（江苏专用）2020高考数学二轮复习 综合仿真练（三） 理

综合仿真练(三)(理独)1．本题包括A、B、C三个小题，请任选二个作答A．[选修4－2：矩阵与变换]设a，b∈R.若直线l：ax＋y－7＝0在矩阵A＝30－1b对应的变换作用下，得到的直线为l′：9x＋y－91＝0.求实数a，b的值．解：法一：在直线l：ax＋y－7＝0上取点M(0,7)，N(1，7－a)，由30－1b07＝07b，30－1b17－a＝3b－a－1，可知点M(0,7)，N(1,7－a)在矩阵A对应的变换作用下分别得到点M′(0,7b)，N′(3，b(7－a)－1)，由题意可知：M′，N′在直线9x＋y－91＝0上，∴7b－91＝0，27＋b－a－1－91＝0，解得a＝2，b＝13，∴实数a，b的值分别为2,13.法二：设直线l上任意一点P(x，y)，点P在矩阵A对应的变换作用下得到Q(x′，y′)，则30－1bxy＝x′y′，∴x′＝3x，y′＝－x＋by，由Q(x′，y′)在直线l′：9x＋y－91＝0上，∴27x＋(－x＋by)－91＝0，即26x＋by－91＝0，∵点P在ax＋y－7＝0上，∴26a＝b1＝－91－7，解得a＝2，b＝13.∴实数a，b的值分别为2,13.B．[选修4－4：坐标系与参数方程](2019·南通、泰州等七市三模)在直角坐标平面内，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点A，B的极坐标分别为4，π2，22，5π4，曲线C的方程为ρ＝r(r0)．(1)求直线AB的直角坐标方程；(2)若直线AB和曲线C有且只有一个公共点，求r的值．解：(1)分别将A4，π2，B22，5π4转化为直角坐标为A(0,4)，B(－2，－2)，所以直线AB的直角坐标方程为3x－y＋4＝0.(2)曲线C的方程为ρ＝r(r0)，其直角坐标方程为x2＋y2＝r2(r0)．因为直线AB和曲线C有且只有一个公共点，所以直线与圆相切，因为圆心到直线AB的距离为432＋－2＝2105，所以r的值为2105.C．[选修4－5：不等式选讲]已知a，b∈R，abe(其中e是自然对数的底数)，求证：baab.证明：∵ba0，ab0，∴要证baab，只要证alnbblna,只要证lnbblnaa，构造函数f(x)＝lnxx，x∈(e，＋∞)．则f′(x)＝1－lnxx2，x∈(e，＋∞)，f′(x)0在区间(e，＋∞)上恒成立，所以函数f(x)在x∈(e，＋∞)上是单调递减的，所以当abe时，有f(b)f(a)，即lnbblnaa，故baab得证．2．(2019·苏州中学期初)甲、乙两名运动员站在A，B，C三处进行定点投篮训练，每人在这三处各投篮一次，每人每次投篮是否投中均相互独立，且甲、乙两人在A，B，C三处投中的概率均分别为12，13，14.(1)设X表示甲运动员投中的个数，求随机变量X的分布列和数学期望；(2)求甲、乙两名运动员共投中的个数不少于5的概率．解：(1)根据题意可知，随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.P(X＝0)＝1－12×1－13×1－14＝14；P(X＝1)＝12×1－13×1－14＋1－12×13×1－14＋1－12×1－13×14＝1124；P(X＝2)＝12×13×1－14＋1－12×13×14＋12×1－13×14＝14；P(X＝3)＝12×13×14＝124.所以X的分布列为X0123P14112414124所以E(X)＝0×14＋1×1124＋2×14＋3×124＝1312.(2)设Y表示乙运动员投中的个数，由(1)可知，P(Y＝0)＝14，P(Y＝1)＝1124，P(Y＝2)＝14，P(Y＝3)＝124.所以P(X＝2，Y＝3)＝P(X＝3，Y＝2)＝14×124＝196，P(X＝3，Y＝3)＝124×124＝1576，所以P(X＋Y≥5)＝P(X＝2，Y＝3)＋P(X＝3，Y＝2)＋P(X＝3，Y＝3)＝13576.所以甲、乙两名运动员共投中的个数不少于5的概率为13576.3．设P(n，m)＝k＝0n(－1)kCknmm＋k，Q(n，m)＝Cnn＋m，其中m，n∈N*.(1)当m＝1时，求P(n,1)·Q(n,1)的值；(2)对∀m∈N*，证明：P(n，m)·Q(n，m)恒为定值．解：(1)当m＝1时，P(n,1)＝k＝0n(－1)kCkn11＋k＝1n＋1k＝0n(－1)kCk＋1n＋1＝1n＋1，又Q(n,1)＝C1n＋1＝n＋1，显然P(n,1)·Q(n,1)＝1.(2)证明：P(n，m)＝k＝0n(－1)kCknmm＋k＝1＋k＝1n－1(－1)k(Ckn－1＋Ck－1n－1)mm＋k＋(－1)nmm＋n＝1＋k＝1n－1－kCkn－1mm＋k＋k＝1n－kCk－1n－1mm＋k＝k＝0n－1(－1)kCkn－1mm＋k＋i＝1n(－1)kCk－1n－1mm＋k＝P(n－1，m)＋k＝1n(－1)kCk－1n－1mm＋k＝P(n－1，m)－mnk＝0n(－1)kCknmm＋k＝P(n－1，m)－mnP(n，m)即P(n，m)＝nm＋nP(n－1，m)，由累乘，易求得P(n，m)＝n！m！n＋m！P(0，m)＝1Cnn＋m，又Q(n，m)＝Cnn＋m，所以P(n，m)·Q(n，m)＝1为定值．