（2）设11Px,y，由APPQ知点P是AQ的中点，所以点Q的坐标为112x1,2y.由于两点P,Q均在圆C上，故221111xy2x23y30，①2211112x12y22x1232y30又，即221111xy3y02，②②—①得1152x3y02，③由②③解得111x2{3y2或111x14{113y14，3113k315或(其他方法类似给分)（3）设11M1,a,N1,b,Rx,y，则2211x1y31④又223RMRN得2221112x1yb3ya，⑤由④、⑤得2216a2b43yb3a40，⑥由于关于1y的方程⑥有无数组解，所以2262430{b3a40ab，解得4323{{33023aabb或所以满足条件的定点有两组4323M1,N123M1,N1033，，或，，15．（江苏省南通市2018届高三最后一卷）如图，已知圆的方程为，过点的直线与圆交于点，与轴交于点，设，求证：为定值.【答案】证明见解析.【解析】当与轴垂直时，此时点与点重合，从而，，.当点与点不重合时，直线的斜率存在.设直线的方程为，，，则.由题设，得，即.所以将代入，得，则，，，所以综上，为定值.16．（江苏省常州市2018届高三上学期武进区高中数学期中试卷）在平面直角坐标系xOy中，已知点1,0A，1,1B，2,0C，点P是平面直角坐标系xOy上一点，且OPmABnAC（m，Rn），⑴若1m，且OP//BC，试求实数n的值；⑵若点P在ABC三边围成的区域(含边界)上，求3mn的最大值．【答案】⑴1n(2)2【解析】试题分析：（1）直接利用向量的线性运算求出对应的值．（2）利用线性规划问题求出对应的结果．试题解析：⑴由题设知：2,1AB，3,0AC，1m，2,13,023,1OPABnACnn，又||OPBC，1,1BC，231n，得1n，所以，满足题意的实数1n.(2)设,Pxy，2,13,023,,OPmABnACmnmnmxy，23{mnxmy，2{3xynmy，3mnxy，令zxy，由图知，当直线yxz过点2,0C时，z取得最大值2，故3mn的最大值为2.17．（江苏省淮安市盱眙中学2018届高三第一次学情调研测试）如图，两块直角三角板拼在一起，已知45ABC，60BCD．（1）若记,ABaACb，试用,ab表示向量,ADCD；（2）若2AB，求AECD．【答案】（1）31ab；（2）823.【解析】（1））33ADABBDABACab,331CDADACabbab,（2）∵13AEACEDBD∴131AEAD,∴1133131AEADab,∴AECD1331ab(31)ab2212313331aabb,又∵224,2,2abab∴AECD823.