（江苏专用）2020高考数学二轮复习 专项强化练（五）三角函数

专项强化练(五)三角函数A组——题型分类练题型一同角三角函数的基本关系与诱导公式1．sin240°＝________．解析：sin240°＝sin(180°＋60°)＝－sin60°＝－32.答案：－322．已知cosα＝－513，角α是第二象限角，则tan(2π－α)＝________．解析：因为cosα＝－513，角α是第二象限角，所以sinα＝1213，所以tanα＝－125，故tan(2π－α)＝－tanα＝125.答案：1253．(2019·平潮中学模拟)当α∈π2，π时，若sin(π－α)－cos(π＋α)＝23，则sinα－cosα的值为________．解析：由诱导公式得sin(π－α)－cos(π＋α)＝sinα＋cosα＝23，所以2sinαcosα＝－79，(sinα－cosα)2＝(sinα＋cosα)2－4sinαcosα＝169，又α∈π2，π，所以sinα－cosα0，所以sinα－cosα＝43.答案：43[临门一脚]1．“小于90°的角”不等同于“锐角”，“0°～90°的角”不等同于“第一象限的角”．其实锐角的集合是{α|0°α90°}，第一象限角的集合为{α|k·360°αk·360°＋90°，k∈Z}．2．记住下列公式：(1)l＝αR；(2)S＝12lR；(3)S＝12αR2.其中R是扇形的半径，l是弧长，α(0α2π)为圆心角，S是扇形面积．3．利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负号→脱周期→化锐角．特别注意函数名称和符号的确定．4．在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意限定角的范围，判断符号．5．利用sin2α＋cos2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用sinαcosα＝tanα可以实现角α的弦切互化．6．应用公式时注意方程思想的应用：对于sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα这三个式子，利用(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα，可以知一求二．题型二三角恒等变换1．若1＋cos2αsin2α＝12，则tan2α＝________．解析：因为1＋cos2αsin2α＝2cos2α2sinαcosα＝cosαsinα＝12，所以tanα＝2，所以tan2α＝2tanα1－tan2α＝41－4＝－43.答案：－432．若sinα－π6＝35，α∈0，π2，则cosα的值为________．解析：∵α∈0，π2，∴α－π6∈－π6，π3.又∵sinα－π6＝35，∴cosα－π6＝45，∴cosα＝cosα－π6＋π6＝cosα－π6cosπ6－sinα－π6sinπ6＝45×32－35×12＝43－310.答案：43－3103．(2018·南京四校联考)已知角α，β满足tanαtanβ＝13.若cos(α－β)＝45，则cos(α＋β)的值为________．解析：法一：由tanαtanβ＝13，cos(α－β)＝45得，sinαsinβcosαcosβ＝13，cosαcosβ＋sinαsinβ＝45，解得sinαsinβ＝15，cosαcosβ＝35，故cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝25.法二：设cos(α＋β)＝x，即cosαcosβ－sinαsinβ＝x，①由cos(α－β)＝45得，cosαcosβ＋sinαsinβ＝45，②由①②得cosαcosβ＝25＋x2，sinαsinβ＝25－x2，两式相除得tanαtanβ＝25－x225＋x2＝13，解得x＝25，即cos(α＋β)＝25.答案：254．(2019·高邮中学模拟)已知α∈0，π2，cos2α－cos2α＝－14，则tanα＋π6＝________．解析：因为cos2α－cos2α＝－14，所以cos2α－sin2α－cos2α＝－14，即sin2α＝14，又α∈0，π2，所以sinα0，sinα＝12，所以α＝π6，所以tanα＋π6＝tanπ3＝3.答案：35．设α∈0，π4，β∈0，π2，若sinα＋π6＝45，tanβ－π3＝13，则tan(2α＋β)的值为________．解析：因为α∈0，π4，所以α＋π6∈π6，5π12.又sinα＋π6＝45，所以cosα＋π6＝35，所以sin2α＋π3＝2sinα＋π6cosα＋π6＝2425，cos2α＋π3＝2cos2α＋π6－1＝－725，所以tan2α＋π3＝－247.又2α＋β＝2α＋π3＋β－π3，所以tan(2α＋β)＝tan2α＋π3＋β－π3＝tan2α＋π3＋tanβ－π31－tan2α＋π3·tanβ－π3＝－247＋131＋247×13＝－139.答案：－139[临门一脚]三角恒等变换中常见的两种形式：一是化简；二是求值．(1)三角函数的化简常见的方法有切化弦、利用诱导公式、同角三角函数关系式及和、差、倍角公式进行转化求解．(2)三角函数求值分为给值求值(条件求值)与给角求值，对条件求值问题要充分利用条件进行转化求解．题型三三角函数的定义域和值域1．函数y＝tan2x－π3的定义域为_____________________________________．解析：由2x－π3≠kπ＋π2(k∈Z)，得x≠kπ2＋5π12(k∈Z)，故所求定义域为xx≠kπ2＋5π12，k∈Z.