（江苏专用）2020高考数学二轮复习 综合仿真练（三）

综合仿真练(三)1．已知向量m＝(3cosx，－1)，n＝(sinx，cos2x)．(1)当x＝π3时，求m·n的值；(2)若x∈0，π4，且m·n＝33－12，求cos2x的值．解：(1)当x＝π3时，m＝32，－1，n＝32，14，所以m·n＝34－14＝12.(2)m·n＝3cosxsinx－cos2x＝32sin2x－12cos2x－12＝sin2x－π6－12，若m·n＝33－12，则sin2x－π6－12＝33－12，即sin2x－π6＝33，因为x∈0，π4，所以－π6≤2x－π6≤π3，所以cos2x－π6＝63，则cos2x＝cos2x－π6＋π6＝cos2x－π6×cosπ6－sin2x－π6sinπ6＝63×32－33×12＝32－36.2.如图，三棱柱ABC­A1B1C1中，M，N分别为AB，B1C1的中点．(1)求证：MN∥平面AA1C1C；(2)若CC1＝CB1，CA＝CB，平面CC1B1B⊥平面ABC，求证：AB⊥平面CMN.证明：(1)法一：取A1C1的中点P，连结AP，NP.因为C1N＝NB1，C1P＝PA1，所以NP∥A1B1，NP＝12A1B1.在三棱柱ABC­A1B1C1中，A1B1∥AB，A1B1＝AB.所以NP∥AB，且NP＝12AB.因为M为AB的中点，所以AM＝12AB.所以NP＝AM，且NP∥AM，所以四边形AMNP为平行四边形，所以MN∥AP.因为AP⊂平面AA1C1C，MN⊄平面AA1C1C，所以MN∥平面AA1C1C.法二：取BC的中点Q，连结NQ，MQ.由三棱柱可得，四边形BCC1B1为平行四边形．又Q，N分别为BC，B1C1的中点，所以CQ∥C1N，CQ＝C1N，所以四边形CQNC1为平行四边形．所以NQ∥CC1.因为NQ⊂平面MNQ，CC1⊄平面MNQ，所以CC1∥平面MNQ.因为AM＝MB，CQ＝QB，所以MQ∥AC.同理可得AC∥平面MNQ.因为AC⊂平面AA1C1C，CC1⊂平面AA1C1C，AC∩CC1＝C，所以平面MNQ∥平面AA1C1C.因为MN⊂平面MNQ，所以MN∥平面AA1C1C.(2)因为CA＝CB，M为AB的中点，所以CM⊥AB.因为CC1＝CB1，N为B1C1的中点，所以CN⊥B1C1.在三棱柱ABC­A1B1C1中，BC∥B1C1，所以CN⊥BC.因为平面CC1B1B⊥平面ABC，平面CC1B1B∩平面ABC＝BC，CN⊂平面CC1B1B，所以CN⊥平面ABC.因为AB⊂平面ABC，所以CN⊥AB.因为CM⊂平面CMN，CN⊂平面CMN，CM∩CN＝C，所以AB⊥平面CMN.3.(2019·海门中学模拟)某城市有一矩形街心广场ABCD，其中AB＝4百米，BC＝3百米，在其中心P处(AC中点)有一观景亭．现将挖掘一个三角形水池PMN种植荷花，其中M点在BC边上，N点在AB边上，满足∠MPN＝45°.设∠PMC＝θ.(1)将PM表示为角θ的函数，并求出cosθ的取值范围；(2)求水池△PMN面积的最小值．解：(1)∵矩形ABCD，AB＝4百米，BC＝3百米，∴AC＝5百米，∵P为AC中点，∴AP＝CP＝52百米．设∠ACB＝α，则α∈0，π2且sinα＝45，cosα＝35在△CPM中，PMsinα＝CPsinθ，即PM45＝52sinθ∴PM＝2sinθ，当点M在B处时，θ即为∠PBC＝∠PCB＝α，则cosθ＝35，当点N在B处时，θ＝∠PBC＋π4＝α＋π4，cosθ＝cosα＋π4＝35×22－45×22＝－210∴cosθ的取值范围为－210，35(0θπ).