考点10函数的图像1、为了得到函数y=lgx+310的图象,只需把函数y=lgx的图象上所有的点向____(填“左”或“右”)平移___个单位长度,再向__(填“上”或“下”)平移___个单位长度.【答案】左3下1【解析】因为y=lgx+310=lg(x+3)-lg10=lg(x+3)-1,所以只需把函数y=lgx的图象上所有的点向左平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度.2、已知y=f(x)与y=g(x)的图象如图,则函数f(x)=f(x)g(x)的图象可以是____.(填序号)①②③④【答案】①【解析】根据f(x)和g(x)的图象,可得g(x)在x=0处无意义,所以函数f(x)=f(x)g(x)在x=0处无意义;因为f(x)与g(x)都为奇函数,所以函数f(x)=f(x)g(x)是偶函数,故排除④;当x取很小的正数时,f(x)0,g(x)0,所以f(x)g(x)0,故①符合要求.3、已知偶函数f(x)(x∈R)满足f(-4)=f(1)=0,且在区间[0,3]和(3,+∞)上分别单调递减和单调递增,则不等式xf(x)0的解集为___.【答案】(1,4)∪(-1,0)∪(-∞,-4)【解析】因为定义在R上的偶函数f(x)满足f(-4)=f(1)=0,所以函数f(x)的图象关于y轴对称,且f(4)=f(1)=f(-1)=f(-4)=0,则由函数在区间[0,3]和(3,+∞)上分别单调递减和单调递增,不等式xf(x)0,可得x0,f(x)0或x0,f(x)0,解得1x4或-1x0或x-4,故所求不等式的解集为(1,4)∪(-1,0)∪(-∞,-4).4、已知图1是函数y=f(x)的图象,则图2中的图象对应的函数可能是___.(填序号)图1图2①y=f(|x|);②y=|f(x)|;③y=f(-|x|);④y=-f(-|x|).【答案】③【解析】由图2可知,对应的函数为偶函数,所以②错误,且当x0时,对应的是f(-x),显然①④不正确,故填③.5、将函数y=f(x)的图象上所有点的横坐标变为原来的13(纵坐标不变),再将此图象沿x轴方向向左平移2个单位长度,所得图象对应的函数为____.【答案】y=f(3x+6)【解析】函数y=f(x)的图象所有点的横坐标变为原来的13(纵坐标不变),得到的函数为y=f(3x),再将此图象沿x轴方向向左平移2个单位长度得到函数为y=f[3(x+2)]=f(3x+6),故所得图象对应的函数为y=f(3x+6).6、若0a1,则函数y=loga(x+5)不经过第____象限.【答案】一【解析】函数loga(x+5)的图象可以看作函数y=logax的图象向左平移5个单位长度得到的,由0a1,知函数y=logax的图象过第一、四象限且单调递减,与x轴交于点(1,0),故函数y=loga(x+5)的图象也单调递减,且过点(-4,0),由此图象特征知,函数y=loga(x+5)的图象不经过第一象限.7、若函数y=log2(x+1)的图象与y=f(x)的图象关于直线x=1对称,则函数f(x)的表达式是____.【答案】y=log2(3-x)【解析】因为与y=f(x)的图象关于直线x=1对称的函数为y=f(2-x).又因为函数y=log2(x+1)的图象与y=f(x)的图象关于直线x=1对称,所以f(2-x)=log2(x+1),设t=2-x,则x=2-t,所以f(t)=log2(2-t+1)=log2(3-t),故函数f(x)的表达式是f(x)=log2(3-x).8、已知函数f(x)=x2+x,x0,-x2,x≥0,若f(f(a))≤2,则实数a的取值范围是____.