（江苏专用）2020年高考数学一轮复习 考点14 导数的应用必刷题（含解析）

考点14导数的应用1．（江苏省苏锡常镇四市2019届高三教学情况调查二）已知e为自然对数的底数，函数2xfxeax的图像恒在直线32yax上方，则实数a的取值范围为_______．【答案】12,0e【解析】因为函数2xfxeax的图像恒在直线32yax上方，所以xR，232xeaxax恒成立，即：232xeaxx恒成立.当0a时，若x，0xe，232axx，不满足232xeaxx恒成立.当0a时，23020xexx恒成立.当0a时，不等式232xeaxx恒成立等价于：2min312xxxae，记232xxxehx，则312xhxexx，此时，hx在,1上递减，在31,2上递增，在3,2上递减，其简图如下：所以12min131122ehxhe，所以12ae，又0a，解得：02ea.综上所述：02ea．2．（江苏省苏州市2019届高三下学期阶段测试）若函数在其定义域上恰有两个零点，则正实数a的值为_____.【答案】【解析】当x≤0时，f（x）＝x+2x，单调递增，f（﹣1）＝﹣1+2﹣1＜0，f（0）＝1＞0，由零点存在定理，可得f（x）在（﹣1，0）有且只有一个零点；则由题意可得x＞0时，f（x）＝ax﹣lnx有且只有一个零点，即有a有且只有一个实根．令g（x），g′（x），当x＞e时，g′（x）＜0，g（x）递减；当0＜x＜e时，g′（x）＞0，g（x）递增．即有x＝e处取得极大值，也为最大值，且为，当x如图g（x）的图象，当直线y＝a（a＞0）与g（x）的图象只有一个交点时，则a．故答案为：．3．（江苏省扬州市2018-2019学年度第一学期期末检测试）若存在正实数x，y，z满足，且，则的最小值为_______．【答案】【解析】【分析】由⇒，又lnln（）＝lnlneln，令，则lnelnet﹣lnt，t，f（t）＝et﹣lnt，利用函数求导求最值．【详解】∵正实数x，y，z满足3y2+3z2≤10yz，∴⇒，∵，∴lne，lnln（）＝lnlneln，令，则lnelnet﹣lnt，t，f（t）＝et﹣lnt，f′（t）＝e0，则t，可得f（t）在（）递减，在（）递增，∴f（t）min＝f（）＝1﹣（﹣1）＝2，即（ln）min＝2，∴的最小值为e2，故答案为：e2．4．（江苏省徐州市（苏北三市（徐州、淮安、连云港))2019届高三年级第一次质量检测）已知，，，且，则的最小值为_________．【答案】【解析】令，，，，在上递减，在上递增，所以，当时，有最小值：所以，的最小值为故答案为：．5．（江苏省七市(南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港)2019届高三第三次调研考试）已知数列满足（），（）．（1）若，证明：是等比数列；（2）若存在，使得，，成等差数列．①求数列的通项公式；②证明：．【答案】（1）见解析；（2）①，②见解析【解析】（1）由，得，得，即，因为，所以，所以（），所以是以为首项，2为公比的等比数列．（2）①设，由（1）知，，所以，即，所以．因为，，成等差数列，则，所以，所以，所以，即．②要证，即证，即证．设，则，且，从而只需证，当时，．设（），则，所以在上单调递增，所以，即，因为，所以，所以，原不等式得证．6．（江苏省苏锡常镇四市2019届高三教学情况调查二）已知数列na，12a，且211nnnaaa对任意nN恒成立．（1）求证：112211nnnnaaaaaa(nN)；（2）求证：11nnan(nN)．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】（1）①当1n时，2221112213aaa满足211aa成立.②假设当nk时，结论成立.即：112211kkkkaaaaaa成立下证：当1nk时，112211kkkkaaaaaa成立。因为211211111kkkkkaaaaa11221112211111kkkkkkkkaaaaaaaaaaaa即：当1nk时，112211kkkkaaaaaa成立由①、②可知，112211nnnnaaaaaa(n*N)成立。（2）（ⅰ）当1n时，221221311a成立，当2n时，2322222172131112aaaaa成立，（ⅱ）假设nk时（3k），结论正确，即：11kkak成立下证：当1nk时，1211kkak成立.因为2211112111111kkkkkkkkkaaaaakkkk要证1211kkak，只需证12111kkkkkk只需证：121kkkk，只需证：12lnln1kkkk即证：12llnn10kkkk（3k）记2ln11lnhxxxxx2ln1112ln11lnlnxxxxhx21ln1ln12111xxxx当12x≥时，1111ln121ln221ln1ln10122xxe所以2ln11lnhxxxxx在1,上递增，又6423ln34ln3ln34ln729ln2564l0nh所以，当3x时，30hxh恒成立。即：当3k时，30hkh成立。即：当3k时，12llnn10kkkk恒成立.