（江苏专用）2020年高考数学一轮复习 考点02 命题及其关系、充分条件与必要条件必刷题（含解析）

考点02命题及其关系、充分条件与必要条件1、命题“若x0，则x20”的否命题是________命题(填“真”或“假”)．【答案】假【解析】命题“若x0，则x20”的否命题是“若x≤0，则x2≤0”，是假命题．也可以由逆命题为“若x20，则x0”来判断，逆命题为假命题，因此否命题是假命题．2、给出下列三个命题：①“ab”是“3a3b”的充分不必要条件；②“αβ”是“cosαcosβ”的必要不充分条件；③“a＝0”是“函数f(x)＝x3＋ax2，x∈R为奇函数”的充要条件．其中正确命题的序号为____．【答案】③【解析】①因为函数y＝3x是R上的增函数，所以“ab”是“3a3b”的充要条件，故①是假命题；②若α＝3π2，β＝π2，则αβ，但cosα＝cosβ，充分性不得证，若α＝3π2，β＝2π，cosαcosβ，但αβ，必要性不得证，所以“αβ”是“cosαcosβ”的既不充分又不必要条件，故②是假命题；③若a＝0，则f(x)＝x3，x∈R，f(－x)＝－f(x)，且定义域关于原点对称，所以函数f(x)是奇函数，若f(x)＝x3＋ax(x∈R)是奇函数，则f(－x)＝－f(x)对任意的x∈R恒成立，即(－x)3＋a(－x)2＝－(x3＋ax2)，即ax2＝－ax2，即a＝0，所以“a＝0”是“函数f(x)＝x3＋ax，x∈R为奇函数”的充要条件，故③是真命题，故填③.3、设有如下三个命题：甲：m∩l＝A，m，l⊂α，m，l⊄β；乙：直线m，l中至少有一条与平面β相交；丙：平面α与平面β相交．当甲成立时，乙是丙的________条件．【答案】充要【解析】由题意当甲成立时乙⇒丙，丙⇒乙．故当甲成立时乙是丙的充要条件．4、i、j是不共线的单位向量，若a＝5i＋3j，b＝3i－5j，则a⊥b的充要条件是________．【答案】i⊥j【解析】a⊥b⇔a·b＝0，即(5i＋3j)·(3i－5j)＝0，即15i2－16i·j－15j2＝0，∵|i|＝|j|＝1，∴16i·j＝0，即i·j＝0，∴i⊥j.5、有下列几个命题：①“若ab，则a2b2”的否命题；②“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；③“若x24，则－2x2”的逆否命题．其中真命题的序号是________．【答案】②③【解析】①原命题的否命题为“若a≤b则a2≤b2”错误．②原命题的逆命题为：“x，y互为相反数，则x＋y＝0”正确．③原命题的逆否命题为“若x≥2或x≤－2，则x2≥4”正确．6、记不等式x2＋x－60的解集为集合A，函数y＝lg(x－a)的定义域为集合B.若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，则实数a的取值范围为____．【答案】(－∞，－3]【解析】由x2＋x－60得－3x2，即A＝(－3，2)，由x－a0，得xa，即B＝(a，＋∞)．若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，则A⊆B，所以a≤－3，故实数a的取值范围为(－∞，－3]．7、给定下列四个命题：①“x＝π6”是“sinx＝12”的充分不必要条件；②若“p∨q”为真，则“p∧q”为真；③若ab，则am2bm2；④若集合A∩B＝A，则A⊆B.其中为真命题的是________．(填上所有正确命题的序号)【答案】①④【解析】①中，若x＝π6，则sinx＝12，但sinx＝12时，x＝π6＋2kπ或5π6＋2kπ(k∈Z)．故“x＝π6”是“sinx＝12”的充分不必要条件，故①为真命题；②中，令p为假命题，q为真命题，有“p∨q”为真命题，则“p∧q”为假命题，故②为假命题；③中，当m＝0时，am2＝bm2，故③为假命题；④中，由A∩B＝A可得A⊆B，故④为真命题．