（江苏专用）2020高考数学二轮复习 专项强化练（四）导数及其简单应用

专项强化练(四)导数及其简单应用A组——题型分类练题型一导数的概念与运算1．y＝lnxx的导数为________．解析：y′＝lnxx′＝（lnx）′x－x′lnxx2＝1x·x－lnxx2＝1－lnxx2.答案：1－lnxx22．已知a∈R，设函数f(x)＝ax－lnx的图象在点(1，f(1))处的切线为l，则l在y轴上的截距为________．解析：因为f′(x)＝a－1x，所以f′(1)＝a－1，又f(1)＝a，所以切线l的方程为y－a＝(a－1)(x－1)，令x＝0，得y＝1.答案：13．若曲线y＝acosx＋1在点π2，1处的切线与直线2x＋y＋3＝0垂直，则a＝________．解析：因为y＝acosx＋1的导函数为y′＝－asinx，所以曲线在点π2，1处的切线的斜率为k＝－a，由于切线与直线2x＋y＋3＝0垂直，则(－a)·(－2)＝－1，即a＝－12.答案：－124．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝3x2＋2xf′(2)，则f′(5)＝________．解析：对f(x)＝3x2＋2xf′(2)求导，得f′(x)＝6x＋2f′(2)．令x＝2，得f′(2)＝－12.再令x＝5，得f′(5)＝6×5＋2f′(2)＝6.答案：6[临门一脚]1．求导时应注意：(1)求导之前利用代数或三角恒等变换对函数进行化简可减少运算量．(2)对于商式的函数若在求导之前变形，则可以避免使用商的导数法则，减少失误．2．利用导数求切线方程时，函数在某点处的切线斜率等于在该点的导数值，求导之后要注意代入的是切点横坐标，如果没有切点坐标，一般要设出切点坐标，再利用导数的几何意义求切线方程．题型二导数与函数的单调性1．函数f(x)＝x－lnx的单调递减区间为________．解析：函数f(x)的定义域是(0，＋∞)，且f′(x)＝1－1x＝x－1x，令f′(x)0，解得0x1，所以单调递减区间是(0，1)．答案：(0，1)2．已知函数f(x)＝x3－ax2＋bx在区间(－∞，－3)和(2，＋∞)上是增函数，在(－3，2)上是减函数，则ab＝________．解析：因为f′(x)＝3x2－2ax＋b，由已知条件可得－3，2是f′(x)＝0的两根，所以a＝－32，b＝－18，从而ab＝27.答案：273．若函数f(x)＝13x3＋x2－ax＋3a在区间[1，2]上单调递增，则实数a的取值范围是________．解析：由题意得，f′(x)＝x2＋2x－a，根据题意知f′(x)≥0，即x2＋2x≥a，而x2＋2x＝(x＋1)2－1≥(1＋1)2－1＝3，所以a≤3.答案：(－∞，3]4．设函数f(x)＝12x2－9lnx在区间[a－1，a＋1]上单调递减，则实数a的取值范围是________．解析：因为f(x)＝12x2－9lnx，所以f′(x)＝x－9x(x0)，当x－9x≤0时，有0x≤3，即在(0，3]上f(x)是减函数，所以a－10且a＋1≤3，解得1a≤2.答案：(1，2][临门一脚]1．f′(x)0与f(x)为增函数的关系：f′(x)0能推出f(x)为增函数，但反之不一定．如函数f(x)＝x3在(－∞，＋∞)上单调递增，但f′(x)≥0，所以f′(x)0是f(x)为增函数的充分不必要条件．2．用导数研究含参函数单调性首先要求定义域，单调性的逆向问题应该解f′(x)≥0或f′(x)≤0的恒成立问题，要注意分类讨论和数形结合思想的运用．3．函数在给定区间上单调、不单调、存在单调区间这三类问题要区分清楚．题型三导数与函数的极值、最值1．函数y＝2x－1x2的极大值是________．解析：y′＝2＋2x3，令y′＝0，得x＝－1.当x－1时，y′0；当－1x0时，y′0.所以当x＝－1时，y取得极大值－3.答案：－32．