（江苏专用）2020高考数学二轮复习 专项强化练（九）数列

专项强化练(九)数列A组——题型分类练题型一等差、等比数列的基本运算1．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若a2＝7，S7＝－7，则a7的值为________．解析：因为等差数列{an}满足a2＝7，S7＝－7，所以S7＝7a4＝－7，a4＝－1，所以d＝a4－a24－2＝－4，所以a7＝a2＋5d＝－13.答案：－132．(2018·盐城高三模拟)设数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝2an＋n(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为an＝________.解析：Sn＝2an＋n(n∈N*)①，当n＝1时，得a1＝－1，当n≥2时，Sn－1＝2an－1＋n－1②，①－②，得an＝2an－2an－1＋1(n≥2)，即an－1＝2(an－1－1)(n≥2)，则数列{an－1}是以－2为首项，2为公比的等比数列，则an－1＝－2×2n－1＝－2n，a1＝－1符合上式．所以数列{an}的通项公式为an＝1－2n.答案：1－2n3．已知等比数列{an}的各项均为正数，若a4＝a22，a2＋a4＝516，则a5＝________.解析：法一：设等比数列{an}的首项为a1(a10)，公比为q(q0)，由题意a1q3＝a1q2，a1q＋a1q3＝516，解得a1＝12，q＝12，所以a5＝a1q4＝132.法二：(整体思想)依题意由a4＝a22，a2＋a4＝516，得16a22＋16a2－5＝0，即(4a2＋5)(4a2－1)＝0，又等比数列{an}各项均为正数，所以a2＝14，从而a4＝116，从而由q2＝a4a2＝14，又q0，所以q＝12，a5＝a4q＝116×12＝132.答案：132[临门一脚]1．等差、等比数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题．2．在等差、等比混合后考查基本量的计算容易造成公式和性质混淆，从而造成计算失误．3．等差、等比数列的通项公式：等差数列{an}的通项公式为an＝a1＋(n－1)d＝am＋(n－m)d；等比数列{an}的通项公式为an＝a1qn－1＝amqn－m(a1≠0，q≠0)．4．等差、等比数列的前n项和：(1)等差数列的前n项和为：Sn＝na1＋an2＝na1＋nn－2d＝d2n2＋a1－d2n(二次函数)．特别地，当d≠0时，Sn是关于n的二次函数，且常数项为0，即可设Sn＝an2＋bn(a，b为常数)．(2)等比数列的前n项和为：Sn＝na1，q＝1，a1－qn1－q＝a1－anq1－q，q≠1，特别地，若q≠1，设a＝a11－q，则Sn＝a－aqn，要注意对q是否等于1讨论．题型二等差、等比数列的性质1．(2019·东台中学模拟)已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若a3＋a6＋a12＝2019，则S13＝________.解析：法一：设等差数列{an}的公差为d，因为a3＋a6＋a12＝2019，所以(a1＋2d)＋(a1＋5d)＋(a1＋11d)＝2019，即a1＋6d＝673，所以S13＝a1＋a132＝13[a1＋a1＋12d2＝13(a1＋6d)＝8749.法二：因为a3＋a6＋a12＝2019，所以3a7＝2019，所以a7＝673，所以S13＝a1＋a132＝13a7＝8749.答案：87492．设Sn是等比数列{an}的前n项和，若S4S2＝3，则S6S4＝________.解析：设S2＝k，S4＝3k，由数列{an}为等比数列，得S2，S4－S2，S6－S4为等比数列，∴S2＝k，S4－S2＝2k，S6－S4＝4k，∴S6＝7k，∴S6S4＝7k3k＝73.答案：733．若等比数列{an}的各项均为正数，且a10a11＋a9a12＝2e5，则lna1＋lna2＋…＋lna20＝________.