（江苏专用）2020高考数学二轮复习 专项强化练（二）函数的概念与性质

专项强化练(二)函数的概念与性质A组——题型分类练题型一函数的基本概念1．(2019·无锡单元检测)若函数y＝mx－1mx2＋4mx＋3的定义域为R，则实数m的取值范围是________．解析：∵函数y＝mx－1mx2＋4mx＋3的定义域为R，∴mx2＋4mx＋3恒不为0.当m＝0时，mx2＋4mx＋3＝3满足题意；当m≠0时，Δ＝16m2－12m0，解得0m34.综上，m的取值范围为0，34.答案：0，342．已知函数f(x)的定义域为实数集R，∀x∈R，f(x－90)＝lgx，x0，－x，x≤0，则f(10)－f(－100)的值为________．解析：因为f(10)＝f(100－90)＝lg100＝2，f(－100)＝f(－10－90)＝－(－10)＝10，所以f(10)－f(－100)＝2－10＝－8.答案：－83．已知函数f(x)＝3x，x≤1，－x，x1.若f(x)＝2，则x＝________．解析：依题意得当x≤1时，3x＝2，所以x＝log32；当x1时，－x＝2，x＝－2(舍去)．故x＝log32.答案：log324．下列函数中，满足f(2x)＝2f(x)的序号是________．①f(x)＝|x|；②f(x)＝x－|x|；③f(x)＝x＋1；④f(x)＝－x.解析：对于①，f(2x)＝|2x|＝2|x|＝2f(x)；对于②，f(x)＝x－|x|＝0，x≥0，2x，x0，当x≥0时，f(2x)＝0＝2f(x)，当x0时，f(2x)＝4x＝2·2x＝2f(x)，恒有f(2x)＝2f(x)；对于③，f(2x)＝2x＋1＝2f(x)－1≠2f(x)．对于④，f(2x)＝－2x＝2(－x)＝2f(x)．答案：①②④[临门一脚]1．定义域、值域和对应关系是决定函数的三个要素，是一个整体，研究函数问题时务必“定义域优先”．2．分段函数是指在定义域内的不同部分上，有不同的解析表达式的函数，它的单调性不仅要考虑各个部分的单调性，还要注意各段交界处的函数值的大小关系，所以分段函数是函数的一个重要考点，应引起我们的高度重视．题型二函数的单调性与最值1．已知函数f(x)＝log5(x2－3x－4)，则该函数的单调递增区间为________．解析：由题意知x2－3x－40，则x4或x－1，令y＝x2－3x－4，则其图象的对称轴为x＝32，∴y＝x2－3x－4的单调递增区间为(4，＋∞)．单调递减区间为(－∞，－1)，由复合函数的单调性知f(x)的单调递增区间为(4，＋∞)．答案：(4，＋∞)2．(2019·姜堰中学模拟)设函数f(x)＝2|x－a|，x≤1，x＋1，x＞1，若f(1)是f(x)的最小值，则实数a的取值范围为________．解析：函数f(x)＝2|x－a|，x≤1，x＋1，x＞1，若x＞1，则f(x)＝x＋1＞2，易知y＝2|x－a|在(a，＋∞)上递增，在(－∞，a)上递减，若a＜1，则f(x)在x＝a处取得最小值，不符合题意；若a≥1，则要使f(x)在x＝1处取得最小值，只需2a－1≤2，解得a≤2，∴1≤a≤2.综上可得a的取值范围是[1，2]．答案：[1，2]3．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意互异的实数x1，x2，均有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]0成立，则使得不等式f(t2－3)＋f(2t)0成立的实数t的取值范围为____________．解析：因为对任意互异的实数x1，x2，均有(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]0成立，所以函数f(x)在定义域R上单调递减，又f(x)为奇函数，故不等式f(t2－3)＋f(2t)0可化为f(t2－3)f(－2t)，结合单调性可知，t2－3－2t，即t2＋2t－30，解得t－3或t1.答案：(－∞，－3)∪(1，＋∞)[临门一脚]1．