（江苏专用）2020高考数学二轮复习 综合仿真练（六）

综合仿真练(六)1.如图，在四棱锥E­ABCD中，平面EAB⊥平面ABCD，四边形ABCD为矩形，EA⊥EB，点M，N分别是AE，CD的中点．求证：(1)MN∥平面EBC；(2)EA⊥平面EBC.证明：(1)取BE中点F，连结CF，MF，又M是AE的中点，所以MF綊12AB.又N是矩形ABCD边CD的中点，所以NC綊12AB，所以MF綊NC，所以四边形MNCF是平行四边形，所以MN∥CF.又MN⊄平面EBC，CF⊂平面EBC，所以MN∥平面EBC.(2)在矩形ABCD中，BC⊥AB，又平面EAB⊥平面ABCD，平面ABCD∩平面EAB＝AB，BC⊂平面ABCD，所以BC⊥平面EAB.又EA⊂平面EAB，所以BC⊥EA.又EA⊥EB，BC∩EB＝B，EB⊂平面EBC，BC⊂平面EBC，所以EA⊥平面EBC.2.如图，在平面直角坐标系xOy中，锐角α，β的顶点为坐标原点O，始边为x轴的正半轴，终边与单位圆O的交点分别为P，Q.已知点P的横坐标为277，点Q的纵坐标为3314.(1)求cos2α的值；(2)求2α－β的值．解：(1)因为点P的横坐标为277，点P在单位圆上，α为锐角，所以cosα＝277，所以cos2α＝2cos2α－1＝17.(2)因为点Q的纵坐标为3314，点Q在单位圆上，所以sinβ＝3314.又β为锐角，所以cosβ＝1314.因为cosα＝277，且α为锐角，所以sinα＝217，因此sin2α＝2sinαcosα＝437，所以sin(2α－β)＝437×1314－17×3314＝32.因为α为锐角，所以02απ.又cos2α0，所以02απ2，又β为锐角，所以－π22α－βπ2，所以2α－β＝π3.3.某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路．记两条相互垂直的公路为l1，l2，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l.如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到l1，l2的距离分别为5千米和40千米，点N到l1，l2的距离分别为20千米和2.5千米．以l2，l1所在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系xOy.假设曲线C符合函数y＝ax2＋b(其中a，b为常数)模型．(1)求a，b的值．(2)设公路l与曲线C相切于P点，P的横坐标为t.①请写出公路l长度的函数解析式f(t)，并写出其定义域．②当t为何值时，公路l的长度最短？求出最短长度．解：(1)由题意知，点M，N的坐标分别为(5,40)，(20,2.5)．将其分别代入y＝ax2＋b，得a25＋b＝40，a400＋b＝2.5，解得a＝1000，b＝0.(2)①由(1)知，y＝1000x2(5≤x≤20)，则点P的坐标为t，1000t2.设在点P处的切线l交x，y轴分别于A，B两点，y′＝－2000x3，则l的方程为y－1000t2＝－2000t3(x－t)，由此得A3t2，0，B0，3000t2.故f(t)＝3t22＋3000t22＝32t2＋4×106t4，t∈[5,20]．②设g(t)＝t2＋4×106t4，则g′(t)＝2t－16×106t5.令g′(t)＝0，解得t＝102.当t∈(5,102)时，g′(t)0，g(t)是减函数；当t∈(102，20)时，g′(t)0，g(t)是增函数．从而，当t＝102时，函数g(t)有极小值，也是最小值，所以g(t)min＝300，此时f(t)min＝153.答：当t＝102时，公路l的长度最短，最短长度为153千米．4.