8、在△ABC中，“A30°”是“sinA12”的________条件．【答案】必要不充分【解析】在△ABC中，A30°⇒0sinA≤1，不能推出sinA12，而sinA12⇒30°A150°，所以在△ABC中，“A30°”是“sinA12”的必要不充分条件．9、下列命题的否命题为假命题的个数是________．①p：存在x∈R，x2＋2x＋2≤0；②p：有的三角形是正三角形；③p：所有能被3整除的整数为奇数；④p：每一个四边形的四个顶点共圆．【答案】1【解析】①p的否命题：任意x∈R，x2＋2x＋20，为真命题；②p的否命题：所有的三角形都不是正三角形，为假命题；③p的否命题：存在一个能被3整除的整数不是奇数，0是能被3整除的非奇数，该命题为真命题；④p的否命题：存在一个四边形的四个顶点不共圆，为真命题．10、已知||a＝2||b，命题p：关于x的方程x2＋||ax＋a·b＝0没有实数根．命题q：〈a，b〉∈[0，π3]，命题p是命题q的________条件．【答案】充分不必要【解析】方程x2＋||ax＋a·b＝0没有实根，∴Δ＝||a2－4a·b＝||a2－4||a||bcos〈a，b〉＝||a2－2||a2cos〈a，b〉0，∴cos〈a，b〉12，又∵0≤〈a，b〉≤π，∴0≤〈a，b〉π3，∵[0，π3)⊆[0，π3]，∴p是q的充分不必要条件．11、“函数y＝(a2＋4a－5)x2－4(a－1)x＋3的图象全在x轴的上方”，这个结论成立的充分必要条件是________．【答案】1≤a19【解析】函数的图象全在x轴上方，若f(x)是一次函数，则a2＋4a－5＝0－a－＝0⇒a＝1.若函数是二次函数，则a2＋4a－50[－a－2－a2＋4a－⇒1a19.反之若1≤a19，由以上推导，函数的图象在x轴上方．综上，充要条件是1≤a19.12、(1)是否存在实数p，使“4x＋p0”是“x2－x－20”的充分条件？如果存在，求出p的取值范围；(2)是否存在实数p，使“4x＋p0”是“x2－x－20”的必要条件？如果存在，求出p的取值范围．【答案】(1)p≥4(2)不存在实数p满足题设要求【解析】(1)当x2或x－1时，x2－x－20，由4x＋p0，得x－p4，故－p4≤－1时，“x－p4”⇒“x－1”⇒“x2－x－20”．∴p≥4时，“4x＋p0”是“x2－x－20”的充分条件．(2)不存在实数p满足题设要求．13、已知集合A＝{y|y＝x2－32x＋1，x∈[34，2]}，B＝{x|x＋m2≥1}；命题p：x∈A，命题q：x∈B，并且命题p是命题q的充分条件，求实数m的取值范围．【答案】(－∞，－34]∪[34，＋∞)【解析】化简集合A，由y＝x2－32x＋1＝(x－34)2＋716，∵x∈[34，2]，∴ymin＝716，ymax＝2.∴y∈[716，2]，∴A＝{y|716≤y≤2}．化简集合B，由x＋m2≥1，∴x≥1－m2，B＝{x|x≥1－m2}．∵命题p是命题q的充分条件，∴A⊆B.∴1－m2≤716，∴m≥34或m≤－34.∴实数m的取值范围是(－∞，－34]∪[34，＋∞)．14、在等比数列{an}中，前n项和为Sn，若Sm，Sm＋2，Sm＋1成等差数列，则am，am＋2，am＋1成等差数列．(1)写出这个命题的逆命题；(2)判断逆命题是否为真？并给出证明．【答案】(1)在等比数列{an}中，前n项和为Sn，若am，am＋2，am＋1成等差数列，则Sm，Sm＋2，Sm＋1成等差数列(2)此时逆命题为真【解析】(1)逆命题：在等比数列{an}中，前n项和为Sn，若am，am＋2，am＋1成等差数列，则Sm，Sm＋2，Sm＋1成等差数列．(2)当q＝1时，逆命题为假，当q＝－12时，逆命题为真，证明如下：数列{an}的首项为a1，公比为q.由题意知：2am＋2＝am＋am＋1，即2·a1·qm＋1＝a1·qm－1＋a1·qm.