【答案】(-∞,2]【解析】当a≥0时,f(a)=-a2≤0,故f(f(a))=f(-a2)=a4-a2≤2,解得0≤a≤2;当-1a0时,f(a)=a2+a=a(a+1)0,则f(f(a))=f(a2+a)=(a2+a)2+(a2+a)≤2,即(a2+a)2+(a2+a)-2≤0,所以-2≤a2+a≤1,解得-1+52≤a≤-1+52,所以-1a0;当a≤-1时,f(a)=a2+a=a(a+1)≥0,则f(f(a))=f(a2+a)=-(a2+a)2≤2,得a∈R,所以a≤-1.综上,实数a的取值范围是(-∞,2].9、设函数f(x)=|x|x+bx+c,则下列命题中正确命题的序号有________.(请将你认为正确的命题序号都填上)①当b0时,函数f(x)在R上是单调增函数;②当b0时,函数f(x)在R上有最小值;③函数f(x)的图象关于点(0,c)对称;④方程f(x)=0可能有三个实数根.【答案】①③④【解析】f(x)=x2+bx+c,x≥0,-x2+bx+c,x0,结合图象可知①正确,②不正确,对于③,因为|x|x+bx是奇函数,其图象关于原点(0,0)对称,所以f(x)的图象关于点(0,c)对称,③正确;当c=0,b0时f(x)=0有三个实数根,故④正确.10、已知函数f(x)=|x-a|x+b(a,b∈R),给出下列命题:(1)当a=0时,f(x)的图象关于点(0,b)成中心对称;(2)当xa时,f(x)是递增函数;(3)当0≤x≤a时,f(x)的最大值为a24+b.其中正确的序号是________.【答案】(1)(3)【解析】当a=0时,f(x)=x|x|+b,因为函数y=x|x|是奇函数,所以y=x|x|的图象关于点(0,0)对称,所以f(x)的图象关于点(0,b)成中心对称,故(1)正确;当xa时,f(x)=x2-ax+b,其单调性不确定,故(2)错误;当0≤x≤a时,f(x)=-(x-a2)2+a24+b,所以当x=a2时,f(x)的最大值为a24+b,故(3)正确.答案:13311、关于x的方程exlnx=1的实根个数是________.【答案】1【解析】由exlnx=1(x0)得lnx=1ex(x0),即lnx=(1e)x(x0).令y1=lnx(x0),y2=(1e)x(x0),在同一直角坐标系内绘出函数y1,y2的图象,图象如图所示.根据图象可知两函数只有一个交点,所以原方程实根的个数为1.12、为了得到函数f(x)=log2x的图象,只需将函数g(x)=log2x8的图象________.【答案】向上平移3个单位【解析】g(x)=log2x8=log2x-3=f(x)-3,因此只需将函数g(x)的图象向上平移3个单位即可得到函数f(x)=log2x的图象.13、已知函数f(x)=2x+x,g(x)=log2x+x,h(x)=x3+x的零点依次为a,b,c则a,b,c由小到大的顺序是________.【答案】acb【解析】因为函数f(x)=2x+x的零点在(-1,0)上,函数g(x)=log2x+x的零点在(0,1)上,函数h(x)=x3+x的零点为0,所以acb.14、已知函数设,且函数的图象经过四个象限,则实数的取值范围为______.【答案】【解析】当x≤0时,f(x)-g(x)=|x+3\-kx-1,须使f(x)-g(x)过第三象限,所以f(-3)-g(-3)0,解之得k<.当x>0时,f(x)-g(x)=,因为,所以须使f(x)-g(x)过第四象限,必须综合得-9<k<.15、定义在R上的偶函数f(x),且对任意实数x都有f(x+2)=f(x),当x∈[0,1]时,f(x)=x2,若在区间[﹣3,3]内,函数g(x)=f(x)﹣kx﹣3k有6个零点,则实数k的取值范围为__.【答案】【解析】由定义在R上的偶函数f(x),且对任意实数x都有f(x+2)=f(x),当x∈[0,1]时,f(x)=x2,可得函数f(x)在区间[﹣3,3]的图象如图所示,在区间[﹣3,3]内,函数g(x)=f(x)﹣kx﹣3k有6个零点,等价于y=f(x)的图象与直线y=k(x+3)在区间[﹣3,3]内有6个交点,又y=k(x+3)过定点(﹣3,0),观察图象可知实数k的取值范围为:,16、已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≥0时,.