（江苏专用）2020高考数学二轮复习 综合仿真练（五） 理

综合仿真练(五)(理独)1．本题包括A、B、C三个小题，请任选二个作答A．[选修4－2：矩阵与变换](2019·南通、泰州等七市三模)已知a，b，c，d∈R，矩阵A＝a－20b的逆矩阵A－1＝1cd1.若曲线C在矩阵A对应的变换作用下得到曲线y＝2x＋1，求曲线C的方程．解：由AA－1＝1001得a－20b1cd1＝a－2dac－2bdb＝1001，所以a＝1，b＝1，c＝2，d＝0，即矩阵A＝1－201.设P(x，y)为曲线C上的任意一点，在矩阵A对应的变换作用下变为点P′(x′，y′)，则x′y′＝1－201xy，即x′＝x－2y，y′＝y.由已知条件可知，P′(x′，y′)满足y＝2x＋1，得2x－5y＋1＝0，所以曲线C的方程为2x－5y＋1＝0.B．[选修4－4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy中，已知直线x＝－32＋22n，y＝22n(n为参数)与曲线x＝18t2，y＝t(t为参数)相交于A，B两点，求线段AB的长．解：法一：将曲线x＝18t2，y＝t(t为参数)化为普通方程为y2＝8x.将直线x＝－32＋22n，y＝22n(n为参数)代入y2＝8x得，n2－82n＋24＝0，解得n1＝22，n2＝62.则|n1－n2|＝42，所以线段AB的长为42.法二：将曲线x＝18t2，y＝t(t为参数)化为普通方程为y2＝8x,将直线x＝－32＋22n，y＝22n(n为参数)化为普通方程为x－y＋32＝0，由y2＝8x，x－y＋32＝0，得x＝12，y＝2或x＝92，y＝6.所以AB的长为92－122＋－2＝42.C．[选修4－5：不等式选讲]已知函数f(x)＝3x＋6，g(x)＝14－x，若存在实数x使f(x)＋g(x)a成立，求实数a的取值范围．解：存在实数x使f(x)＋g(x)＞a成立，等价于f(x)＋g(x)的最大值大于a，因为f(x)＋g(x)＝3x＋6＋14－x＝3×x＋2＋1×14－x，由柯西不等式得，(3×x＋2＋1×14－x)2≤(3＋1)(x＋2＋14－x)＝64，所以f(x)＋g(x)＝3x＋6＋14－x≤8，当且仅当x＝10时取“＝”，故实数a的取值范围是(－∞，8)．2.如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，A1B⊥平面ABC，AB⊥AC，且AB＝AC＝A1B＝2.(1)求棱AA1与BC所成的角的大小；(2)在棱B1C1上确定一点P，使二面角P­AB­A1的平面角的余弦值为255.解：(1)以A为坐标原点，AC，AB所在直线为x轴，y轴，过A平行于A1B的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则C(2,0,0)，B(0,2,0)，A1(0,2,2)，B1(0，4,2)，AA1―→＝(0,2,2)，BC―→＝B1C1―→＝(2，－2,0)．所以cos〈AA1―→，BC―→〉＝AA1―→·BC―→|AA1―→|·|BC―→|＝－48×8＝－12，故棱AA1与BC所成的角是π3.(2)设B1P―→＝λB1C1―→＝(2λ，－2λ，0)，则P(2λ，4－2λ，2)．设平面PAB的一个法向量为n1＝(x，y，z)，又AP―→＝(2λ，4－2λ，2)，AB―→＝(0,2,0)，则n1·AP―→＝0，n1·AB―→＝0，即2λx＋－2λy＋2z＝0，2y＝0，令x＝1，得平面PAB的一个法向量n1＝(1,0，－λ)．易知平面ABA1的一个法向量是n2＝(1,0,0)，则cos〈n1，n2〉＝n1·n2|n1|·|n2|＝11＋λ2＝255，解得λ＝12，即P为棱B1C1的中点，其坐标为P(1,3,2)时，二面角P­AB­A1的平面角的余弦值为255.3．(2019·盐城三模)某种质地均匀的正四面体玩具的4个面上分别标有数字0,1,2,3，将这个玩具抛掷n次，记第n次抛掷后玩具与桌面接触的面上所标的数字为an，数列{an}的前n项和为Sn，记Sn是3的倍数的概率为P(n)．(1)求P(1)，P(2)；(2)求P(n)．解：(1)抛掷1次，出现0或3时符合要求，故P(1)＝12.抛掷2次，出现1＋2,2＋1,0＋0,3＋3,0＋3,3＋0时符合要求，共计6种情况，故P(2)＝616＝38.(2)法一：设Sn被3除余1的概率为P1(n)，Sn被3除余2的概率为P2(n)，则有P(n＋1)＝12P(n)＋14P1(n)＋14P2(n)，①P1(n＋1)＝14P(n)＋12P1(n)＋14P2(n)，②P2(n＋1)＝14P(n)＋14P1(n)＋12P2(n)，③①－(②＋③)，得P(n＋1)－[P1(n＋1)＋P2(n＋1)]＝－12[P1(n)＋P2(n)]，化简，可得4P(n＋1)＝P(n)＋1，即P(n＋1)－13＝14Pn－13，又P(1)＝12，所以可得P(n)＝13＋23·14n.法二：设Sn被3除余1的概率为P1(n)，Sn被3除余2的概率为P2(n)，则P2(n)＝1－P(n)－P1(n)，又P(n＋1)＝12P(n)＋14P1(n)＋14P2(n)，所以P(n＋1)＝12P(n)＋14P1(n)＋14[1－P(n)－P1(n)]，得4P(n＋1)＝P(n)＋1，即P(n＋1)－13＝14Pn－13，又P(1)＝12，所以可得P(n)＝13＋23·14n.