单调性是函数的一个局部性质，一个函数在不同的区间上可以有不同的单调性．函数的单调性使得自变量的不等关系和函数之间的不等关系可以“正逆互推”，此时要注意定义域的限制．2．判定函数的单调性常用定义法、图象法及导数法．对于填空题，也可用一些命题，如两个增(减)函数的和函数仍为增(减)函数．3．函数的多个单调区间不能用“∪”相连．4．复合函数的单调性在转化时，不能忽视定义域的限制．题型三函数的奇偶性与周期性1．(2018·南京高三模拟)若f(x)是定义在R上的周期为3的函数，且f(x)＝x2＋x＋a，0≤x≤2，－6x＋18，2x≤3，则f(a＋1)的值为________．解析：由f(x)是定义在R上的周期为3的函数，得f(0)＝f(3)，解得a＝0，则f(a＋1)＝f(1)＝2.答案：22．(2019·镇江期初)已知函数f(x)是偶函数，f(x＋1)是奇函数，且对于任意x1，x2∈[0，1]，x1≠x2，都有(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]＜0，设a＝f8211，b＝－f509，c＝f247，则a，b，c的大小关系是________．解析：由函数f(x)是偶函数，f(x＋1)是奇函数，知：f(－x)＝f(x)，f(－x＋1)＝－f(x＋1)，∴f[－(x－1)]＝f(x－1)＝－f(x＋1)，∴f(x＋1)＝－f(x－1)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝－[－f(x)]＝f(x)，可知函数的周期为4，则a＝f8211＝f611，b＝－f509＝f49，c＝f247＝f47.由(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＜0，可知函数是区间[0，1]上的减函数，据此可得b＞a＞c.答案：b＞a＞c3．若函数f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)(常数a，b∈R)是偶函数，且它的值域为(－∞，2]，则该函数的解析式f(x)＝________.解析：由题意知：a≠0，f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)＝bx2＋(2a＋ab)x＋2a2是偶函数，则其图象关于y轴对称，所以2a＋ab＝0，b＝－2.所以f(x)＝－2x2＋2a2，因为它的值域为(－∞，2]，所以2a2＝2.所以f(x)＝－2x2＋2.答案：－2x2＋24．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)＝x2－4x，则不等式f(x)x的解集为________．解析：若x＜0，则－x＞0，∵当x＞0时，f(x)＝x2－4x，∴当－x＞0时，f(－x)＝x2＋4x.∵f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(－x)＝x2＋4x＝－f(x)，则f(x)＝－x2－4x，x＜0，当x＞0时，不等式f(x)＞x等价为x2－4x＞x，即x2－5x＞0，得x＞5或x＜0，此时x＞5，当x＜0时，不等式f(x)＞x等价为－x2－4x＞x，即x2＋5x＜0，得－5＜x＜0，当x＝0时，不等式f(x)＞x等价为0＞0不成立，综上，不等式的解为x＞5或－5＜x＜0，故不等式的解集为(－5，0)∪(5，＋∞)．答案：(－5，0)∪(5，＋∞)[临门一脚]1．函数的奇偶性反映了函数图象的对称性，但定义域是否对称还是必要条件．2．利用函数的奇偶性可以把研究整个函数具有的性质问题转化到只研究部分(一半)区间上，是简化问题的一种途径．3．奇函数用f(0)＝0时要注意定义域是否有0，偶函数还可以用f(x)＝f(－x)＝f(|x|)．B组——高考提速练1．函数f(x)＝2x－4的定义域为________．解析：由2x－4≥0，即2x≥22，得x≥2，所以函数的定义域为[2，＋∞)．答案：[2，＋∞)2．