所以当3k，1211kkak恒成立.由（ⅰ）（ⅱ）可得：对任意的正整数nN，不等式11nnan恒成立，命题得证.7．（江苏省苏锡常镇四市2019届高三教学情况调查二）已知函数22lnfxxaxax，其中aR．（1）如果曲线yfx在x＝1处的切线斜率为1，求实数a的值；（2）若函数fx的极小值不超过2a，求实数a的最小值；（3）对任意1x[1，2]，总存在2x[4，8]，使得1fx＝2fx成立，求实数a的取值范围．【答案】（1）32；（2）2；（3）16772ln273ln2a【解析】（1）由题可得：22afxxax，所以122faa又曲线yfx在1x处的切线斜率为1，所以1221faa，解得：32a（2）221222220axxxaxaafxxaxxxx因为函数fx的极小值不超过2a，说明函数fx有极小值则02a，其极小值22ln24222aaaaafaa即：1ln0242aa记：1ln242aaha，上述不等式可转化成0ha当2a时，1222ln0242h，要使得0ha，则2hah因为1104haa恒成立，所以ha在0,上递减，2a所以实数a的最小值为2（3）记fx在1,2x的值域为A，fx在4,8x的值域为B对任意11,2x，总存在24,8x，使得12fxfx成立，则AB成立2120axxfxxx（Ⅰ）当12a时，fx在1,8递增，不满足AB（Ⅱ）当122a时，fx在1,2a递减，在,82a递增，不满足AB（Ⅲ）当242a时，fx在1,2递减，在4,8递增，要使得AB，则2418ffff即：442ln21684ln41264168ln8aaaaaaa整理得：1682ln2a（Ⅳ）当482a时，fx在1,2a递减，在,82a递增，要使得AB，则81ff即：64168ln812aaa整理得：77873ln2a（Ⅴ）当82a时，fx在1,8递减，，不满足AB.综上所述：16772ln273ln2a．8．（江苏省南通市基地学校2019届高三3月联考）某鲜花小镇圈定一块半径为1百米的圆形荒地，准备建成各种不同鲜花景观带．为了便于游客观赏，准备修建三条道路AB，BC，CA，其中A，B，C分别为圆上的三个进出口，且A，B分别在圆心O的正东方向与正北方向上，C在圆心O南偏西某一方向上．在道路AC与BC之间修建一条直线型水渠MN种植水生观赏植物黄鸢尾（其中点M，N分别在BC和CA上，且M在圆心O的正西方向上，N在圆心O的正南方向上），并在区域MNC内种植柳叶马鞭草．（1）求水渠MN长度的最小值；（2）求种植柳叶马鞭草区域MNC面积的最大值（水渠宽度忽略不计）．【答案】（1）百米；（2）平方米.【解析】（1）以圆心为原点，建立平面直角坐标系，则圆的方程为设点，直线的方程为，令，得直线的方程为，令，得所以令，即，则令，得当时，，则单调递减；当时，，则单调递增；所以当时，所以水渠长度的最小值为百米（2）由（1）可知，，，且则设，因为，所以所以，所以当时，种植柳叶马鞭草区域面积的最大值为平方百米另法：（2）因为，所以由所以设，因为，所以所以，所以当时，种植柳叶马鞭草区域面积的最大值为平方百米．9．（江苏省南通、扬州、泰州、苏北四市七市2019届高三第一次（2月)模拟）已知函数．（1）讨论的单调性；（2）设的导函数为，若有两个不相同的零点．①求实数的取值范围；②证明：．【答案】（1）见解析（2）①，②见解析【解析】（1）的定义域为，且．当时，成立，所以在为增函数；当时，（i）当时，，所以在上为增函数；（ii）当时，，所以在上为减函数．（2）①由（1）知，当时，至多一个零点，不合题意；当时，的最小值为，依题意知，解得．一方面，由于，，在为增函数，且函数的图象在上不间断．所以在上有唯一的一个零点．另一方面，因为，所以．，令，当时，，所以又，在为减函数，且函数的图象在上不间断．所以在有唯一的一个零点．综上，实数的取值范围是．②设．又则．下面证明．不妨设，由①知．要证，即证．因为，在上为减函数，所以只要证．又，即证．设函数．所以，所以在为增函数.所以，所以成立．从而成立.所以，即成立.10．（江苏省徐州市（苏北三市（徐州、淮安、连云港))2019届高三年级第一次质量检测）如图，某公园内有两条道路，，现计划在上选择一点，新建道路，并把所在的区域改造成绿化区域．已知，．（1）若绿化区域的面积为1，求道路的长度；（2）若绿化区域改造成本为10万元/，新建道路成本为10万元/．设（），当为何值时，该计划所需总费用最小？【答案】（1）（2）【解析】（1）因为在中，已知，，所以由的面积，解得．在中，由余弦定理得：，所以．（2）由，则，．在中，，，由正弦定理得，所以，．记该计划所需费用为，则．令，则，由，得．所以当时，，单调递减；当时，，单调递增．所以时，该计划所需费用最小．11．（江苏省淮安市淮安区2019届高三第一学期联合测试）已知函数，R．（1）当a＝2时，求函数的单调区间；（2）若函数在处取得极值，对(0，)，恒成立，求实数b的取值范围．【答案】（1）递增区间为，单调减区间为；（2）【解析】（1）在区间上，令，则.令，则.从而函数的递增区间为，函数的单调减区间为.（2）因为函数在处取得极值，所以，解得.因为对恒成立即对恒