（江苏专用）2020高考数学二轮复习 专项强化练（十）空间几何体

专项强化练(十)空间几何体A组——题型分类练题型一平面及其基本性质1．若空间中有两条直线，则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的________条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)．解析：若两直线为异面直线，则两直线无公共点，反之不一定成立．答案：充分不必要2．设a，b，c是空间中的三条直线，下面给出四个命题：①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若a⊥b，b⊥c，则a∥c；③若a与b相交，b与c相交，则a与c相交；④若a⊂平面α，b⊂平面β，则a，b一定是异面直线．上述命题中正确的命题是________(写出所有正确命题的序号)．解析：由公理4知①正确；当a⊥b，b⊥c时，a与c可以相交、平行或异面，故②错；当a与b相交，b与c相交时，a与c可以相交、平行，也可以异面，故③错；a⊂α，b⊂β，并不能说明a与b“不同在任何一个平面内”，故④错．答案：①[临门一脚]1．四个公理，三个推论要记清楚；公理3以及三个推论都是用来判定是否共面的依据．2．因为两直线没有公共点包含两种情况：平行和异面.所以不能把异面直线误解为：分别在不同平面内的两条直线为异面直线．题型二空间中的平行与垂直1．给出下列条件：①l∥α；②l与α至少有一个公共点；③l与α至多有一个公共点．能确定直线l在平面α外的条件的序号为________．解析：直线l在平面α外指：l∥α或直线l与平面α仅有一个交点．答案：①③2.如图，在空间四边形ABCD中，M∈AB，N∈AD，若AMMB＝ANND，则直线MN与平面BDC的位置关系是________．解析：因为AMMB＝ANND，所以MN∥BD，又MN⊄平面BCD，BD⊂平面BCD，所以MN∥平面BDC.答案：平行3．已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中正确的序号是________．①若α⊥γ，α⊥β，则γ∥β；②若m∥n，m⊂α，n⊂β，则α∥β；③若m∥n，m⊥α，n⊥β，则α∥β；④若m∥n，m∥α，则n∥α.解析：垂直于同一个平面的两个平面平行或相交，所以①错误；两个平面内的两条直线平行，这两个平面不一定平行，所以②错误；两个平面同时垂直于两条平行直线，这两个平面平行，所以③正确；两条平行直线中的一条平行于一个平面，另一条不一定平行于该平面，所以④错误．答案：③4．(2018·南京高三模拟)已知α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，有如下四个命题：①若l⊥α，l⊥β，则α∥β；②若l⊥α，α⊥β，则l∥β；③若l∥α，l⊥β，则α⊥β；④若l∥α，α⊥β，则l⊥β.其中的真命题为________(填所有真命题的序号)．解析：若l⊥α，l⊥β，则α∥β，①正确；若l⊥α，α⊥β，则l∥β或l⊂β，②错误；若l∥α，l⊥β，则α⊥β，③正确；若l∥α，α⊥β，则l与β的位置关系不确定，可能平行、相交或l⊂β，④错误．故真命题为①③.答案：①③5.如图，PA⊥⊙O所在平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，AE⊥PC，AF⊥PB，给出下列结论：①AE⊥BC；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC.其中正确结论的序号是________．解析：①AE⊂平面PAC，BC⊥AC，BC⊥PA，AC∩PA＝A，AC⊂平面PAC，PA⊂平面PAC⇒BC⊥平面PAC⇒AE⊥BC，故①正确；②AE⊥PB，AF⊥PB，AE∩AF＝A，AE⊂平面AEF，AF⊂平面AEF⇒PB⊥平面AEF⇒EF⊥PB，故②正确；③若AF⊥BC⇒AF⊥平面PBC，则AF∥AE与已知矛盾，故③错误，由①可知④正确．答案：①②④[临门一脚]1．线线、线面、面面的平行与垂直的关系可以通过下列形式转化：2．