（江苏专用）2020高考数学二轮复习 专项强化练（三）基本初等函数、函数与方程

专项强化练(三)基本初等函数、函数与方程A组——题型分类练题型一指数式与对数式1．(0.0001)－14＋2723－4964－12＝________．解析：原式＝(0.14)－14＋(33)23－782－12＝0.1－1＋32－78－1＝10＋9－87＝1257.答案：12572．设函数f(x)＝1＋log2（2－x），x1，2x－1，x≥1，则f(－2)＋f(log212)＝________．解析：因为f(－2)＝1＋log24＝3，f(log212)＝2log212－1＝6，所以f(－2)＋f(log212)＝9.答案：9[临门一脚]1．分数指数幂与根式可以相互转化，通常利用分数指数幂的意义把根式的运算转化为幂的运算，从而简化计算过程．2．在运用性质logaMn＝nlogaM时，要特别注意条件，在无M0的条件下应为logaMn＝nloga|M|(n∈N*，且n为偶数)．3．对数值取正、负值的规律：当a1且b1，或0a1且0b1时，logab0；当a1且0b1，或0a1且b1时，logab0.题型二指数、对数函数的图象与性质1．(2018·苏北四市质检)函数y＝log12x的定义域为________．解析：由题意知log12x≥0，得0x≤1，故函数的定义域是(0，1]．答案：(0，1]2．函数f(x)＝ax－1＋3(a0且a≠1)的图象所经过的定点为________．解析：当x＝1时，f(1)＝a1－1＋3＝a0＋3＝4，所以函数f(x)＝ax－1＋3的图象一定经过的定点为(1，4)．答案：(1，4)3．若函数f(x)＝a|2x－4|(a0，a≠1)且f(1)＝9，则f(x)的单调递减区间是________．解析：由f(1)＝9得a2＝9，所以a＝3.因此f(x)＝3|2x－4|，又因为g(x)＝|2x－4|的递减区间为(－∞，2]，所以f(x)的单调递减区间是(－∞，2]．答案：(－∞，2]4．设函数f(x)＝log12x，x0，log2（－x），x0，若f(m)f(－m)，则实数m的取值范围是________．解析：因为f(x)为奇函数，图象如图所示，所以f(m)f(－m)⇔f(m)－f(m)⇔f(m)0.所以m的取值范围是(－1，0)∪(1，＋∞)．答案：(－1，0)∪(1，＋∞)5．若函数f(x)＝log12|x－1|，则f－12，f(0)，f(3)的大小关系为____________________．解析：因为f－12＝log1232，f(0)＝log121，f(3)＝log122，且y＝log12x是定义域内的减函数，所以f(3)f－12f(0)．答案：f(3)f－12f(0)[临门一脚]1．指数、对数函数的单调性是由底数a的大小决定的，因此解题时通常对底数a按0a1和a1进行分类讨论．2．在对数式中，真数必须大于0，所以对数函数y＝logax的定义域应为{x|x0}．3．指数和对数函数的研究要注意复合函数的研究，其中对数复合函数的性质在转化时不能遗忘真数大于零这个条件．4．对于含ax、a2x的表达式，通常可以令t＝ax进行换元，但换元过程中一定要注意“新元”的范围，换元后转化为我们熟悉的一元二次关系式．题型三函数与方程1．已知函数f(x)＝2x－1，x≤1，1＋log2x，x1，则函数f(x)的零点为________．解析：当x≤1时，由f(x)＝2x－1＝0，解得x＝0；当x1时，由f(x)＝1＋log2x＝0，解得x＝12，又因为x1，所以此时方程无解．综上，函数f(x)的零点为0.答案：02．(2019·盐城中学模拟)已知函数f(x)＝2－|x|，x≤2，（x－2）2，x＞2，函数g(x)＝3－f(2－x)，则函数y＝f(x)－g(x)的零点个数为________．解析：由已知条件可得g(x)＝3－f(2－x)＝|x－2|＋1，x≥0，3－x2，x＜0.函数y＝f(x)－g(x)的零点个数即为函数y＝f(x)与y＝g(x)图象的交点个数，在平面直角坐标系内作出函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象如图所示．由图可知函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象有2个交点，所以函数y＝f(x)－g(x)的零点个数为2.答案：23．已知函数f(x)＝|x2－1|x－1－kx无零点，则实数k的取值范围是____________．解析：函数f(x)＝|x2－1|x－1－kx无零点，也就是|x2－1|x－1＝kx没有实数解，在平面直角坐标系中画出y＝x＋1，x1或x－1，－x－1，－1≤x1，与y＝kx的图象，如图．由图象可知k∈[－2，0)．答案：[－2，0)4．已知函数f(x)＝kx＋k，x≤0，lnx，x0(其中k≥0)，若函数y＝f[f(x)]＋1有4个零点，则实数k的取值范围是________．解析：令f(x)＝u，结合图象，当k＝0时，不合题意；当k0时，f(u)＝－1有两个零点u1，u2，u1－1，u2＝1e，则f(x)＝u1有两个零点x1，x2，依题意f(x)＝u2应有两个不同于x1，x2的零点，则k≥1e.答案：1e，＋∞[临门一脚]1．函数的零点不是点：函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，也就是函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标，所以函数的零点是一个数，而不是一个点．在写函数零点时，所写的一定是一个数字，而不是一个坐标．2．