解析：因为a10a11＋a9a12＝2a10a11＝2e5，所以a10a11＝e5.所以lna1＋lna2＋…＋lna20＝ln(a1a2…a20)＝ln[(a1a20)·(a2a19)·…·(a10a11)]＝ln(a10a11)10＝10ln(a10a11)＝10lne5＝50lne＝50.答案：504．已知数列{an}是等差数列，且an0，若a1＋a2＋…＋a100＝500，则a50·a51的最大值为________．解析：法一：设等差数列{an}的公差为d(d≥0)，由题意得，100a1＋4950d＝500，所以a1＝5－49.5d，所以a50·a51＝(a1＋49d)·(a1＋50d)＝(5－0.5d)·(5＋0.5d)＝－0.25d2＋25.又d≥0，所以当d＝0时，a50·a51有最大值25.法二：由等差数列的性质知，50(a50＋a51)＝500，即a50＋a51＝10，所以由基本不等式得a50·a51≤a50＋a5122＝25，当且仅当a50＝a51＝5时取等号，所以a50·a51有最大值25.答案：255．已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn，若AnBn＝7n＋45n＋3，则使得anbn为整数的正整数n的个数是________．解析：由anbn＝nannbn＝na1＋a2n－12nb1＋b2n－12＝A2n－1B2n－1＝n－＋45n－＋3＝7n＋19n＋1＝n＋＋12n＋1＝7＋12n＋1.因此n∈N*，anbn∈N*，故n＋1＝2,3,4,6,12，即n共有5个．答案：5[临门一脚]1．若序号m＋n＝p＋q，在等差数列中，则有am＋an＝ap＋aq；特别的，若序号m＋n＝2p，则am＋an＝2ap；在等比数列中，则有am·an＝ap·aq；特别的，若序号m＋n＝2p，则am·an＝a2p；该性质还可以运用于更多项之间的关系．2．在等差数列{an}中，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…成等差数列，其公差为kd；其中Sn为前n项的和，且Sn≠0(n∈N*)；在等比数列{an}中，当q≠－1或k不为偶数时Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…成等比数列，其中Sn为前n项的和(n∈N*)．题型三数列的综合问题1．已知等比数列{an}的前4项和为5，且4a1，32a2，a2成等差数列，若bn＝1log2an＋1，则数列{bnbn＋1}的前10项和为________．解析：由4a1，32a2，a2成等差数列，可得4a1＋a2＝3a2，则2a1＝a2，则等比数列{an}的公比q＝a2a1＝2，则数列{an}的前4项和为a1－241－2＝5，解得a1＝13，所以an＝13×2n－1，bn＝1log2an＋1＝1n，则bnbn＋1＝1nn＋＝1n－1n＋1，其前10项和为1－12＋12－13＋…＋110－111＝1011.答案：10112．(2019·苏州中学模拟)对于无穷数列{an}与{bn}，记A＝{x|x＝an，n∈N*}，B＝{x|x＝bn，n∈N*}，若满足条件A∩B＝∅且A∪B＝N*，则称数列{an}与{bn}是无穷互补数列．已知数列{an}满足a1＝3，且对任意的i，j∈N*，都有ai＋j＝aiaj，数列{bn}满足对任意的n∈N*，都有bnbn＋1.若数列{an}与{bn}是无穷互补数列，则b2020＝________.解析：在数列{an}中，对任意的i，j∈N*，都有ai＋j＝aiaj，令i＝n，j＝1，则an＋1＝a1an.因为a1＝3，所以an＋1＝3an，所以数列{an}是首项为3，公比为3的等比数列，所以an＝3n.因为36＝7292020,37＝21872020，所以小于等于2020的正整数中有6个是数列{an}中的项，所以由无穷互补数列的定义可知b2020＝2020＋6＝2026.答案：20263．(2018·南京四校联考)已知数列{an}的前n项和Sn＝8n－n2，令bn＝anan＋1an＋2(n∈N*)，设数列{bn}的前n项和为Tn，当Tn取得最大值时，n＝________.