与平行、垂直有关的命题真假判定要注意所给命题与定理之间的关系，经常会出现条件缺失，这类题其实质为多项选择，主要考查空间中线面之间的位置关系，要求熟悉有关公理、定理及推论，并具备较好的空间想象能力，做到不漏选、多选、错选．如线面平行中“线在平面外”不能遗漏，线面垂直中两条直线必须相交不能遗忘．题型三空间几何体的表面积和体积1．正六棱柱的高为6，底面边长为4，则它的表面积为________．解析：S底＝6×34×42＝243，S侧＝6×4×6＝144，所以S表＝S侧＋2S底＝144＋483＝48(3＋3)．答案：48(3＋3)2．已知正四棱锥的底面边长是2，侧棱长是3，则该正四棱锥的体积为________．解析：如图，在正四棱锥P­ABCD中，AB＝2，PA＝3，设正四棱锥的高为PO，连结AO，则AO＝12AC＝2.在直角三角形POA中，PO＝PA2－AO2＝1.所以VP­ABCD＝13·S四边形ABCD·PO＝13×4×1＝43.答案：433．(2018·盐城高三模拟)若一圆锥的底面半径为1，其侧面积是底面积的3倍，则该圆锥的体积为________．解析：设圆锥的母线长为l，高为h，则π×1×l＝3π×12，l＝3，则h＝32－12＝22，故该圆锥的体积V＝13π×12×22＝22π3.答案：22π34．(2018·南京四校联考)已知在三棱锥SABC中，△SAB，△SBC，△SAC都是以S为直角顶点的等腰三角形，且AB＝BC＝CA＝2，则三棱锥SABC的内切球的半径为________．解析：由题意知，SA＝SB＝SC.设SA＝SB＝SC＝a，则2a＝2，a＝1.设三棱锥SABC的内切球的半径为r，则由等体积法可得，VSABC＝13×12×1×1×r×3＋12×62×2×r＝VASBC＝13×12×1×1×1，解得r＝3－36，即三棱锥SABC的内切球的半径为3－36.答案：3－365.如图，已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，点P在线段BD1上，当∠APC最大时，三棱锥P­ABC的体积为________．解析：连结BD交AC于点O，连结PO，则∠APC＝2∠APO，∵tan∠APO＝AOPO，∴当PO最小时，∠APO最大，即PO⊥BD1时，∠APO最大．如图，作PE⊥BD于点E，此时PB＝13BD1，∴三棱锥P­ABC的高为点P到平面ABCD的距离PE＝13，∴三棱锥P­ABC的体积V＝13S△ABC·PE＝13×12×13＝118.答案：118[临门一脚]1．涉及柱、锥、台、球及其简单组合体的侧面积和体积的计算问题，要在正确理解概念的基础上，画出符合题意的图形或辅助线(面)，分析几何体的结构特征，选择合适的公式，进行计算．2．另外要重视空间问题平面化的思想和割补法、等积转换法的运用．3．图形的展开、折叠、切割在考查空间想象能力方面有着不可比拟的优势，解决此类问题的关键是弄清图形变化前后的点、线、面的对应关系，并分析清楚变化前后点、线、面的位置变化．4．锥体和柱体公式要记清楚，不能混淆．B组——高考提速练1．(2019·泰兴中学模拟)用半径为3cm，圆心角为2π3的扇形纸片卷成一个圆锥筒，则这个圆锥筒的体积为________cm3.解析：设圆锥筒的底面半径为rcm，母线长为lcm，则l＝3，2π3×3＝2πr，所以r＝1，所以这个圆锥筒的高h＝l2－r2＝32－12＝22(cm)，所以这个圆锥筒的体积为13πr2h＝13×π×12×22＝223π(cm3)．答案：22π32．设b，c表示两条直线，α，β表示两个平面，现给出下列命题：①若b⊂α，c∥α，则b∥c；②若b⊂α，b∥c，则c∥α；③若c∥α，α⊥β，则c⊥β；④若c∥α，c⊥β，则α⊥β.其中正确的命题是________．(写出所有正确命题的序号)解析：①b和c可能平行或异面，故①错；②可能平行或c⊂α，故②错；③可能c⊥β，c∥β，c⊂β，故③错；④根据面面垂直判定α⊥β，故④正确．答案：④3．已知高与底面半径相等的圆锥的体积为8π3，其侧面积与高为22的圆柱OO1的侧面积相等，则圆柱OO1的体积为________．