对函数零点存在的判断中，必须强调：(1)f(x)在[a，b]上连续；(2)f(a)·f(b)0；(3)在(a，b)内存在零点．这是零点存在的一个充分条件，但不是必要条件．3．对于定义域内连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．4．已知函数有零点(方程有根)求参数取值常用的方法(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．B组——高考提速练1．已知幂函数f(x)＝xα的图象经过点(9，3)，则α的值为________．解析：代入点(9，3)，得3＝9α，所以α＝12.答案：122．已知函数f(x)＝3x，x≤0，log2x，x0，那么ff18的值为________．解析：f18＝log218＝－3，ff18＝f(－3)＝3－3＝127.答案：1273．(2019·如东中学模拟)设f(x)＝ex,0＜a＜b，若p＝f(ab)，q＝fa＋b2，r＝f（a）f（b），则p，q，r的大小关系是________.解析：∵0＜a＜b，∴a＋b2＞ab，又f(x)＝ex在(0，＋∞)上为增函数，∴fa＋b2＞f(ab)，即q＞p.又r＝f（a）f（b）＝eaeb＝ea＋b2＝q，故q＝r＞p.答案：q＝r＞p4．函数f(x)＝log2(－x2＋22)的值域为________．解析：由题意得－x2＋220，即－x2＋22∈(0，22]，所以f(x)≤log222＝32，故所求函数的值域为－∞，32.答案：－∞，325．若函数y＝(a2－1)x在(－∞，＋∞)上为减函数，则实数a的取值范围是______________．解析：由y＝(a2－1)x在(－∞，＋∞)上为减函数，得0a2－11，所以1a22，即1a2或－2a－1.答案：(－2，－1)∪(1，2)6．对任意的非零实数a，b，若a⊗b＝b－1a，ab，a＋1b，a≥b，则lg10000⊗12－2＝________．解析：因为lg10000＝lg104＝4，12－2＝4，所以lg10000⊗12－2＝4＋14＝54.答案：547．(2019·东台中学模拟)设函数f(x)＝0，x≤0，2x－2－x，x＞0，则满足f(x2－2)＞f(x)的x的取值范围是________．解析：由题意x＞0时，f(x)单调递增，故f(x)＞f(0)＝0，而x≤0时，x＝0，故若f(x2－2)＞f(x)，则x2－2＞x，且x2－2＞0，解得x＞2或x＜－2.答案：(－∞，－2)∪(2，＋∞)8．已知a0，且a≠1，若函数f(x)＝2ax－4在区间[－1，2]上的最大值为10，则a＝________．解析：若a1，则函数f(x)在区间[－1，2]上是增函数，当x＝2时，f(x)取得最大值f(2)＝2a2－4＝10，即a2＝7，又a1，所以a＝7.若0a1，则函数f(x)在区间[－1，2]上是减函数，当x＝－1时，f(x)取得最大值f(－1)＝2a－1－4＝10，所以a＝17.综上所述，a的值为7或17.答案：7或179．(2019·如皋中学模拟)定义：如果在函数y＝f(x)定义域内的给定区间[a，b]上存在x0(a＜x0＜b)，满足f(x0)＝f（b）－f（a）b－a，则称函数y＝f(x)是[a，b]上的“平均值函数”，x0是它的一个均值点，如y＝x4是[－1，1]上的平均值函数，0就是它的均值点．现有函数f(x)＝－x2＋mx＋1是[－1，1]上的平均值函数，则实数m的取值范围是________．解析：因为函数f(x)＝－x2＋mx＋1是[－1，1]上的平均值函数，设x0为均值点，所以f（1）－f（－1）1－（－1）＝m＝f(x0)，即关于x0的方程－x20＋mx0＋1＝m在(－1，1)内有实数根，解方程得x0＝1或x0＝m－1.所以必有－1＜m－1＜1，即0＜m＜2，所以实数m的取值范围是(0，2)．答案：(0，2)10．已知函数f(x)＝x－2，x0，－x2＋bx＋c，x≤0满足f(0)＝1，且f(0)＋2f(－1)＝0，那么函数g(x)＝f(x)＋x的零点个数为________．解析：因为f(0)＝1，所以c＝1.又因为f(0)＋2f(－1)＝0，所以f(－1)＝－1－b＋1＝－12，得b＝12.所以当x0时，g(x)＝2x－2＝0有唯一解x＝1；当x≤0时，g(x)＝－x2＋32x＋1，令g(x)＝0，得x＝2(舍去)或x＝－12，即g(x)＝0有唯一解．综上可知，g(x)＝f(x)＋x有2个零点．答案：211．若函数f(x)＝ax2－2x＋1，x≥1，（a2－1）ex－1，x1在(－∞，＋∞)上单调，则实数a的取值范围是________．解析：当a＝0时，显然满足题意．当a0时，由题意得1a≤1，a2－10，a－2＋1≥a2－1，所以a≥1或a0，a1或a－1，0≤a≤1，无解．当a0时，由题意得1a≤1，a2－10，a－2＋1≤a2－1，所以a≥1或a0，－1a1，a≤0或a≥1，所以－1a0.综上，实数a的取值范围为(－1，0]．答案：(－1，0]12．已知函数f(x)＝log3x＋1x－1，平行四边形ABCD四个顶点都在函数f(x)的图象上，且A(2，1)，B54，2，则平行四边形ABCD的面积为__________．解析：奇函数f(x)＝log3x＋1x－1的对称中心为O(0，0)，也为平行四边形ABCD对角线的交点，所以平行四边形ABCD的面积为三角形OAB的面积的四倍，由cos∠AOB＝OA―→·OB―→|OA―→|·|OB―→|＝18445⇒sin∠AOB＝11445⇒S△OAB＝12|OA―→|·|OB―→|sin∠AOB＝118，从而平行四边形ABCD的面积为112.答案：11213．(2019·前黄中学模拟)已知函数f(x)＝ex－a