(2)在△APN中，PNsinπ2－α＝APsin3π4－θ，即PN35＝52sin3π4－θ，∴PN＝32sinθ＋π4S△PMN＝12×PM×PN×sinπ4＝24·2sinθ·32sinθ＋π4＝31＋2sin2θ－π4∴当2θ－π4＝π2，即θ＝3π8∈(0，π)时，sin2θ－π4max＝1，则(S△PMN)min＝31＋2＝3(2－1)此时cosθ＝2－2435符合条件．答：水池△PMN面积的最小值为(32－3)百米2.4.如图，在平面直角坐标系xOy中，焦点在x轴上的椭圆C：x28＋y2b2＝1经过点(b,2e)，其中e为椭圆C的离心率．过点T(1,0)作斜率为k(k＞0)的直线l交椭圆C于A，B两点(A在x轴下方)．(1)求椭圆C的标准方程；(2)过点O且平行于l的直线交椭圆C于点M，N，求AT·BTMN2的值；(3)记直线l与y轴的交点为P.若AP―→＝25TB―→，求直线l的斜率k.解：(1)因为椭圆C：x28＋y2b2＝1经过点(b,2e)，所以b28＋4e2b2＝1.因为e2＝c2a2＝c28，所以b28＋c22b2＝1，又a2＝b2＋c2，b28＋8－b22b2＝1，解得b2＝4或b2＝8(舍去)．所以椭圆C的方程为x28＋y24＝1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)．因为T(1,0)，则直线l的方程为y＝k(x－1)．联立直线l与椭圆方程y＝kx－，x28＋y24＝1，消去y，得(2k2＋1)x2－4k2x＋2k2－8＝0，所以x1＋x2＝4k22k2＋1，x1x2＝2k2－82k2＋1.因为MN∥l，所以直线MN的方程为y＝kx，联立直线MN与椭圆方程y＝kx，x28＋y24＝1，消去y得(2k2＋1)x2＝8，解得x2＝82k2＋1.因为MN∥l，所以AT·BTMN2＝－x1x2－xM－xN2，因为(1－x1)·(x2－1)＝－[x1x2－(x1＋x2)＋1]＝72k2＋1，(xM－xN)2＝4x2＝322k2＋1.所以AT·BTMN2＝72k2＋1×2k2＋132＝732.(3)在y＝k(x－1)中，令x＝0，则y＝－k，所以P(0，－k)，从而AP―→＝(－x1，－k－y1)，TB―→＝(x2－1，y2)，∵AP―→＝25TB―→，∴－x1＝25(x2－1)，即x1＋25x2＝25，①由(2)知x1＋x2＝4k22k2＋1，②联立①②得x1＝－4k2＋2k2＋，x2＝16k2－2k2＋.又x1x2＝2k2－82k2＋1，∴50k4－83k2－34＝0，解得k2＝2或k2＝－1750(舍去)．又因为k＞0，所以k＝2.5．数列{an}中，对任意给定的正整数n，存在不相等的正整数i，j(ij)，使得an＝aiaj，且i≠n，j≠n，则称数列{an}具有性质P.(1)若仅有3项的数列1，a，b具有性质P，求a＋b的值；(2)求证：数列nn＋2019具有性质P；(3)正项数列{bn}是公比不为1的等比数列．若{bn}具有性质P，则数列{bn}至少有多少项？请说明理由．解：(1)∵数列1，a，b具有性质P∴ab＝1，a＝b.∴a＝1，b＝1或a＝－1，b＝－1.