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小题专题练(五)概率、统计、算法、复数、推理与证明(建议用时：50分钟)1．(2019·盐城中学月考)已知复数z＝3－i2＋i(i为虚数单位)，则|z|的值为________．2．某中学有高中生3500人，初中生1500人．为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高中生中抽取70人，则n为________．3．在3张奖券中有一、二等奖各1张，另1张无奖．甲、乙两人各抽取1张，两人都中奖的概率是________．4．为了了解某校2016年高考报考体育特长生的学生体重(单位：kg)情况，将所得的数据整理后，画出的频率分布直方图如图所示．已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1∶2∶3，第2小组的频数为12，则该校报考体育特长生的学生人数为________．第4题图第5题图5．(2019·常州期末)根据如图所示的算法，输出的结果为________．6．(2019·镇江质检)若a∈{1，2}，b∈{－2，－1，0，1，2}，则方程x2＋ax＋b＝0的两根均为实数的概率为________．7．执行如图所示的流程图，则输出s的值为________．第7题图第8题图8．(2019·徐州质检)某工厂甲、乙两个车间包装同一种产品，在自动包装传送带上每隔一小时抽一包产品，称其重量(单位：g)是否合格，分别记录抽查数据，获得重量数据茎叶图，根据样本数据，计算甲车间产品重量的方差为________．9．国产杀毒软件进行比赛，每个软件进行四轮考核，每轮考核中能够准确对病毒进行查杀的进入下一轮考核，否则被淘汰．已知某个软件在四轮考核中能够准确杀毒的概率依次是56，35，34，13，且各轮考核能否通过互不影响．则该软件至多进入第三轮考核的概率为________．10．为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据(单位：kPa)的分组区间为[12，13)，[13，14)，[14，15)，[15，16)，[16，17]．将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，…，第五组，如图是根据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为________．11．某校早上8：00开始上课，假设该校学生小张与小王在早上7：30～7：50之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为________．(用数字作答)12．古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1，3，6，10，…这样的数称为“三角形数”，而把1，4，9，16，…这样的数称为“正方形数”．如图，可以发现任何一个大于1的“正方形数”都可以看成两个相邻“三角形数”之和，下列等式：①36＝15＋21；②49＝18＋31；③64＝28＋36；④81＝36＋45，其中符合这一规律的等式是________．(填写所有符合的编号)13．(2019·九江模拟)已知函数f(x)＝ax＋1x－1＋1(x1)，若a是从1，2，3三个数中任取的一个数，b是从2，3，4，5四个数中任取的一个数，则f(x)b恒成立的概率为________．14．已知面积为S的凸四边形中，四条边长分别记为a1，a2，a3，a4，点P为四边形内任意一点，且点P到四边的距离分别记为h1，h2，h3，h4，若a11＝a22＝a33＝a44＝k，则h1＋2h2＋3h3＋4h4＝2Sk，类比以上性质，体积为V的三棱锥的每个面的面积分别记为S1，S2，S3，S4，此三棱锥内任一点Q到每个面的距离分别为H1，H2，H3，H4，若S11＝S22＝S33＝S44＝k，则H1＋2H2＋3H3＋4H4＝__________．小题专题练(五)1．解析：因为复数z＝3－i2＋i(i为虚数单位)，则|z|＝|3－i||2＋i|＝9＋14＋1＝2.答案：22．解析：由题意，得703500＝n3500＋1500，解得n＝100.答案：1003．解析：基本事件的总数为3×2＝6，甲、乙两人各抽取一张奖券，两人都中奖只有2种情况，所以两人都中奖的概率P＝26＝13.答案：134．解析：由频率分布直方图可得前3个小组的频率之和为1－(0.013＋0.037)×5＝0.75，又它们的频率之比为1∶2∶3，所以前3个小组的频率分别为16×0.75＝0.125，13×0.75＝0.25，12×0.75＝0.375，已知第2小组的频数为12，所以该校报考体育特长生的学生人数为120.25＝48.答案：485．解析：本题的算法为Sn＝20＋21＋…＋2n－11023的最小整数解，又Sn＝1－2n1－2＝2n－11023，所以最小整数解为11.答案：116．解析：若方程有两实根，则a2－4b≥0⇒a2≥4b，则满足条件的(a，b)的基本事件有：(1，0)，(2，－1)，(2，0)，(1，－1)，(1，－2)，(2，－2)，(2，1)，共有7个，而试验含有基本事件总数为10个，故方程有两实根的概率为710.答案：7107．解析：第一次循环结束，得s＝0＋2＝2，k＝2×2－1＝3；第二次循环结束，得s＝2＋3＝5，k＝2×3－1＝5；第三次循环结束，得s＝5＋5＝10，k＝2×5－1＝9；第四次循环结束，得s＝10＋9＝19，k＝2×9－1＝1710，此时退出循环．故输出s的值为19.答案：198．解析：计算可得x甲＝113，所以s2＝16(62＋22＋22＋02＋12＋92)＝21.答案：219．解析：设事件Ai(i＝1，2，3，4)表示“该软件能通过第i轮考核”，由已知得P(A1)＝56，P(A2)＝35，P(A3)＝34，P(A4)＝13，设事件C表示“该软件至多进入第三轮”，则P(C)＝P(A1＋A1A2＋A1A2A3)＝P(A1)＋P(A1A2)＋P(A1A2A3)＝16＋56×25＋56×35×14＝58.答案：5810．解析：因为第一组与第二组共有20人，并且根据图象知第一组与第二组的频率之比是0.24∶0.16＝3∶2，所以第一组的人数为20×35＝12.又因为第一组与第三组的频率之比是0.24∶0.36＝2∶3，所以第三组有12÷23＝18人．因为第三组中没有疗效的人数为6，所以第三组中有疗效的人数是18－6＝12.答案：1211．解析：设小张到校的时间为x，小王到校的时间为y，(x，y)可以看成平面中的点．试验的全部结果所构成的区域为Ω＝（x，y）152≤x≤476，152≤y≤476，这是一个正方形区域，面积为SΩ＝13×13＝19.事件A表示小张比小王早到5分钟，所构成的区域为A＝（x，y）x－y≥112，152≤x≤476，152≤y≤476，即图中的阴影部分，面积为SA＝12×14×14＝132.这是一个几何概型问题，所以P(A)＝SASΩ＝932.答案：93212．解析：因为任何一个大于1的“正方形数”都可以看成两个相邻“三角形数”之和，所以其规律是4＝1＋3，9＝3＋6，16＝6＋10，25＝10＋15，36＝15＋21，49＝21＋28，64＝28＋36，81＝36＋45，…因此给出的四个等式中，②不符合这一规律，①③④均符合这一规律．答案：①③④13．解析：a，b的不同选取方式共有12种．f(x)＝a(x－1)＋1x－1＋a＋1≥2a＋a＋1b.当a＝1时，b＝2，3；当a＝2时，b＝2，3，4，5；当a＝3时，b＝2，3，4，5，因此满足f(x)b恒成立的数a，b的不同取值共有2＋4＋4＝10种结果．所以f(x)b的概率为P＝1012＝56.答案：5614．解析：根据三棱锥的体积公式V＝13Sh，得：13S1H1＋13S2H2＋13S3H3＋13S4H4＝V，即kH1＋2kH2＋3kH3＋4kH4＝3V，所以H1＋2H2＋3H3＋4H4＝3Vk.答案：3Vk