（江苏专用）2020年高考数学一轮复习 考点01 集合必刷题（含解析）

考点01集合1、已知全集U＝{1，3，5，7，9}，A＝{1，5，9}，B＝{3，5，9}，则∁U(A∪B)的子集个数为___．【答案】2【解析】由题意得A∪B＝{1，3，5，9}，所以∁U(A∪B)＝{7}，所以∁U(A∪B)的子集个数为2.2、已知集合A＝{0，a}，B＝{0，1，3}，若A∪B＝{0，1，2，3}，则实数a的值为__2__．【答案】2【解析】因为A∪B＝{0，1，2，3}，A＝{0，a}，B＝{0，1，3}，所以a＝2.3、设集合A＝{－1，1，3}，B＝{a＋2，a2＋4}，若A∩B＝{3}，则实数a的值为__1__．【答案】1【解析】因为A∩B＝{3}，所以a＋2＝3或a2＋4＝3，解得a＝1，此时B＝{3，5}，符合题意，故实数a的值为1.4、已知全集U＝R，集合M＝{x|－2≤x－1≤2}和N＝{x|x＝2k－1，k＝1，2，…}的关系如图所示，则阴影部分表示的集合中的元素有____个．【答案】2【解析】由图可知，阴影部分表示的是M∩N.由M＝{x|－2≤x－1≤2}得M＝{x|－1≤x≤3}．集合N表示的是正奇数集，所以M∩N＝{1，3}，所以阴影部分所示的集合中的元素共有2个．5、设全集U＝R，M＝{m|方程mx2－x－1＝0有实数根}，N＝{n|方程x2－x＋n＝0有实数根}，则(∁UM)∩N＝________.【答案】{x|x－14}【解析】当m＝0时，x＝－1，即0∈M；当m≠0时，Δ＝1＋4m≥0，即m≥－14，且m≠0，∴m≥－14，∴∁UM＝{m|m－14}，而对于N，Δ＝1－4n≥0，即n≤14，N＝{n|n≤14}，∴(∁UM)∩N＝{x|x－14}．答案：{x|x－14}6、下面四个命题中，正确命题的序号为____．①某班个子较高的同学构成集合A；②由1，2，3组成的集合可表示为{1，2，3}或{3，2，1}；③方程x2－2x＋1＝0的解集是{1，1}；④∅与{∅}表示同一个集合．【答案】②【解析】①集合是指一定范围内某些确定的、不同的对象的全体，个子较高的同学不确定，所以①错误；②正确，集合中的元素具有无序性；③错误，集合中的元素具有互异性；④错误，∅表示不含任何元素的集合，{∅}表示集合中有一个元素∅，而不是空集．7、设S为复数集C的非空子集．若对任意x，y∈S，都有x＋y，x－y，xy∈S，则称S为封闭集．下列命题：①集合S＝{a＋bi|a，b为整数，i为虚数单位}为封闭集；②若S为封闭集，则一定有0∈S；③封闭集一定是无限集；④若S为封闭集，则满足S⊆T⊆C的任意集合T也是封闭集．其中的真命题是________．(写出所有真命题的序号)【答案】①②【解析】由题意，①S＝{a＋bi|a，b为整数，i为虚数单位}，S为复数集，若x、y∈S，则x＋y，x－y及xy仍为复数，故①正确．②若S为封闭集，且存在元素x∈S，那么必有x－x＝0∈S，即一定有0∈S，故②正确．③因为{0}是封闭集，且是有限集，故③错误．④举特例，若S＝{0}，T＝{0，i，－i}，显然，T中i·(－i)＝1∉T，∴T不是封闭集，故④错误．答案：①②8、设集合A＝x|132≤2－x≤4，B＝{x|x2＋2mx－3m20}，m0.(1)若m＝2，求A∩B；(2)若A⊇B，求实数m的取值范围．【答案】(1){x|－2≤x2}(2)0，23【解析】由题意得，集合A＝{x|－2≤x≤5}，因为m0，所以B＝{x|－3mxm}．(1)当m＝2时，B＝{x|－6x2}，所以A∩B＝{x|－2≤x2}．(2)A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|－3mxm}，因为A⊇B，所以－3m≥－2，m≤5，所以m≤23，所以0m≤23.综上所述，m的取值范围是0，23.9、已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1x2m－1}，若B⊆A，求实数m的取值范围．【答案】{}m|m≤4【解析】当B＝∅时，有m＋1≥2m－1，则m≤2.当B≠∅时，若B⊆A，则m＋1≥－2，2m－1≤7，m＋12m－1，解得2m≤4.综上，m的取值范围是{}m|m≤4.10、若集合A＝{x|ax2＋ax＋1＝0}中只有一个元素，求实数a的值．【答案】4【解析】当a＝0时，不合题意，舍去；当a≠0时，由题意得，Δ＝a2－4a＝0，解得a＝4.综上所述，a＝4.11、若集合A＝{x|ax2＋ax＋1＝0}只有一个子集，求实数a的取值范围．【答案】[0，4)【解析】由题意得，集合A为空集．①若a＝0，符合题意；②若a≠0，则Δ＝a2－4a0，解得0a4.综上，a的取值范围是[0，4)．12、已知函数f(x)＝6x＋1－1的定义域为集合A，函数g(x)＝lg(－x2＋2x＋m)的定义域为集合B.(1)当m＝3时，求A∩∁RB；(2)若A∩B＝{x|－1x4}，求实数m的值．【答案】(1)A∩∁RB＝[3，5](2)8【解析】(1)当m＝3时，B＝{x|－1x3}，则∁RB＝(－∞，－1]∪[3，＋∞)．