若f(a)<4+f(-a),则实数a的取值范围是_____.【答案】【解析】∵f(x)为奇函数,∴∴f(a)<4+f(-a)可转化为f(a)<2作出的图象,如图:由图易知:a<217、已知函数.若函数存在5个零点,则实数的取值范围为_________.【答案】【解析】先作出函数y=2f(x)的图像如图所示(图中黑色的曲线),当a=1时,函数y=|2f(x)-1|的图像如图所示(图中红色的曲线),它与直线y=1只有四个交点,即函数存在4个零点,不合题意.当1<a<3时,函数y=|2f(x)-a|的图像如图所示(图中红色的曲线),它与直线y=1有5个交点,即函数存在5个零点,符合题意.当a=3时,函数y=|2f(x)-3|的图像如图所示(图中红色的曲线),它与直线y=1有6个交点,即函数存在6个零点,不符合题意.所以实数a的取值范围为.故答案为:18、对于任意实数,定义设函数,,则函数的最大值是________.【答案】1【解析】∵x>0,∴f(x)=﹣x+3<3,g(x)=log2x∈R,分别作出函数f(x)=﹣3+x和g(x)=log2x的图象,结合函数f(x)=﹣3+x和g(x)=log2x的图象可知,h(x)=min{f(x),g(x)}的图象,在这两个函数的交点处函数h(x)=min{f(x),g(x)}的最大值.解方程组得,∴函数h(x)=min{f(x),g(x)}的最大值是1.故答案为:1.19、函数的递增区间是___________.【答案】【解析】当时,,开口向下,对称轴为,所以递增区间是,当时,,开口向上,对称轴是,所以在定义域内无递增区间。综上所述,递增区间是。20、已知函数f(x)的图象与函数h(x)=x+1x+2的图象关于点A(0,1)对称.(1)求f(x)的解析式;(2)若g(x)=f(x)+ax,且g(x)在区间(0,2]上为减函数,求实数a的取值范围.【答案】(1)y=f(x)=x+1x(x≠0)(2)[3,+∞)【解析】(1)设f(x)图象上任一点P(x,y),则点P关于(0,1)点的对称点P′(-x,2-y)在h(x)的图象上,即2-y=-x-1x+2,∴y=f(x)=x+1x(x≠0).(2)g(x)=f(x)+ax=x+a+1x,g′(x)=1-a+1x2.∵g(x)在(0,2]上为减函数,∴1-a+1x2≤0在(0,2]上恒成立,即a+1≥x2在(0,2]上恒成立,∴a+1≥4,即a≥3,a的取值范围是[3,+∞).21、已知函数f(x)=3-x2,x∈[-1,2]x-3,x∈,5].(1)在如图所示给定的直角坐标系内画出f(x)的图象;(2)写出f(x)的单调递增区间;(3)由图象指出当x取什么值时f(x)有最值.【答案】(1)见图(2)[-1,0],[2,5](3)03【解析】(1)函数f(x)的图象如图所示.(2)由图象可知,函数f(x)的单调递增区间为[-1,0],[2,5].(3)由图象知当x=2时,f(x)min=f(2)=-1,当x=0时,f(x)max=f(0)=3.22、设函数f(x)=x+1x的图象为C1,C1关于点A(2,1)对称的图象为C2,C2对应的函数为g(x).(1)求g(x)的解析式;(2)若直线y=m与C2只有一个交点,求m的值和交点坐标.【答案】(1)g(x)=x-2+1x-4(2)当m=0时,交点为(3,0);当m=4时,交点为(5,4)【解析】(1)设点P(x,y)是C2上的任意一点,则P(x,y)关于点A(2,1)对称的点P′(4-x,2-y),代入f(x)=x+1x,可得2-y=4-x+14-x,即y=x-2+1x-4,∴g(x)=x-2+1x-4.(2)由y=m,y=x-2+1x-4,消去y得x2-(m+6)x+4m+9=0.Δ=(m+6)2-4(4m+