（江苏专用）2020高考数学二轮复习 专项强化练（八）不等式

专项强化练(八)不等式A组——题型分类练题型一一元二次不等式1．(2019·无锡模拟)已知a∈Z，关于x的一元二次不等式x2－6x＋a≤0的解集中有且仅有3个整数，则所有符合条件的a的值之和是________．解析：设f(x)＝x2－6x＋a，其图象为开口向上，对称轴是x＝3的抛物线，如图所示．若关于x的一元二次不等式x2－6x＋a≤0的解集中有且仅有3个整数，则f，f＞0，即22－6×2＋a≤0，12－6×1＋a＞0，解得5＜a≤8，又a∈Z，故a＝6,7,8.则所有符合条件的a的值之和是6＋7＋8＝21.答案：212．已知函数f(x)＝2x－1，x0，－x2－4x，x≤0，则不等式f(x)3的解集为________________．解析：当x0时，2x－13，解得x2，当x≤0时，－x2－4x3，即x2＋4x＋30，解得－3x－1，所以所求不等式的解集为{x|x2或－3x－1}．答案：{x|x2或－3x－1}3．(2018·镇江高三期末)已知函数f(x)＝x2－kx＋4，对任意的x∈[1,3]，不等式f(x)≥0恒成立，则实数k的最大值为________．解析：由题意得x2－kx＋4≥0对任意的x∈[1,3]恒成立，所以k≤x＋4x对任意的x∈[1,3]恒成立，因为x＋4x≥4(当且仅当x＝2时取等号)，所以k≤4，故实数k的最大值为4.答案：44．已知函数f(x)＝－x＋1，x≥0，－x2＋1，x0，则关于x的不等式f(x2)f(2－x)的解集是________________．解析：由x2≥0，得f(x2)＝－x2＋1，所以原不等式可转化为f(2－x)－x2＋1，则当2－x≥0，即x≤2时，由－(2－x)＋1－x2＋1，得－2x1，所以－2x1；当2－x0，即x2时，由－(2－x)2＋1－x2＋1，得x∈∅.综上得，关于x的不等式f(x2)f(2－x)的解集是{x|－2x1}．答案：{x|－2x1}[临门一脚]1．一元二次不等式解集的端点值是相应一元二次方程的根，也是相应的二次函数图象与x轴交点的横坐标，即二次函数的零点．2．不等式(x－a)(x－b)0(ab)的解集是(a，b)；不等式(x－a)(x－b)0(ab)的解集是(－∞，a)∪(b，＋∞)．3．对于含参数的不等式ax2＋bx＋c0的求解，应注意对参数进行分类讨论，分类讨论的常见情况有：(1)二次项系数的符号(包含是否为0)；(2)计算判别式，判断对应方程根的情况：若有两根，则需要比较两根的大小．题型二基本不等式1．若x1，则x＋4x－1的最小值为________．解析：由x1，得x－10，则x＋4x－1＝x－1＋4x－1＋1≥4＋1＝5.当且仅当x－1＝4x－1，即x＝3时等号成立．故x＋4x－1的最小值为5.答案：52．已知0x1，则x(3－3x)取得最大值时x的值为________．解析：由0x1，故3－3x0，则x(3－3x)＝13×3x(3－3x)≤13×94＝34，当且仅当3x＝3－3x，即x＝12时等号成立．答案：123．已知正数a，b满足1a＋9b＝ab－5，则ab的最小值为________．解析：因为正数a，b满足1a＋9b＝ab－5，所以ab－5≥21a×9b，可化为(ab)2－5ab－6≥0，解得ab≥6，即ab≥36，当且仅当1a＝9b，即a＝2，b＝18时取等号．即ab的最小值为36.答案：364．已知正数x，y满足x2＋4y2＋x＋2y≤2－4xy，则1x＋1y的最小值为________．解析：由题意得(x＋2y)2＋(x＋2y)－2≤0，且x0，y0，所以0x＋2y≤1，所以1x＋1y＝1x＋1y·1≥1x＋1y·(x＋2y)＝3＋2yx＋xy≥3＋22，当且仅当x＋2y＝1，2yx＝xy，即x＝2－1，y＝1－22时，1x＋1y取得最小值3＋22.