已知函数f(x)＝13x3＋x2－2ax＋1，若函数f(x)在(1，2)上有极值，则实数a的取值范围为________．解析：因为函数f(x)在(1，2)上有极值，则需函数f(x)在(1，2)上有极值点．法一：令f′(x)＝x2＋2x－2a＝0，得x1＝－1－1＋2a，x2＝－1＋1＋2a，因为x1∉(1，2)，因此则需1x22，即1－1＋1＋2a2，即41＋2a9，所以32a4，故实数a的取值范围为32，4.法二：f′(x)＝x2＋2x－2a的图象是开口向上的抛物线，且对称轴为x＝－1，则f′(x)在(1，2)上是单调递增函数，因此f′（1）＝3－2a0，f′（2）＝8－2a0，解得32a4，故实数a的取值范围为32，4.答案：32，43．(2018·镇江高三期末)函数y＝cosx－xtanx的定义域为－π4，π4，则其值域为________．解析：易知函数y＝cosx－xtanx为偶函数，所以只需研究函数在0，π4内的值域．由y＝cosx－xsinxcosx，得y′＝－sinx－sinxcosx＋xcos2x≤0，对x∈0，π4恒成立，所以y＝cosx－xsinxcosx在0，π4上单调递减，故函数的值域为22－π4，1.答案：22－π4，14．已知函数f(x)＝alnx－bx2的图象在x＝1处与直线y＝－12相切，则函数f(x)在[1，e]上的最大值为________．解析：由题意知，f′(x)＝ax－2bx，因为函数f(x)＝alnx－bx2的图象在x＝1处与直线y＝－12相切，所以f′（1）＝a－2b＝0，f（1）＝－b＝－12，解得a＝1，b＝12，即函数f(x)＝lnx－x22.又当x∈[1，e]时，f′(x)＝1x－x≤0，所以函数f(x)在[1，e]上单调递减，其最大值为f(1)＝－12.答案：－12[临门一脚]1．导数法是求函数值域的重要方法，对于比较复杂的函数值域，一般应用导数研究函数的单调性、极值情况，同时要注意函数的定义域、零点情况．2．可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，即f′(x0)＝0是可导函数f(x)在x＝x0处取得极值的必要不充分条件．例如函数y＝x3在x＝0处有y′|x＝0＝0，但x＝0不是极值点．此外，函数不可导的点也可能是函数的极值点．3．函数在闭区间上的极值不一定是最值，需要和端点的函数值比较大小才能确定．4．含有参数的恒成立问题优先考虑分参转化为不含参数的函数的最值问题，如果不能分参，再分类讨论处理．B组——高考提速练1．(2019·盐城中学模拟)等比数列{an}中，a1＝2，a8＝4，函数f(x)＝x(x－a1)·(x－a2)·…·(x－a8)，则f′(0)＝________．解析：因为f′(x)＝x′·[(x－a1)(x－a2)·…·(x－a8)]＋[(x－a1)(x－a2)·…·(x－a8)]′·x＝(x－a1)·(x－a2)·…·(x－a8)＋[(x－a1)(x－a2)·…·(x－a8)]′·x，所以f′(0)＝(0－a1)(0－a2)·…·(0－a8)＋0＝a1a2·…·a8.因为数列{an}为等比数列，所以a2a7＝a3a6＝a4a5＝a1a8＝8，所以f′(0)＝84＝212.答案：2122．已知函数f(x)＝4lnx＋ax2－6x＋b(a，b为常数)，且x＝2为f(x)的一个极值点，则a的值为________．解析：由题意知，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，∵f′(x)＝4x＋2ax－6，∴f′(2)＝2＋4a－6＝0，即a＝1.答案：13．(2019·姜堰中学模拟)已知f(x)是定义在R上的函数，f′(x)为其导函数，f(x)＋f(x＋2)＝4，当x∈[0，2]时，f(x)＝x2，则f′(2019)＝________．解析：因为f(x)＋f(x＋2)＝4，所以f(x＋2)＋f(x＋4)＝4，所以f(x＋4)＝f(x)，所以f(x)的周期为4.