又因为A＝(－1，5]，所以A∩∁RB＝[3，5]．(2)因为A＝(－1，5]，A∩B＝{x|－1x4}，所以4是方程－x2＋2x＋m＝0的一个根，所以－42＋2×4＋m＝0，解得m＝8.此时集合B＝{x|－2x4}，符合题意．因此实数m的值为8.13、已知集合A＝{y|y＝－2x，x∈[2，3]}，B＝{x|x2＋3x－a2－3a0}．(1)当a＝4时，求A∩B；(2)若A⊆B，求实数a的取值范围．【答案】(1)[－8，－7)(2)(－4，1)【解析】(1)由题意得，A＝[－8，－4]，当a＝4时，B＝(－∞，－7)∪(4，＋∞)，所以A∩B＝[－8，－7)．(2)方程x2＋3x－a2－3a＝0的两根分别为a，－a－3.①当a＝－a－3，即a＝－32时，B＝－∞，－32∪(－32，＋∞)，满足A⊆B；②当a－a－3，即a－32时，B＝(－∞，a)∪(－a－3，＋∞)，则a－4或－a－3－8，解得－4a－32；③当a－a－3，即a－32时，B＝(－∞，－a－3)∪(a，＋∞)，则a－8或－a－3－4，解得－32a1.综上所述，实数a的取值范围是(－4，1)．14、已知集合A＝{x|6x＋1≥1，x∈R}，B＝{x|x2－2x－m0}，(1)当m＝3时，求A∩(∁RB)；(2)若A∩B＝{x|－1x4}，求实数m的值．【答案】(1){x|3≤x≤5}(2)8【解析】由6x＋1≥1，得x－5x＋1≤0.∴－1x≤5，∴A＝{x|－1x≤5}．(1)当m＝3时，B＝{x|－1x3}，则∁RB＝{x|x≤－1或x≥3}，∴A∩(∁RB)＝{x|3≤x≤5}．(2)∵A＝{x|－1x≤5}，A∩B＝{x|－1x4}，∴有42－2×4－m＝0，解得m＝8.此时B＝{x|－2x4}，符合题意，故实数m的值为8.15、已知集合A＝{x|0ax＋1≤5}，集合B＝x|－12x≤2.(1)若A⊆B，求实数a的取值范围；(2)若B⊆A，求实数a的取值范围；(3)A、B能否相等？若能，求出a的值；若不能，试说明理由．【答案】(1)(－∞，－8)∪[2，＋∞)(2)－12，2(3)2【解析】对于不等式0ax＋1≤5，当a＝0时，015恒成立，即x∈R，集合A＝R；当a0时，－1ax≤4a，即集合A＝{x|－1ax≤4a}；当a0时，4a≤x－1a，即集合A＝{x|4a≤x－1a}．(1)若A是B的子集，则当a＝0时，不满足题意；当a0时，需要满足－1a≥－12，4a≤2，解得a≥2；当a0时，需要满足4a－12，－1a≤2，解得a－8.综上所述，a的取值范围是(－∞，－8)∪[2，＋∞)．(2)若B是A的子集，则当a＝0时，满足题意；当a0时，需要满足－1a≤－12，4a≥2，解得0a≤2；当a0时，需要满足－1a2，4a≤－12，解得－12a0.综上所述，a的取值范围是－12，2.(3)当A＝B时，需满足A⊆B且B⊆A，即同时满足(1)和(2)，所以a＝2.16、设集合A＝{(x，y)|y＝2x－1，x∈N*}，B＝{(x，y)|y＝ax2－ax＋a，x∈N*}，问是否存在非零整数a，使A∩B≠∅？若存在，请求出a的值；若不存在，说明理由．【答案】见解析【解析】假设A∩B≠∅，则方程组y＝2x－1y＝ax2－ax＋a有正整数解，消去y，得ax2－(a＋2)x＋a＋1＝0(*)．由Δ≥0，有(a＋2)2－4a(a＋1)≥0，解得－233≤a≤233.∵a为非零整数，∴a＝±1，当a＝－1时，代入(*)，解得x＝0或x＝－1，而x∈N*.故a≠－1.当a＝1时，代入(*)，解得x＝1或x＝2，符合题意．故存在a＝1，使得A∩B≠∅，此时A∩B＝{(1,1)，(2,3)}．17、对于函数f(x)，若f(x)＝x，则称x为f(x)的“不动点”，若f(f(x))＝x，则称x为f(x)的“稳定点”，函数f(x)的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A和B，即A＝{x|f(x)＝x}，B＝{x|f(f(x))＝x}．(1)求证：A⊆B.(2)若f(x)＝ax2－1(a∈R，x∈R)，且A＝B≠∅，求实数a的取值范围．【答案】(1)见解析(2)[－14，34]【解析】(1)证明：若A＝∅，则A⊆B显然成立；若A≠∅，设t∈A，则f(t)＝t，f(f(t))＝f(t)＝t，即t∈B，从而A⊆B.(2)A中元素是方程f(x)＝x，即ax2－1＝x的实根．由A≠∅，知a＝0或a≠0，Δ＝1＋4a≥0即a≥－14，B中元素是方程a(ax2－1)2－1＝x，即a3x4－2a2x2－x＋a－1＝0的实根，由A⊆B，知上述方程左边含有一个因式ax2－x－1，即方程可化为(ax2－x－1)(a2x2＋ax－a＋1)＝0.因此，若要A＝B，即要方程①a2x2＋ax－a＋1＝0要么没有实根，要么实根是方程②ax2－x－1＝0的根．若①没有实根，则Δ＝a2－4a2(1－a)0，由此解得a34.若①有实根且①的实根是②的实根，则由②有a2x2＝ax＋a，代入①有2ax＋1＝0.由此解得x＝－12a，再代入②得14a＋12a－1＝0，由此解得a＝34.故a的取值范围是[－14，34]．