答案：3＋225．(2018·南京高三模拟)若正数a，b，c成等差数列，则c2a＋b＋ba＋2c的最小值为________．解析：由正数a，b，c成等差数列，知2b＝a＋c，则c2a＋b＋ba＋2c＝2c5a＋c＋a＋c2a＋4c，令5a＋c＝m,2a＋4c＝n，m0，n0，则a＝4m－n18，c＝5n－2m18，故c2a＋b＋ba＋2c＝11810n－4mm＋4n＋2mn＝195nm＋mn≥259，当且仅当m＝5n时取等号，故c2a＋b＋ba＋2c的最小值为259.答案：259[临门一脚]1．利用基本不等式x＋y2≥xy时，要注意“正、定、等”三要素，“正”，即x，y都是正数；“定”，即不等式另一边为定值；“等”，即当且仅当x＝y时取等号．2．利用基本不等式x＋y2≥xy时，要注意“积定和最大，和定积最小”这一口诀，并且适当运用拆、拼、凑等技巧，但应该注意，一般不要出现两次不等号，若出现，则要看两次等号成立的条件是否同时成立．3．利用基本不等式解决二元多项式之间的大小关系，符合极值定理时，才能够求最值．4．求一元函数最值时如等号取不到时，要借助函数图象，利用函数单调性求解最值．题型三简单的线性规划问题1．已知实数x，y满足x＋y－5≤0，2x－y＋2≥0，y≥0，则目标函数z＝x－y的最小值为________．解析：根据题意，画出可行域如图所示，易知当目标函数z＝x－y经过点A(1,4)时，取得最小值－3.答案：－32．(2018·南京高三模拟)若实数x，y满足x－y－3≤0，x＋2y－5≥0，y－2≤0，则yx的取值范围为________．解析：作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，其中点A(1,2)，B(5,2)，C113，23.yx表示可行域内的点(x，y)与原点O连线的斜率．连接OA，OC，则kOA＝2，kOC＝211，结合图形可知yx的取值范围是211，2.答案：211，23．设不等式x≥1，x－y≤0，x＋y≤4表示的平面区域为M，若直线l：y＝kx－2上存在M内的点，则实数k的取值范围是________．解析：作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示．因为直线l：y＝kx－2的图象过定点A(0，－2)，且斜率为k，由图知，当直线l过点B(1,3)时，k取最大值3＋21－0＝5，当直线l过点C(2,2)时，k取最小值2＋22－0＝2，故实数k的取值范围是[2,5]．答案：[2,5]4．已知约束条件x－2y＋1≤0，ax－y≥0，x≤1表示的平面区域为D，若区域D内至少有一个点在函数y＝ex的图象上，那么实数a的取值范围为________．解析：由题意作出约束条件表示的平面区域及函数y＝ex的图象，结合函数图象知，当x＝1时，y＝e，把点(1，e)代入ax－y≥0，则a≥e.故实数a的取值范围为[e，＋∞)．答案：[e，＋∞)[临门一脚]1．简单的线性规划问题解题步骤：一画二移三算四答，充分挖掘目标对象的几何意义，通常与直线的纵截距、斜率，圆的半径或半径的平方有关．2．画可行域要特别注意边界能否取到，当区域不包含边界时，取值范围中等号取不到，如果忽视这一点，容易在等号上出错．B组——高考提速练1．不等式x＋1x2的解集为______________．解析：∵x＋1x2，∴x＋1x－20，即x＋－2xx＝1－xx0，∴1－xx0等价于x(x－1)＞0，解得x＜0或x＞1，∴不等式x＋1x2的解集为{x|x＜0或x＞1}．答案：{x|x＜0或x＞1}2．(2019·丹阳中学模拟)若不等式组x＋y≥0，x－y＋2≥0，2x－y－2≤0所表示的平面区域被直线l：mx－y＋m＋1＝0分为面积相等的两部分，则m＝________.解析：由题意可画出可行域为△ABC及其内部所表示的平面区域，如图所示．