如图，已知椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左顶点A(－2,0)，且点－1，32在椭圆上，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点．过点A作斜率为k(k0)的直线交椭圆E于另一点B，直线BF2交椭圆E于点C.(1)求椭圆E的标准方程；(2)若△CF1F2为等腰三角形，求点B的坐标；(3)若F1C⊥AB，求k的值．解：(1)由题意得a＝2，a2＝b2＋c2，14＋94b2＝1，解得a＝2，b＝3，c＝1.∴椭圆E的标准方程为x24＋y23＝1.(2)∵△CF1F2为等腰三角形，且k0，∴点C在x轴下方，若F1C＝F2C，则C(0，－3)；若F1F2＝CF2，则CF2＝2，∴C(0，－3)；若F1C＝F1F2，则CF1＝2，∴C(0，－3)，∴C(0，－3)．∴直线BC的方程y＝3(x－1)，由y＝3x－，x24＋y23＝1，得x＝0，y＝－3或x＝85，y＝335.∴B85，335.(3)设直线AB的方程为y＝k(x＋2)，由y＝kx＋，x24＋y23＝1消去y，得(3＋4k2)x2＋16k2x＋16k2－12＝0，∴xA·xB＝－2xB＝16k2－123＋4k2，∴xB＝－8k2＋63＋4k2，∴yB＝k(xB＋2)＝12k3＋4k2，∴B－8k2＋63＋4k2，12k3＋4k2.若k＝12，则B1，32，∴C1，－32，∵F1(－1,0)，∴kCF1＝－34，∴F1C与AB不垂直；∴k≠12，∵F2(1,0)，kBF2＝4k1－4k2，kCF1＝－1k，∴直线BF2的方程为y＝4k1－4k2(x－1)，直线CF1的方程为y＝－1k(x＋1)，由y＝4k1－4k2x－，y＝－1kx＋，解得x＝8k2－1，y＝－8k.∴C(8k2－1，－8k)．由点C在椭圆上，得k2－24＋－8k23＝1，即(24k2－1)(8k2＋9)＝0，即k2＝124，∵k0，∴k＝612.5．数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn＝4－an.(1)求证：数列{an}为等比数列，并求通项公式an；(2)是否存在自然数c和k，使得ak＋1Sk－c＞1成立？若存在，请求出c和k的值；若不存在，请说明理由．解：(1)当n＝1时，S1＋a1＝4，得a1＝2,由Sn＝4－an，①得Sn＋1＝4－an＋1，②②－①得，Sn＋1－Sn＝an－an＋1，即an＋1＝12an,所以an＋1an＝12，且a1＝2，所以数列{an}是首项为2，公比为12的等比数列，且an＝12n－2.(2)法一：因为an＝12n－2，所以ak＋1＝12k－1，Sk＝41－12k，要使ak＋1Sk－c＝2k－－c·2k1成立，只要使c－k＋6c－k＋40(*)成立，当c≥4时，不等式(*)不成立；(也可以根据Sk＝41－12kc，且2≤Sk＜4，所以c的可能取值为0,1,2,3)当c＝0时，12k32，不存在自然数k使(*)成立；当c＝1时，432k2，不存在自然数k使(*)成立；当c＝2时，22k3，不存在自然数k使(*)成立；当c＝3时，42k6，不存在自然数k使(*)成立．综上所述，不存在自然数c，k，使ak＋1Sk－c1成立.法二：要使ak＋1Sk－c＞1，只要Sk＋1－cSk－c2，即只要c－32Sk－2c－Sk0，因为Sk＝41－12k4，所以Sk－32Sk－2＝2－12Sk0，故只要32Sk－2＜c＜Sk.①因为Sk＋1＞Sk，所以32Sk－2≥32S1－2＝1.又Sk＜4，故要使①成立，c只能取2或3.当c＝2时，因为S1＝2，所以当k＝1时，c＜Sk不成立，从而①不成立．