函数f(x)＝2xx＋1在[1，2]内的最大值和最小值分别是________．解析：f(x)＝2（x＋1）－2x＋1＝2－2x＋1，故f(x)在(－1，＋∞)上为增函数，所以f(x)在[1，2]上的最大值为f(2)＝43，最小值为f(1)＝1.答案：4313．(2019·南京三模)若函数f(x)＝2x，x≤0，f（x－2），x0，则f(log23)＝________．解析：因为0log232，所以f(log23)＝f(log23－2)＝2log23－2＝2log2322＝34.答案：344．(2019·盐城三模)若函数f(x)＝lg(1＋x)＋lg(1＋ax)是偶函数，则实数a的值为________．解析：因为f(x)为偶函数，所以对定义域内的任意x，都有f(－x)＝f(x)，所以lg(1＋x)＋lg(1＋ax)＝lg(1－x)＋lg(1－ax)，所以得(1＋x)(1＋ax)＝(1－x)(1－ax)，所以得(a＋1)x＝0，所以a＝－1.答案：－15．已知函数f(x)＝x2－(a－1)x＋5在区间12，1上为增函数，那么f(2)的取值范围是________．解析：因为函数f(x)＝x2－(a－1)x＋5在区间12，1上为增函数，由于其图象(抛物线)开口向上，所以其对称轴x＝a－12或与直线x＝12重合或位于直线x＝12的左侧，即应有a－12≤12，解得a≤2，所以f(2)＝4－(a－1)×2＋5≥7，即f(2)≥7.答案：[7，＋∞)6．定义新运算“⊕”：当a≥b时，a⊕b＝a；当ab时，a⊕b＝b2.设函数f(x)＝(1⊕x)x－(2⊕x)，x∈[－2，2]，则函数f(x)的值域为________．解析：由题意知，f(x)＝x－2，x∈[－2，1]，x3－2，x∈（1，2]，当x∈[－2，1]时，f(x)∈[－4，－1]；当x∈(1，2]时，f(x)∈(－1，6]．故当x∈[－2，2]时，f(x)∈[－4，6]．答案：[－4，6]7．(2019·盐城中学模拟)设函数f(x)的定义域为D，若f(x)满足条件：存在[a，b]⊆D(a＜b)，使f(x)在[a，b]上的值域也是[a，b]，则称为“优美函数”．若函数f(x)＝log2(4x＋t)为“优美函数”，则t的取值范围是________．解析：∵函数f(x)＝log2(4x＋t)是定义域上的增函数，∴由题意得，若函数为“优美函数”，则f(x)＝x有两个不相等的实根，即log2(4x＋t)＝x，整理得4x＋t＝2x，∴(2x)2－2x＋t＝0有两个不相等的实根．∵2x＞0，令λ＝2x(λ＞0)，∴λ2－λ＋t＝0有两个不相等的正实根，∴Δ＝1－4t＞0，t＞0，解得0＜t＜14，即t∈0，14.答案：0，148．已知函数f(x)＝2x＋1，x0，0，x＝0，2x－1，x0，则不等式f(x2－2)＋f(x)＜0的解集为__________．解析：函数f(x)＝2x＋1，x0，0，x＝0，2x－1，x0的图象如图所示，∴f(x)是定义域为R的奇函数也是增函数，∴不等式f(x2－2)＋f(x)＜0⇔f(x2－2)＜f(－x)⇔x2－2＜－x，解得－2＜x＜1，∴原不等式的解集为(－2，1)．答案：(－2，1)9．(2019·徐州中学模拟)已知函数f(x)＝a－x2(1≤x≤2)与g(x)＝x＋2的图象上存在关于x轴对称的点，则实数a的取值范围是________．解析：若函数f(x)＝a－x2(1≤x≤2)与g(x)＝x＋2的图象上存在关于x轴对称的点，则方程a－x2＝－(x＋2)，即a＝x2－x－2在区间[1，2]上有解．令h(x)＝x2－x－2，1≤x≤2，由于h(x)＝x2－x－2的图象是开口朝上且以直线x＝12为对称轴的抛物线，故当x＝1时，h(x)取得最小值－2，当x＝2时，h(x)取得最大值0，故a∈[－2，0]．答案：[－2，0]10．设函数y＝f(x)在R上有定义．对于给定的正数M，定义函数fM(x)＝f（x），f（x）≤M，M，f（x）M，则称函数fM(x)为f(x)的“孪生函数”．若给定函数f(x)＝2－x2，M＝1，则fM(0)＝________．解析：由题