∵a1≠0，q≠0，∴2q2－q－1＝0，∴q＝1或q＝－12.当q＝1时，有Sm＝ma1，Sm＋2＝(m＋2)a1，Sm＋1＝(m＋1)a1.显然：2Sm＋2≠Sm＋Sm＋1，此时逆命题为假．当q＝－12时，有2Sm＋2＝2a1[1－－12m＋2]1＋12＝43a1[1－(－12)m＋2]，Sm＋Sm＋1＝a1[1－－12m]1＋12＋a1[1－－12m＋1]1＋12＝43a1[1－(－12)m＋2]，∴2Sm＋2＝Sm＋Sm＋1，此时逆命题为真．15、设集合A＝{x|x2＋2x－30}，集合B＝{x||x＋a|1}．(1)若a＝3，求A∪B；(2)设命题p：x∈A；命题q：x∈B，若p是q成立的必要不充分条件，求实数a的取值范围．【答案】(1)(－4，1)(2)[0，2]【解析】(1)解不等式x2＋2x－30，得－3x1，即A＝(－3，1)．当a＝3时，由|x＋3|1，解得－4x－2，即集合B＝(－4，－2)，所以A∪B＝(－4，1)．(2)因为p是q成立的必要不充分条件，所以集合B是集合A的真子集．又集合A＝(－3，1)，B＝(－a－1，－a＋1)，所以－a－1≥－3，－a＋1≤1，解得0≤a≤2，即实数a的取值范围是[0，2]．16、设函数y＝lg(－x2＋4x－3)的定义域为A，函数y＝2x＋1，x∈(0，m)的值域为B.(1)当m＝2时，求A∩B；(2)若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，求实数m的取值范围．【答案】(1)(1，2)(2)(0，1]【解析】(1)由－x2＋4x－30，解得1x3，所以A＝(1，3)．因为函数y＝2x＋1在区间(0，m)上单调递减，所以y∈2m＋1，2，即B＝2m＋1，2，所以当m＝2时，B＝23，2，所以A∩B＝(1，2)．(2)由题意得m0.因为“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，所以，即2m＋1，2，3)，所以2m＋1≥1，解得0m≤1，故实数m的取值范围为(0，1].17、已知非空集合A＝{x|x－2x－（3a＋1）0}，B＝{x|x－a2－2x－a0}．(1)当a＝12时，求∁RB∩A；(2)命题p：x∈A；命题q：x∈B.若q是p的必要条件，求实数a的取值范围．【答案】(1)x|94≤x52(2)a∈－12，3－52【解析】(1)当a＝12时，A＝x|2x52，B＝x|12x94，∁RB＝{x|x≤12或x≥94}，所以∁RB∩A＝x|94≤x52.(2)由q是p的必要条件可得A⊆B.由a2＋2a，得B＝{x|axa2＋2}．①当3a＋12，即a13时，A＝{x|2x3a＋1}，由a≤2，a2＋2≥3a＋1，解得13a≤3－52；②当3a＋1＝2，即a＝13时，A＝∅，符合题意；③当3a＋12，即a13时，A＝{x|3a＋1x2}，由a≤3a＋1，a2＋2≥2，解得－12≤a13.综上所述，a∈－12，3－52.18、已知命题“∃x∈{x|－1x1}，使等式x2－x－m＝0成立”是真命题．(1)求实数m的取值集合M；(2)设不等式(x－a)(x＋a－2)0的解集为N，若“x∈N”是“x∈M”的必要条件，求实数a的取值范围．【答案】(1)－14，2(2)(－∞，－14)∪(94，＋∞)【解析】(1)由题意知，方程x2－x－m＝0在区间(－1，1)上有解，即m的取值范围即为函数y＝x2－x在区间(－1，1)上的值域，易得－14≤m2，所以M＝－14，2.(2)因为“x∈N”是“x∈M”的必要条件，所以M⊆N.当a＝1时，集合N为空集，不满足题意；当a2－a，即a1时，此时集合N＝{x|2－axa}，则2－a－14，a≥2，解得a94；当a2－a，即a1时，此时集合N＝{x|ax2－a}，则a－14，2－a≥2，解得a－14.综上所述，实数a的取值范围为(－∞，－14)∪(94，＋∞).