（江苏专用）2020高考数学二轮复习 专项强化练（六）解三角形

专项强化练(六)解三角形A组——题型分类练题型一正弦定理和余弦定理1．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a＝4，b＝5，c＝6，则sin2AsinC＝________．解析：由正弦定理得sinAsinC＝ac，由余弦定理得cosA＝b2＋c2－a22bc，∵a＝4，b＝5，c＝6，∴sin2AsinC＝2sinAcosAsinC＝2·sinAsinC·cosA＝2×46×52＋62－422×5×6＝1.答案：12．在锐角△ABC中，AB＝3，AC＝4.若△ABC的面积为33，则BC的长是________．解析：因为S△ABC＝12AB·ACsinA，所以33＝12×3×4×sinA，所以sinA＝32，因为△ABC是锐角三角形，所以A＝60°，由余弦定理得，BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcosA，解得BC＝13.答案：133．已知在△ABC中，A＝120°，AB＝2，角B的平分线BD＝3，则BC＝________．解析：在△ABD中，由正弦定理得ABsin∠ADB＝BDsinA，∴sin∠ADB＝AB·sinABD＝22，∴∠ADB＝45°，∴∠ABD＝15°，∴∠ABC＝30°，∠ACB＝30°，∴AC＝AB＝2.在△ABC中，由余弦定理得BC＝AB2＋AC2－2AB·AC·cosA＝6.答案：64．在斜三角形ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，若1tanA＋1tanB＝1tanC，则abc2的最大值为________．解析：由1tanA＋1tanB＝1tanC可得，cosAsinA＋cosBsinB＝cosCsinC，即sinBcosA＋cosBsinAsinAsinB＝cosCsinC，∴sin（B＋A）sinAsinB＝cosCsinC，即sinCsinAsinB＝cosCsinC，∴sin2C＝sinAsinBcosC.根据正弦定理及余弦定理可得，c2＝ab·a2＋b2－c22ab，整理得a2＋b2＝3c2.∴abc2＝aba2＋b23＝3aba2＋b2≤3ab2ab＝32，当且仅当a＝b时等号成立．答案：32[临门一脚]1．正弦定理的应用：(1)已知两角和任意一边，求其它两边和一角；(2)已知两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其他的边和角．2．利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：(1)已知三边，求三个角；(2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角．3．要注意运用ab⇔AB⇔sinAsinB对所求角的限制，控制解的个数．4．对边、角混合的问题的处理办法一般是实施边、角统一，而正弦定理、余弦定理在实施边和角相互转化时有重要作用，如果边是一次式，一般用正弦定理转化，如果边是二次式，一般用余弦定理．5．对“锐角三角形”的概念要充分应用，必须三个角都是锐角的三角形才是锐角三角形，防止角范围的扩大．题型二解三角形的实际应用1.如图，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，选定一点C，测出AC的距离为50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，则A，B两点的距离为________m.解析：∠B＝180°－∠ACB－∠CAB＝30°，由正弦定理得，AB＝AC·sin∠ACBsinB＝50×2212＝502(m)．答案：5022．如图，两座相距60m的建筑物AB，CD的高度分别为20m，50m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角∠CAD的大小是________．解析：∵AD2＝602＋202＝4000，AC2＝602＋302＝4500.在△CAD中，由余弦定理得cos∠CAD＝AD2＋AC2－CD22AD·AC＝22，∴∠CAD＝45°.答案：45°3.如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB，C是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO的小路CD.已知某人从O沿OD走到D用了2分钟，从D沿着DC走到C用了3分钟．若此人步行的速度为每分钟50米，则该扇形的半径为________米．解析：依题意得OD＝100米，CD＝150米，连接OC，易知∠ODC＝180°－∠AOB＝60°，因此由余弦定理有OC2＝OD2＋CD2－2OD·CD·cos∠ODC，即OC2＝1002＋1502－2×100×150×12＝17500，∴OC＝507(米)．答案：507[临门一脚]1．理解题中的有关名词、术语，如坡度、仰角、俯角、视角、方位角等．2．测量问题和追击问题关键是构建三角形，利用正余弦定理研究．3．几何图形中长度和面积的最值问题的研究关键是选好参数(边、角或者建立坐标系)，构建函数来研究，不要忽视定义域的研究．B组——高考提速练1．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a＝3，b＝1，c＝2，则A等于________．解析：∵cosA＝b2＋c2－a22bc＝1＋4－32×1×2＝12，又∵0°A180°，∴A＝60°.答案：60°2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝18，b＝24，A＝45°，则此三角形有________个．解析：∵asinA＝bsinB，∴sinB＝basinA＝2418sin45°，∴sinB＝223.又∵ab，∴B有两个．答案：23．(2019·靖江中学模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若bsinB－asinA＝12asinC，且△ABC的面积为a2sinB，则cosB＝________．解析：由bsinB－asinA＝12asinC，结合正弦定理，得b2－a2＝12ac，又S△ABC＝12acsinB＝a2sinB，得c＝2a，所以cosB＝a2＋c2－b22ac＝4a2－12×2a24a2＝34.