解析：设圆锥的底面半径为r，圆柱OO1的底面半径为R，因为高与底面半径相等的圆锥的体积为8π3，所以13πr2·r＝8π3，所以r＝2.又圆锥的侧面积与高为22的圆柱OO1的侧面积相等，所以π·r·2r＝2πR·22，所以R＝1，所以圆柱OO1的体积为πR2·22＝22π.答案：22π4．已知正三棱柱的各条棱长均为a，圆柱的底面直径和高均为b.若它们的体积相等，则a3∶b3的值为________．解析：由题意可得12·a2·32·a＝πb22·b，即34a3＝14πb3，则a3b3＝π3＝3π3.答案：3π35．已知α，β，γ是三个不同的平面，命题“α∥β，且α⊥γ⇒β⊥γ”是真命题，如果把α，β，γ中的任意两个换成直线，另一个保持不变，在所得的所有新命题中，真命题有______个．解析：若α，β换为直线a，b，则命题化为“a∥b，且a⊥γ⇒b⊥γ”，此命题为真命题；若α，γ换为直线a，b，则命题化为“a∥β，且a⊥b⇒b⊥β”，此命题为假命题；若β，γ换为直线a，b，则命题化为“a∥α，且b⊥α⇒a⊥b”，此命题为真命题．答案：26.如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上，若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于________．解析：因为EF∥平面AB1C，EF⊂平面ACD，平面ACD∩平面AB1C＝AC，所以EF∥AC，又E为AD的中点，AB＝2，所以EF＝12AC＝12×22＋22＝2.答案：27.如图，在圆锥V­O中，O为底面圆心，半径OA⊥OB，且OA＝VO＝1，则O到平面VAB的距离为________．解析：设O到平面VAB的距离为h，由圆锥的几何性质可得VO⊥平面OAB，VO⊥OA，VO⊥OB.在Rt△VOA中，VA＝VO2＋AO2＝2，在Rt△VOB中，VB＝VO2＋BO2＝2，在Rt△OAB中，AB＝OA2＋OB2＝2，在△VAB中，S△VAB＝12×2×62＝32.因为VV­AOB＝13S△AOB×VO＝16，VV­AOB＝13S△VAB×h＝16，所以h＝33.答案：338．设A，B是球O的球面上两点，∠AOB＝π3，C是球面上的动点，若四面体OABC的体积V的最大值为934，则此时球的表面积为________．解析：在四面体OABC中，显然△OAB的面积一定，设球O的半径为R，则S△OAB＝12×R×32R＝34R2，要使四面体的体积最大，则只需球上的点到平面OAB的距离最大，显然，到平面OAB距离的最大值为球的半径，所以(VC­OAB)max＝13×34R2×R＝312R3＝934，解得R＝3，由球的表面积公式得S球＝4πR2＝36π.答案：36π9．已知α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，l⊥α，m⊂β.给出下列命题：①α∥β⇒l⊥m；②α⊥β⇒l∥m；③m∥α⇒l⊥β；④l⊥β⇒m∥α.其中正确的命题是________(填写所有正确命题的序号)．解析：①由l⊥α，α∥β，得l⊥β.又因为m⊂β，所以l⊥m，①正确；②由l⊥α，α⊥β，得l∥β或l⊂β，又因为m⊂β，所以l与m或异面或平行或相交，②错误；③由l⊥α，m∥α，得l⊥m.因为l只垂直于β内的一条直线m，所以不能确定l是否垂直于β，③错误；④由l⊥α，l⊥β，得α∥β.因为m⊂β，所以m∥α，④正确．答案：①④10．已知PD垂直于正方形ABCD所在的平面，连结PB，PC，PA，AC，BD，则一定互相垂直的平面有________对．解析：如图，由于PD⊥平面ABCD.故平面PAD⊥平面ABCD，平面PDB⊥平面ABCD，平面PDC⊥平面ABCD，平面PDA⊥平面PDC，平面PAC⊥平面PDB，平面PAB⊥平面PAD，平面PBC⊥平面PDC，共7对．答案：711．以一个圆柱的下底面为底面，并以圆柱的上底面圆心为顶点作圆锥，若所得的圆锥底面半径等于圆锥的高，则圆锥的侧面积与圆柱的侧面积之比为________．解析：设圆锥的底面半径为r，由题意圆锥底面半径等于圆锥的高，可知圆锥的侧面积为：πr·2r＝2πr2.圆柱