联立可行域边界所在直线方程，可得A(－1,1)，B23，－23，C(4,6)．因为直线l：y＝m(x＋1)＋1过定点A(－1,1)，直线l将△ABC分为面积相等的两部分，所以直线l过边BC的中点D，易得D73，83，代入mx－y＋m＋1＝0，得m＝12.答案：123．已知函数f(x)＝4x＋ax(x＞0，a＞0)在x＝2时取得最小值，则实数a＝________.解析：当x＝2时，函数f(x)＝4x＋ax有最小值，由基本不等式知取等号的条件为4x＝ax，即4×2＝a2，得a＝16.答案：164．(2019·金陵中学模拟)对于实数x，当且仅当n≤x＜n＋1(n∈N*)时，[x]＝n，则关于x的不等式4[x]2－36[x]＋45＜0的解集为________．解析：由4[x]2－36[x]＋45＜0，得32＜[x]＜152，又当且仅当n≤x＜n＋1(n∈N*)时，[x]＝n，所以[x]＝2,3,4,5,6,7，所以所求不等式的解集为[2,8)．答案：[2,8)5．若a，b均为大于1的正数，且ab＝100，则lga·lgb的最大值为________．解析：因为a1，b1，所以lga0，lgb0.lga·lgb≤a＋lgb24＝ab24＝1.当且仅当a＝b＝10时取等号，故lga·lgb的最大值为1.答案：16．不等式x2＋ax＋40的解集不是空集，则实数a的取值范围是________________．解析：因为不等式x2＋ax＋40的解集不是空集，所以Δ＝a2－4×40，即a216.所以a4或a－4.答案：(－∞，－4)∪(4，＋∞)7．若关于x的不等式ax2－6x＋a20的解集是(1，m)，则m的值为________．解析：根据不等式与方程之间的关系知1为方程ax2－6x＋a2＝0的一个根，即a2＋a－6＝0，解得a＝2或a＝－3，当a＝2时，不等式ax2－6x＋a20的解集是(1,2)，符合要求；当a＝－3时，不等式ax2－6x＋a20的解集是(－∞，－3)∪(1，＋∞)，不符合要求，舍去．故m＝2.答案：28．(2019·扬州中学模拟)设等差数列{an}的公差是d，其前n项和是Sn，若a1＝d＝1，则Sn＋8an的最小值是________．解析：由题意an＝a1＋(n－1)d＝n，Sn＝n＋n2，所以Sn＋8an＝n＋n2＋8n＝12n＋16n＋1≥122n·16n＋1＝92，当且仅当n＝4时取等号，所以Sn＋8an的最小值是92.答案：929．(2019·南通等七市一模)在平面四边形ABCD中，AB＝1，DA＝DB，则AB―→·AC―→＝3，AC―→·AD―→＝2，则|AC―→＋2AD―→|的最小值为________．解析：以AB所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，则A－12，0，B12，0.设D(0，b)，C(m，n)，则AB―→·AC―→＝(1,0)·m＋12，n＝m＋12＝3，解得m＝52，AC―→·AD―→＝(3，n)·12，b＝32＋nb＝2，得nb＝12，易得AC―→＋2AD―→＝(4，n＋2b)，则|AC―→＋2AD―→|＝16＋n＋2b2≥16＋8nb＝25，当且仅当n＝2b时取等号，故|AC―→＋2AD―→|的最小值为25.答案：2510．已知点P是△ABC内一点(不包括边界)，且AP―→＝mAB―→＋nAC―→，m，n∈R，则(m－2)2＋(n－2)2的取值范围是________．解析：因为点P是△ABC内一点(不包括边界)，且AP―→＝mAB―→＋nAC―→，所以m，n满足条件m＞0，n＞0，m＋n＜1，作出不等式组所表示的平面区域如图所示．因为(m－2)2＋(n－2)2表示的是区域内的动点(m，n)到点A(2,2)的距离的平方．因为点A到直线m＋n＝1的距离为|2＋2－1|2＝32，故