答案：344.如图，一艘船上午8：00在A处测得灯塔S在它的北偏东30°处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午8：30到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75°处，且与它相距42nmile，则此船的航行速度是________nmile/h.解析：在△ABS中，由正弦定理，有ABsin∠ASB＝BSsinA，∴AB＝42sin（75°－30°）sin30°＝8，故此船的航行速度是8÷12＝16(nmile/h)．答案：165．(2019·无锡期初检测)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若2sinB＝sinA＋sinC，cosB＝35且S△ABC＝4，则b的值为________．解析：因为2sinB＝sinA＋sinC，由正弦定理得a＋c＝2b，又由余弦定理，得cosB＝a2＋c2－b22ac＝（a＋c）2－2ac－b22ac＝3b2－2ac2ac＝35，由S△ABC＝4得12acsinB＝12ac×45＝4，所以ac＝10，所以3b2－2020＝35，解得b＝463.答案：4636．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝2，b＝2，sinB＋cosB＝2，则角A的大小为________．解析：由sinB＋cosB＝2，得sinB＋π4＝1，所以B＋π4＝π2，B＝π4，由正弦定理asinA＝bsinB，得sinA＝a·sinBb＝2×222＝12.又因为ba，所以BA，所以A＝π6.答案：π67．已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，其中ccos∠BAC＋acos∠ACB＝6，b2＋c2－a2＝72bc，O为△ABC内一点，且满足OA―→＋OB―→＋OC―→＝0，∠BAO＝30°，则|OA―→|＝________．解析：因为b2＋c2－a2＝72bc，所以cos∠BAC＝b2＋c2－a22bc＝74，所以sin∠BAC＝1－cos2∠BAC＝34.又OA―→＋OB―→＋OC―→＝0，所以O为△ABC的重心．因为ccos∠BAC＋acos∠ACB＝6，所以b＝6.取BC的中点D，连接OD，由∠BAO＝30°，得∠BAD＝30°，所以S△BAD＝12BA×ADsin∠BAD＝12×12BA×ACsin∠BAC，所以AD＝12×AC×sin∠BACsin∠BAD＝12×6×3412＝92，所以|OA―→|＝23AD＝3.答案：38.如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67°，30°，此时气球的高度是46m，则河流的宽度BC约等于________m．(用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，3≈1.73)解析：过A作BC边上的高AD，D为垂足．在Rt△ACD中，AC＝92，在△ABC中，由正弦定理，得BC＝ACsin∠ABC×sin∠BAC＝92sin67°×sin37°≈920.92×0.60＝60(m)．答案：609．在△ABC中，已知AB＝3，C＝π3，则CA―→·CB―→的最大值为________．解析：因为AB＝3，C＝π3，设角A，B，C所对的边为a，b，c，所以由余弦定理得3＝a2＋b2－2abcosπ3＝a2＋b2－ab≥ab，当且仅当a＝b＝3时等号成立，又CA―→·CB―→＝abcosC＝12ab，所以当a＝b＝3时，(CA―→·CB―→)max＝32.答案：3210．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为S，且2S＝(a＋b)2－c2，则tanC＝________.解析：因为2S＝(a＋b)2－c2＝a2＋b2－c2＋2ab，由面积公式与余弦定理，得absinC＝2abcosC＋2ab，即sinC－2cosC＝2，所以(sinC－2cosC)2＝4，sin2C－4sinCcosC＋4cos2Csin2C＋cos2C＝4，所以tan2C－4tanC＋4tan2C＋1＝4，解得tanC＝－43或tanC＝0(舍去)．答案：－4311．(2019·如东中学模拟)在△ABC中，A＝2π3，AB＝3，D是BC上靠近点C的三等分点，且AD＝1，则AC＝________.解析：法一：设BD＝2x，DC＝x，AC＝y，x0，y0，在△ABD和△ADC中由余弦定理得，x2＋1－y22x＋4x2＋1－34x＝0，化简得y2＝3x2.在△ABC中，由余弦定理知9x2＝3＋y2＋3y，联立方程得y2＝3x2，9x2＝3＋y2＋3y，所以x＝1，y＝3，故AC＝3.法二：由题意知AD―→＝13AB―→＋23AC―→，两边平方得AD2＝19×AB2＋49×AC2＋2×29AB×AC×－12，得2AC2－3AC－3＝0，得AC＝3.法三：以点A为坐标原点，AC所在的直线为x轴建立如图所示的直角坐标系，设C(b,0)，b0，则B－32，32，易知BD―→＝2DC―→，则D2b3－36，12，由AD＝1得2b3－362＋14＝1，得b＝3，故AC＝3.答案：312．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝2，b－c＝1，△ABC的面积为3，则AB―→·AC―→＝________.解析：以BC为x轴，BC的垂直平分线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，因为a＝2，所以B(1,0)，C(－1,0)，设A(x，y)，又AC－AB＝1BC，所以点A的轨迹为以B，C为焦点的双曲线的右支上．又△ABC的面积为3，所以12×2×yA＝3，即yA＝3，又双曲线方程为x214－y234＝1，代入可得xA＝52，所以AB―→·AC―→＝1－52，－3·－1－52，－3＝54－1＋3＝134.答案：13413．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＝3b2＋3c2－23bcsinA，则C＝________.解析：因为a2＝3b2＋3c2－23bcsinA＝b2＋c2－2bccosA，所以b2＋c2bc＝3sinA－cosA＝2sinA－π6.又b2＋c2bc＝bc＋cb≥2bc·cb＝2(当且仅当b＝c时取等号)，