（江苏专用）2020高考数学二轮复习 综合仿真练（四） 理

综合仿真练(四)(理独)1．本题包括A、B、C三个小题，请任选二个作答A．[选修4－2：矩阵与变换]已知矩阵A＝2xy2，X＝－11，且AX＝12，其中x，y∈R.(1)求x，y的值；(2)若B＝1－102，求(AB)－1.解：(1)AX＝2xy2－11＝x－22－y.因为AX＝12，所以x－2＝1，2－y＝2，解得x＝3，y＝0.(2)由(1)知A＝2302，又B＝1－102，所以AB＝23021－102＝2404.设(AB)－1＝abcd，则2404abcd＝1001，即2a＋4c2b＋4d4c4d＝1001.所以2a＋4c＝1，4c＝0，2b＋4d＝0，4d＝1，解得a＝12，b＝－12，c＝0，d＝14，即(AB)－1＝12－12014.B．[选修4－4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为x＝1－22t，y＝2＋22t(t为参数)，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ－4cosθ＝0，已知直线l与曲线C相交于A，B两点，求线段AB的长．解：因为曲线C的极坐标方程为ρsin2θ－4cosθ＝0，所以ρ2sin2θ＝4ρcosθ，即曲线C的直角坐标方程为y2＝4x.将直线l的参数方程x＝1－22t，y＝2＋22t代入抛物线方程y2＝4x，得2＋22t2＝41－22t，即t2＋82t＝0，解得t1＝0，t2＝－82.所以AB＝|t1－t2|＝82.C．[选修4－5：不等式选讲](2019·南师附中等四校联考)(基本不等式)已知x0，求证：x3＋y2＋3≥3x＋2y.证明：因为x0，所以x3＋2＝x3＋1＋1≥33x3×1×1＝3x，当且仅当x3＝1，即x＝1时取“＝”．因为y2＋1－2y＝(y－1)2≥0，所以y2＋1≥2y，当且仅当y＝1时取“＝”．所以(x3＋2)＋(y2＋1)≥3x＋2y，即x3＋y2＋3≥3x＋2y，当且仅当x＝y＝1时取“＝”．2．(2019·南京三模)平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2＝2px(p0)及点M(2,0)，动直线l过点M交抛物线于A，B两点，当l垂直于x轴时，AB＝4.(1)求p的值；(2)如图，若l与x轴不垂直，设线段AB的中点为C，直线l1经过点C且垂直于y轴，直线l2经过点M且垂直于直线l，记l1，l2相交于点P，求证：点P在定直线上．解：(1)因为直线l过M(2,0)，且当l垂直于x轴时，AB＝4，所以抛物线经过点(2,2)，将(2,2)代入抛物线方程，得4＝2p×2，解得p＝1.(2)证明：由(1)知，抛物线的方程为y2＝2x.易知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝k(x－2)(k≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)．联立，得y2＝2x，y＝kx－，消去x，得ky2－2y－4k＝0，则Δ＝4＋16k20，y1,2＝1±1＋4k2k，所以y1＋y2＝2k，y1y2＝－4.因为C为AB的中点，所以yC＝y1＋y22＝1k，则直线l1的方程为y＝1k.因为直线l2过点M且与l垂直，则l2的方程为y＝－1k(x－2)(k≠0)，联立，得y＝1k，y＝－1kx－，解得x＝1，y＝1k，即P1，1k，所以点P在定直线x＝1上．3．已知集合X＝{1,2,3}，Yn＝{1,2,3，…，n}(n∈N*)，设Sn＝{(a，b)|a整除b或b整除a，a∈X，b∈Yn}，令f(n)表示集合Sn所含元素的个数．(1)写出f(6)的值；(2)当n≥6时，写出f(n)的表达式，并用数学归纳法证明．解：(1)Y6＝{1,2,3,4,5,6}，S6中的元素(a，b)满足：若a＝1，则b＝1,2,3,4,5,6；若a＝2，则b＝1,2,4,6；若a＝3，则b＝1,3,6.所以f(6)＝13.(2)当n≥6时，f(n)＝n＋2＋n2＋n3，n＝6t，n＋2＋n－12＋n－13，n＝6t＋1，n＋2＋n2＋n－23，n＝6t＋2，n＋2＋n－12＋n3，n＝6t＋3，n＋2＋n2＋n－13，n＝6t＋4，n＋2＋n－12＋n－23，n＝6t＋5(t∈N*)．下面用数学归纳法证明：①当n＝6时，f(6)＝6＋2＋62＋63＝13，结论成立．②假设n＝k(k≥6)时结论成立，那么n＝k＋1时，Sk＋1在Sk的基础上新增加的元素在(1，k＋1)，(2，k＋1)，(3，k＋1)中产生，分以下情形讨论：a．若k＋1＝6t，则k＝6(t－1)＋5，此时有f(k＋1)＝f(k)＋3＝k＋2＋k－12＋k－23＋3＝(k＋1)＋2＋k＋12＋k＋13，结论成立；b．若k＋1＝6t＋1，则k＝6t，此时有f(k＋1)＝f(k)＋1＝k＋2＋k2＋k3＋1＝(k＋1)＋2＋k＋－12＋k＋－13，结论成立；c．若k＋1＝6t＋2，则k＝6t＋1，此时有f(k＋1)＝f(k)＋2＝k＋2＋k－12＋k－13＋2＝(k＋1)＋2＋k＋12＋k＋－23，结论成立；d．若k＋1＝6t＋3，则k＝6t＋2，此时有f(k＋1)＝f(k)＋2＝k＋2＋k2＋k－23＋2＝(k＋1)＋2＋k＋－12＋k＋13，结论成立；e．若k＋1＝6t＋4，则k＝6t＋3，此时有f(k＋1)＝f(k)＋2＝k＋2＋k－12＋k3＋2＝(k＋1)＋2＋k＋12＋k＋－13，结论成立；f．若k＋1＝6t＋5，则k＝6t＋4，此时有f(k＋1)＝f(k)＋1＝k＋2＋k2＋k－13＋1＝(k＋1)＋2＋k＋－12＋k＋－23，结论成立．综上所述，结论对满足n≥6的自然数n均成立．