答案：xx≠kπ2＋5π12，k∈Z2．函数y＝2sinπx6－π3(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为________．解析：因为0≤x≤9，所以－π3≤π6x－π3≤7π6，所以sinπ6x－π3∈－32，1.所以y∈[－3，2]，所以ymax＋ymin＝2－3.答案：2－33．函数y＝2cos2x＋5sinx－4的值域为________．解析：y＝2cos2x＋5sinx－4＝2(1－sin2x)＋5sinx－4＝－2sin2x＋5sinx－2＝－2sinx－542＋98.故当sinx＝1时，ymax＝1，当sinx＝－1时，ymin＝－9，故y＝2cos2x＋5sinx－4的值域为[－9，1]．答案：[－9，1][临门一脚]1．求三角函数定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解，不能忽视y＝tanx的定义域的限制．2．三角函数的值域有几种常见类型：一是可以化为标准型的，利用三角函数图象求解；二是可以化为二次型的，利用换元法求解，但要注意“新元”的取值范围；三是可以用导数法来解决．题型四三角函数的图象1．将函数y＝sin4x的图象向左平移π12个单位长度，得到y＝sin(4x＋φ)0φπ2的图象，则φ＝________．解析：将函数y＝sin4x的图象向左平移π12个单位长度，得到y＝sin4x＋π12＝sin4x＋π3，所以φ＝π3.答案：π32.(2019·徐州中学模拟)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω，φ为常数，且ω0，0φπ)，f(x)的部分图象如图所示，则f－25π12的值为________．解析：由函数f(x)的图象知T2＝7π12－π12＝π2，又ω0，所以2πω＝π，即ω＝2.又函数f(x)的图象经过点π12，1，所以fπ12＝sinπ6＋φ＝1，因为0φπ，所以π6π6＋φ7π6，所以π6＋φ＝π2，得φ＝π3，所以当x≥0时，f(x)＝sin2x＋π3.因为f(x)为偶函数，所以f－25π12＝f25π12＝sin25π6＋π3＝1.答案：13．在同一直角坐标系中，函数y＝sinx＋π3(x∈[0，2π])的图象和直线y＝12的交点的个数是____________．解析：由sinx＋π3＝12，解得x＋π3＝2kπ＋π6或x＋π3＝2kπ＋5π6，k∈Z，即x＝2kπ－π6或x＝2kπ＋π2，k∈Z，又因为x∈[0，2π]，所以x＝π2或11π6，所以函数y＝sinx＋π3(x∈[0，2π])的图象和直线y＝12的交点的个数是2.答案：24．(2019·南京盐城二模)若函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω0，0φπ)的图象经过点π6，2，且其相邻两条对称轴间的距离为π2，则fπ4的值为________．解析：因为函数f(x)的图象的相邻两条对称轴间的距离为π2，所以最小正周期T＝2πω＝π，得ω＝2，又函数f(x)的图象经过点π6，2，所以2sin2×π6＋φ＝2，φ＝π6＋2kπ，k∈Z，又0φπ，所以φ＝π6，所以f(x)＝2sin2x＋π6，所以fπ4＝2sin2×π4＋π6＝2cosπ6＝3.答案：3[临门一脚]1．要弄清楚是平移哪个函数的图象，得到哪个函数的图象．2．要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数．3．由y＝Asinωx的图象得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象时，需平移的单位数应为φω，而不是|φ|.4．五点法求y＝Asin(ωx＋φ)中的φ的方法：根据图象确定φ时要注意第一个平衡点和第二个平衡点的区别．题型五三角函数的性质1．(2018·镇江高三期末)函数y＝3sin2x＋π4图象的相邻两对称轴的距离为________．解析：因为函数y＝3sin2x＋π4的最小正周期T＝2π2＝π，所以该函数图象的相邻两对称轴的距离为π2.答案：π22．函数y＝2sin2x－π6与y轴最近的对称轴方程是________．解析：由2x－π6＝kπ＋π2(k∈Z)，得x＝kπ2＋π3(k∈Z)，因此，当k＝－1时，直线x＝－π6是与y轴最近的对称轴．答案：x＝－π63．若函数f(x)＝2sin(2x＋φ)0φπ2的图象过点(0，3)，则函数f(x)在[0，π]上的单调递减区间是____________．解析：由题意可得，2sin(2×0＋φ)＝3，∴sinφ＝32.又0φπ2，∴φ＝π3，∴f(x)＝2sin2x＋π3.由2kπ＋π2≤2x＋π3≤2kπ＋3π2，k∈Z，得kπ＋π12≤x≤kπ＋7π12，k∈Z.∵0≤x≤π，∴k＝0时，π12≤x≤7π12，∴函数f(x)在[0，π]上的单调递减区间是π12，7π12.答案：π12，7π124．若函数f(x)＝sinx＋φ3(φ∈[0，2π])是偶函数，则φ＝________．解析：若f(x)为偶函数，则f(0)＝±1，即sinφ3＝±1，所以φ3＝kπ＋π2(k∈Z)．所以φ＝3kπ＋3π2(k∈Z)．因为φ∈[0，2π]，所以φ＝3π2.答案：3π25．若函数f(x)＝4cosωxsinωx－π6＋1(ω0)的最小正周期是π，则函数f(x)在0，π2上的最小值是________．解析：由题意知，f(x)＝4cosωxsinωx－π6＋1＝23sinωxcosωx－2cos2ωx＋1＝3sin2ωx－cos2ωx＝2sin