当k≥2时，因为32S2－2＝52c，由Sk＜Sk＋1，得32Sk－2＜32Sk＋1－2，故当k≥2时，32Sk－2＞c，从而①不成立.当c＝3时，因为S1＝2，S2＝3，所以当k＝1，k＝2时，c＜Sk不成立，从而①不成立．因为32S3－2＝134c，又32Sk－2＜32Sk＋1－2，所以当k≥3时，32Sk－2＞c，从而①不成立.综上所述，不存在自然数c，k，使ak＋1Sk－c1成立．6．(2019·南通中学模拟)已知函数f(x)＝ax＋2x＋6，其中a为实常数．(1)若f(x)3x在(1，＋∞)上恒成立，求a的取值范围；(2)已知a＝34，P1，P2是函数f(x)图象上两点，若在点P1，P2处的两条切线相互平行，求这两条切线间距离的最大值；(3)设定义在区间D上的函数y＝s(x)在点P(x0，y0)处的切线方程为l：y＝t(x)，当x≠x0时，若sx－txx－x00在D上恒成立，则称点P为函数y＝s(x)的“好点”．试问函数g(x)＝x2f(x)是否存在“好点”．若存在，请求出所有“好点”坐标，若不存在，请说明理由.解：(1)法一：f(x)3x在(1，＋∞)上恒成立，即为(a－3)x2＋6x＋20在(1，＋∞)上恒成立，①a＝3时，结论成立；②a3时，函数h(x)＝(a－3)x2＋6x＋2图象的对称轴为x＝－6a－0，所以函数h(x)＝(a－3)x2＋6x＋2在(1，＋∞)单调递增，依题意h(1)0，即a－5，所以a3；③a3不合要求，综上可得，实数a的取值范围是a≥3.法二：f(x)3x在(1，＋∞)上恒成立等价于a－2x2－6x＋3，令h(x)＝－2x2－6x＋3＝－21x＋322＋152因为x1，所以01x1，故－5h(x)3，所以a≥3.(2)f′(x)＝34－2x2，设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，过点P1，P2的两切线互相平行，则34－2x21＝34－2x22，所以x1＝x2(舍去)，或x1＝－x2，过点P1的切线l1：y－y1＝f′(x1)·(x－x1)，即f′(x1)x－y＋f(x1)－x1f′(x1)＝0，过点P2的切线l2：f′(x2)x－y＋f(x2)－x2f′(x2)＝0两平行线间的距离是d＝|fx1－fx2－x1fx1＋x2fx21＋[fx12＝234x1＋2x1－x134－2x211＋34－2x212＝8|x1|2516－3x21＋4x41＝82516x21＋4x21－3，因为2516x21＋4x21≥22516x21·4x21＝5，所以d≤85－3＝42，即两平行切线间的最大距离是42.(3)g(x)＝x2f(x)＝ax3＋6x2＋2x，设g(x)存在“好点”P(x0，y0)，由g′(x)＝3ax2＋12x＋2，得h(x)＝g′(x0)(x－x0)＋g(x0)，依题意gx－hxx－x00对任意x≠x0恒成立，因为gx－[gx0x－x0＋gx0x－x0＝[gx－gx0－gx0x－x0x－x0＝ax3＋6x2＋2x－ax30＋6x20＋2x0－ax20＋12x0＋x－x0x－x0＝[a(x2＋x0x＋x20)＋6(x＋x0)＋2]－(3ax20＋12x0＋2)＝ax2＋(ax0＋6)x－(2ax20＋6x0)，所以ax2＋(ax0＋6)x－(2ax20＋6x0)0对任意x≠x0恒成立，①若a≤0，ax2＋(ax0＋6)x－(2ax20＋6x0)0不可能对任意x≠x0恒成立，即a≤0时，不存在“好点”；②若a0，因为当x＝x0时，ax2＋(ax0＋6)x－(2ax20＋6x0)＝0，要使ax2＋(ax0＋6)x－(2ax20＋6x0)0对任意x≠x0恒成立，必须Δ＝(ax0＋6)2＋4a(2ax20＋6x0)≤0，(ax0＋2)2≤0，所以x0＝－2a，综上可得，当a≤0时，不存在“好点”；当a0时，存在惟一“好点”为－2a，16－4aa2.