∴a＋b＝2或a＋b＝－2；(2)证明：假设存在不相等的正整数i，j(ij)使得an＝aiaj，即nn＋2019＝ii＋2019·jj＋2019(*)解得：j＝i＋ni－n，取i－n＝1，则存在i＝n＋1，j＝n＋n，使得(*)成立∴数列nn＋2019具有性质P;(3)设正项等比数列{bn}的公比为q，q0且q≠1，则bn＝b1·qn－1.∵数列{bn}具有性质P∴存在不相等的正整数i，j(ij)，i≠n，j≠n，使得b1＝b1·qi－1·b1·qj－1，即b1＝1qi＋j－2，且m≥3∵ji≥1，且i，j∈N*，∴i＋j－2≥1若i＋j－2＝1，即b1＝1q，∴b2＝1，b3＝q要使b1＝1q＝bibj，则1q2必为{bn}中的项，与b1＝1q矛盾；∴i＋j－2≠1若i＋j－2＝2，即b1＝1q2，∴b2＝1q，b3＝1，b4＝q，要使b1＝1q2＝bibj，则1q3必为{bn}中的项，与b1＝1q2矛盾；∴i＋j－2≠2若i＋j－2＝3，即b1＝1q3，∴b2＝1q2，b3＝1q，b4＝1，b5＝q，b6＝q2，b7＝q3,这时对于n＝1,2，…，7，都存在bn＝bibj，其中ij，i≠n，j≠n.∴数列{bn}至少有7项．6．已知函数f(x)＝mx＋xlnx(m0)，g(x)＝lnx－2.(1)当m＝1时，求函数f(x)的单调增区间；(2)设函数h(x)＝f(x)－xg(x)－2，x0.若函数y＝h(h(x))的最小值是322，求m的值；(3)若函数f(x)，g(x)的定义域都是[1，e]，对于函数f(x)的图象上的任意一点A，在函数g(x)的图象上都存在一点B，使得OA⊥OB，其中e是自然对数的底数，O为坐标原点．求m的取值范围．解：(1)当m＝1时，f(x)＝1x＋xlnx，f′(x)＝－1x2＋lnx＋1.因为f′(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f′(1)＝0，所以当x1时，f′(x)0；当0x1时，f′(x)0.所以函数f(x)的单调增区间是(1，＋∞)．(2)h(x)＝mx＋2x－2，则h′(x)＝2－mx2＝2x2－mx2，令h′(x)＝0，得x＝m2，当0xm2时，h′(x)0，函数h(x)在0，m2上单调递减；当xm2时，h′(x)0，函数h(x)在m2，＋∞上单调递增．所以h(x)min＝hm2＝22m－2.①当2(2m－1)≥m2，即m≥49时，函数y＝h(h(x))的最小值h(22m－2)＝2mm－＋m－－1＝322，即17m－26m＋9＝0，解得m＝1或m＝917(舍去)，所以m＝1.②当02(2m－1)m2，即14m49时，函数y＝h(h(x))的最小值hm2＝2(2m－1)＝322，解得m＝54(舍去)．综上所述，m的值为1.(3)由题意知，kOA＝mx2＋lnx，kOB＝lnx－2x.考虑函数y＝lnx－2x，因为y′＝3－lnxx20在[1，e]上恒成立，所以函数y＝lnx－2x在[1，e]上单调递增，故kOB∈－2，－1e，所以kOA∈12，e，即12≤mx2＋lnx≤e在[1，e]上恒成立，即x22－x2lnx≤m≤x2(e－lnx)在[1，e]上恒成立．设p(x)＝x22－x2lnx，则p′(x)＝－2xlnx≤0在[1，e]上恒成立，所以p(x)在[1，e]上单调递减，所以m≥p(1)＝12.设q(x)＝x2(e－lnx)，则q′(x)＝x(2e－1－2lnx)≥x(2e－1－2lne)0在[1，e]上恒成立，所以q(x)在[1，e]上单调递增，所以m≤q(1)＝e.综上所述，m的取值范围为12，e.