当x∈[2，4]时，x－2∈[0，2]，f(x－2)＝(x－2)2，因为f(x)＋f(x＋2)＝4，所以f(x－2)＋f(x)＝4，所以f(x)＝4－f(x－2)＝4－(x－2)2＝4x－x2，所以f′(x)＝－2x＋4，根据周期性知，f′(2019)＝f′(3)＝－2.答案：－24．已知y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＝x－1，且f′(x)＝lnx＋1，则函数f(x)的最小值为________．解析：因为f′(x)＝lnx＋1，设f(x)＝xlnx＋C，又因为f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＝x－1，故切点为(1，0)，切点在曲线f(x)＝xlnx＋C上，故C＝0，故f(x)＝xlnx．令f′(x)＝lnx＋10，解得x1e；令f′(x)0，解得0x1e.故f(x)在区间0，1e上单调递减，在1e，＋∞上单调递增，故当x＝1e时，函数f(x)取得最小值，所以f(x)min＝f1e＝－1e.答案：－1e5．(2019·锡山中学模拟)若函数h(x)＝lnx－12ax2－2x(a≠0)在[1，4]上单调递减，则a的取值范围为________．解析：因为h(x)在[1，4]上单调递减，所以当x∈[1，4]时，h′(x)＝1x－ax－2≤0恒成立，即a≥1x2－2x恒成立．设G(x)＝1x2－2x，所以a≥G(x)max，而G(x)＝1x－12－1，因为x∈[1，4]，所以1x∈14，1，所以G(x)max＝－716(此时x＝4)，所以a≥－716，又因为a≠0，所以a的取值范围是－716，0∪(0，＋∞)．答案：－716，0∪(0，＋∞)6．已知函数f(x)＝－x3＋ax2－4在x＝2处取得极值，若m∈[－1，1]，则f(m)的最小值为________．解析：求导得f′(x)＝－3x2＋2ax，由f(x)在x＝2处取得极值知f′(2)＝0，即－3×4＋2a×2＝0，故a＝3.则f(x)＝－x3＋3x2－4，f′(x)＝－3x2＋6x.由此可得f(x)在(－1，0)上单调递减，在(0，1)上单调递增，所以对m∈[－1，1]时，f(m)min＝f(0)＝－4.答案：－47．已知函数f(x)＝sinx－alnx在0，π4上单调递增，则实数a的取值范围是________．解析：函数f(x)＝sinx－alnx在0，π4上单调递增，即f′(x)＝cosx－ax≥0在0，π4上恒成立，分离变量得a≤xcosx．令g(x)＝xcosx，则g′(x)＝cosx－xsinx，设h(x)＝cosx－xsinx，则h′(x)＝－2sinx－xcosx＜0，所以h(x)在0，π4上单调递减，且hπ4＞0即g′(x)＞0，所以函数g(x)在0，π4上单调递增，可得g(x)＞g(0)＝0，即a≤0.答案：(－∞，0]8．(2019·苏州中学模拟)已知a0且a≠1，函数f(x)＝ax＋x2－xlna＋a－3，记函数f(x)的值域为M，函数f(f(x))的值域为N，若M⊆N，则实数a的最大值是________．解析：由题意得，f′(x)＝axlna＋2x－lna，令g(x)＝f′(x)＝axlna＋2x－lna(a0且a≠1)，则g′(x)＝ax(lna)2＋20在R上恒成立，所以函数f′(x)在R上单调递增．又f′(0)＝0，所以当x0时，f′(x)0，当x0时，f′(x)0，所以f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)的最小值为f(0)＝a－2，所以f(x)的值域为[a－2，＋∞)，即M＝[a－2，＋∞)．若a－2≤0，则f(f(x))的值域N＝[f(0)，＋∞)＝[a－2，＋∞)，此时M⊆N成立；若a－20，则f(f(x))的