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计算题押题练(二)1．如图所示，质量为m、电阻为R的单匝矩形线框置于光滑水平面上，线框边长ab＝L、ad＝2L。虚线MN过ad、bc边中点。一根能承受最大拉力F0的细线沿水平方向拴住ab边中点O。从某时刻起，在MN右侧加一方向竖直向下的匀强磁场，磁感应强度大小按B＝kt的规律均匀变化。一段时间后，细线被拉断，线框向左运动，ab边穿出磁场时的速度为v。求：(1)细线断裂前线框中的电功率P；(2)细线断裂后瞬间线框的加速度大小a及线框离开磁场的过程中安培力所做的功W；(3)线框穿出磁场过程中通过导线截面的电量q。解析：(1)根据法拉第电磁感应定律：E＝ΔΦΔt＝ΔBΔtL2＝kL2；电功率：P＝E2R＝k2L4R。(2)细线断裂瞬间安培力：FA＝F0，线框的加速度a＝FAm＝F0m线框离开磁场过程中，由动能定理：W＝12mv2。(3)设细线断裂时刻磁感应强度为B1，则有：ILB1＝F0，其中I＝ER＝kL2R，线圈穿出磁场过程：E＝ΔΦΔt＝B1L2Δt电流I＝ER通过的电量：q＝IΔt解得：q＝F0kL。答案：(1)k2L4R(2)F0m12mv2(3)F0kL2.如图所示A、B质量分别为mA＝0.5kg，mB＝1kg，A、B间用弹簧连接着，弹簧劲度系数k＝100N/m，轻绳一端系在A上，另一端跨过定滑轮，B为套在轻绳上的光滑圆环，另一圆环C固定在桌边，B被C挡住而静止在C上，若开始时作用在绳子另一端的拉力F为零，此时A处于静止且刚好不接触地面。现用恒定拉力F＝10N拉绳子，恰能使B离开C但不能继续上升，不计一切摩擦且弹簧没超过弹性限度，g取10m/s2，求：(1)B刚要离开C时A上升的高度；(2)若把拉力F改为F′＝20N，则B刚要离开C时，A的速度大小。解析：(1)当F＝0时，弹簧的伸长量：x1＝mAgk＝0.5×10100m＝0.05m当F＝10N，B恰好离开C时，A刚好上升到最高点，弹簧的压缩量：x2＝mBgk＝1×10100m＝0.1m所以A上升的高度：h＝x1＋x2＝0.05m＋0.1m＝0.15m。(2)当F＝10N时，在A上升过程中，根据功能关系：Fh＝mAgh＋ΔEp所以弹簧弹性势能增加了：ΔEp＝Fh－mAgh＝(10－5)×0.15J＝0.75J把拉力改为F′＝20N，从A上升到当B恰要离开C时的过程中，弹簧的弹性势能变化相等，根据功能关系，有：F′h＝12mAvA2＋mAgh＋ΔEp解得：vA＝6m/s。答案：(1)0.15m(2)6m/s3.如图所示，在xOy平面内，在x0范围内以x轴为电场和磁场的边界，在x0范围内以第Ⅲ象限内的直线OM为电场与磁场的边界，OM与x轴负方向成θ＝45°角，在边界的下方空间存在着垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B＝0.1T，在边界的上方有沿y轴正方向的匀强电场，场强大小为E＝32N/C；在y轴上的P点有一个不计重力的带电微粒，以初速度v0＝2×103m/s沿x轴负方向射出，已知OP＝0.8cm，微粒所带电荷量q＝－5×10－18C，质量m＝1×10－24kg，求：(1)带电微粒第一次进入电场时的位置坐标；(2)带电微粒从P点出发到第三次经过电磁场边界经历的总时间；(3)带电微粒第四次经过电磁场边界时的速度大小。解析：(1)带电微粒从P点开始在磁场中做匀速圆周运动，运动轨迹如图所示，第一次经过磁场边界上的A点，由洛伦兹力提供向心力qvB＝mv2r得r＝mvqB＝4×10－3m因为OP＝0.8cm，匀速圆周运动的圆心在OP的中点C，由几何关系可知A点位置的坐标为(－4×10－3m，－4×10－3m)。(2)带电微粒在磁场中做匀速圆周运动的周期为T＝2πrv＝2πmqB＝1.256×10－5s由图可以知道，微粒运动四分之一个圆周后竖直向上进入电场，故t1＝T4＝πm2qB＝3.14×10－6s微粒在电场中先做匀减速直线运动到速度为零，然后反向做匀加速直线运动，微粒运动的加速度为a＝qEm故在电场中运动的时间为t2＝2v0a＝2mv0qE代入数据计算得出：t2＝2.5×10－5s微粒再次进入磁场后又做四分之一圆周运动，故有：t3＝t1＝3.14×10－6s所以微粒从P点出发到第三次经过电磁场边界的时间为：t＝t1＋t2＋t3＝3.128×10－5s。(3)微粒从B点第三次经过电磁场边界水平向左进入电场后做类平抛运动，则加速度为a＝qEm第四次到达电磁场边界时有：y＝12at42x＝v0t4tan45°＝yx解得：vy＝at4＝4×103m/s。答案：(1)(－4×10－3m，－4×10－3m)(2)3.128×10－5s(3)4×103m/s