解析：法一：当n＝1时，a1＝7；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝9－2n，经检验，n＝1时也符合，故an＝9－2n，则bn＝anan＋1an＋2＝(9－2n)(7－2n)(5－2n)，当Tn取得最大值时，应满足{bn}的前n项均为非负项．令bn≥0得，n≤2.5或3.5≤n≤4.5，又n∈N*，所以n＝1,2,4，而T1＝105，T2＝120，T4＝120，故当Tn取得最大值时，n＝2或4.法二：由Sn＝8n－n2知，数列{an}为等差数列，且an＝9－2n，即7,5,3,1，－1，－3，－5，－7，…，枚举知，T1＝105，T2＝120，T3＝117，T4＝120，T5＝105，…，故当Tn取得最大值时，n＝2或4.答案：2或44．在等差数列{an}中，首项a1＝3，公差d＝2，若某学生对其中连续10项进行求和，在漏掉一项的前提下，求得余下9项的和为185，则此连续10项的和为________．解析：由已知条件可得数列{an}的通项公式an＝2n＋1，设连续10项为ai＋1，ai＋2，ai＋3，…，ai＋10，i∈N，设漏掉的一项为ai＋k,1≤k≤10，由ai＋1＋ai＋102－ai＋k＝185，得(2i＋3＋2i＋21)×5－2i－2k－1＝185，即18i－2k＝66，即9i－k＝33，所以34≤9i＝k＋33≤43,3349≤i≤4395，所以i＝4，此时，由36＝33＋k得k＝3，所以ai＋k＝a7＝15，故此连续10项的和为200.答案：200[临门一脚]1．数列求和的方法主要有错位相减法、倒序相加法、公式法、拆项并项法、裂项相消法等．2．根据递推关系式求通项公式的方法有累加法，累积法，待定系数法，取倒数、取对数等．3．数列单调性可以用定义研究，也可以构造函数进行研究，要注意数列和所构造函数的定义域的差别．B组——高考提速练1．设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a2＝1，a4＝5，则S5＝________.解析：法一：由等差数列的通项公式，得5＝1＋2d，则d＝2，a1＝－1，S5＝5×(－1)＋5×42×2＝15.法二：S5＝a1＋a52＝a2＋a42＝5×62＝15.答案：152．(2019·连云港模拟)已知数列{an}中，a1＝a，a2＝2－a，an＋2－an＝2，若数列{an}单调递增，则实数a的取值范围为________．解析：由an＋2－an＝2可知数列{an}的奇数项、偶数项分别递增，若数列{an}单调递增，则必有a2－a1＝(2－a)－a＞0且a2－a1＝(2－a)－a＜an＋2－an＝2，可得0＜a＜1，故实数a的取值范围为(0,1)．答案：(0,1)3．在等比数列{an}中，若a1＝1，a3a5＝4(a4－1)，则a7＝________.解析：法一：设等比数列{an}的公比为q，因为a1＝1，a3a5＝4(a4－1)，所以q2·q4＝4(q3－1)，即q6－4q3＋4＝0，q3＝2，所以a7＝q6＝4.法二：设等比数列{an}的公比为q,由a3a5＝4(a4－1)得a24＝4(a4－1)，即a24－4a4＋4＝0，所以a4＝2，因为a1＝1，所以q3＝2，a7＝q6＝4.答案：44．记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a4＋a5＝24，S6＝48，则{an}的公差为________．解析：设等差数列{an}的公差为d，则由a4＋a5＝24，S6＝48，得a1＋3d＋a1＋4d＝24，6a1＋6×52d＝48，即2a1＋7d＝24，2a1＋5d＝16，解得d＝4.答案：45．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，公比q＝3，S3＋S4＝533，则a3＝________.解析：因为等比数列{an}的公比q＝3，所以S3＋S4＝2S3＋a4＝21＋13＋19a3＋3a3＝539a3＝533，所以a3＝3.答案：36．设公差不为0的等差数列{an