（江苏专用）2020版高考数学三轮复习 小题专题练（二）三角函数、平面向量 文 苏教版

小题专题练(二)三角函数、平面向量(建议用时：50分钟)1．(2019·宿迁模拟)在平面直角坐标系中，已知向量AB→＝(2，1)，向量AC→＝(3，5)，则向量BC→的坐标为________．2．若sinα＝－513，且α为第四象限角，则tanα的值等于________．3．在△ABC中，a＝3，b＝6，∠A＝2π3，则∠B＝________．4．已知sin2α＝35π4＜α＜π2，tan(α－β)＝12，tan()α＋β＝________．5．函数y＝32sin2x＋cos2x的最小正周期为________．6．已知向量m＝(λ＋1，1)，n＝(λ＋2，2)，若(m＋n)∥(m－n)，则λ＝________．7．已知向量AB→与AC→的夹角为120°，且|AB→|＝3，|AC→|＝2.若AP→＝λAB→＋AC→，且AP→⊥BC→，则实数λ的值为________．8．已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C所对的边，且c＝2，C＝π3，若sinC＋sin(B－A)＝2sin2A，则A＝____________．9．已知函数f(x)＝3cos2x－sin2x，则下列结论中正确的序号是________．①函数f(x)的图象关于直线x＝11π12对称；②函数f(x)的图象关于点2π3，0对称；③函数f(x)在区间π12，5π12上是增函数；④将y＝2sin2x的图象向右平移π6个单位长度可以得到函数f(x)的图象．10．(2019·淮安模拟)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0，0≤φ2π)在R上的部分图象如图所示，则f(2018)的值为________．11．(2019·辽宁师大附中模拟)已知a，b是单位向量，且a·b＝0.若向量c满足|c－a－b|＝1，则|c|的取值范围是________．12．甲船从位于海岛B正南10海里的A处，以4海里/小时的速度向海岛B行驶，同时乙船从海岛B以6海里/小时的速度向北偏东60°方向行驶，当两船相距最近时，两船行驶的时间为________小时．13．已知角φ的终边经过点P(1，－1)，点A(x1，y1)、B(x2，y2)是函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0)图象上的任意两点．若|f(x1)－f(x2)|＝2时，|x1－x2|的最小值为π3，则fπ2＝________．14．如图，圆O是边长为2的正方形ABCD的内切圆，若P，Q是圆O上两个动点，则AP→·CQ→的取值范围是________．小题专题练(二)1．解析：BC→＝AC→－AB→＝(1，4)．答案：(1，4)2．解析：因为α为第四象限的角，故cosα＝1－sin2α＝1－（－513）2＝1213，所以tanα＝sinαcosα＝－5131213＝－512.答案：－5123．解析：在△ABC中，根据正弦定理asinA＝bsinB，有3sin2π3＝6sinB，可得sinB＝22.因为∠A为钝角，所以∠B＝π4.答案：π44．解析：因为π4＜α＜π2，所以π2＜2a＜π，可得cos2α＝－45，则tan2α＝－34，tan(α＋β)＝tan[2α－(α－β)]＝tan2α－tan（α－β）1＋tan2αtan（α－β）＝－2.答案：－25．解析：因为y＝32sin2x＋1＋cos2x2＝sin2x＋π6＋12，所以该函数的最小正周期T＝2π2＝π.答案：π6．解析：因为m＋n＝(2λ＋3，3)，m－n＝(－1，－1)，又(m＋n)∥(m－n)，所以(2λ＋3)×(－1)＝3×(－1)，解得λ＝0.答案：07．解析：由AP→⊥BC→，知AP→·BC→＝0，即AP→·BC→＝(λAB→＋AC→)·(AC→－AB→)＝(λ－1)AB→·AC→－λAB→2＋AC→2＝(λ－1)×3×2×－12－λ×9＋4＝0，解得λ＝712.答案：7128．解析：在△ABC中，由sinC＋sin(B－A)＝2sin2A可得sin(A＋B)＋sin(B－A)＝2sin2A，即sinAcosB＋cosAsinB＋cosAsinB－sinAcosB＝4sinAcosA，所以cosAsinB＝2sinAcosA，即cosA(sinB－2sinA)＝0，即cosA＝0或sinB＝2sinA，①当cosA＝0时，A＝π2；②当sinB＝2sinA时，根据正弦定理得b＝2a，由余弦定理c2＝b2＋a2－2abcosC，结合c＝2，C＝π3，得a2＋b2－ab＝4，所以a＝233，b＝433，所以b2＝a2＋c2，所以B＝π2，所以A＝π6.综上可得，A＝π2或π6.答案：π2或π69．解析：f(x)＝3cos2x－sin2x＝－2sin2x－π3.令2x－π3＝kπ＋π2，k∈Z，得x＝kπ2＋5π12，k∈Z，当k＝1时，函数f(x)的图象的对称轴方程为x＝11π12，所以①正确；令2x－π3＝kπ，k∈Z，得x＝kπ2＋π6，k∈Z，所以当k＝1时，函数f(x)的图象的对称中心是2π3，0，所以②正确；由2kπ－π2≤2x－π3≤2kπ＋π2，k∈Z，得kπ－π12≤x≤kπ＋5π12，k∈Z，所以当k＝0时，函数f(x)的单调递减区间为－π12，5π12，所以③错误；将函数y＝2sin2x的图象向右平移π6个单位长度可以得到函数y＝2sin2x－π3的图象，所以④错误．所以正确的序号是①②.答案：①②10．解析：由题图知A＝5，T＝12，从而ω＝π6，φ＝π6，解析式为f(x)＝5sinπ6x＋π6，故f(2018)＝f(2)＝5.答案：511．解析：由a，b是单位向量，且a·b＝0，可设a＝(1，0)，b＝(0，1)，c＝(x，y)．因为向量c满足|c－a－b|＝1，所以（x－1）2＋（y－1）2＝1，即(x－1)2＋(y－1)2＝1.该方程表示圆心为(1，1)，半径为1的圆，所以2－1≤|c|＝x2＋y2≤2＋1，所以|c|的取值范围是[2－1，2＋1]．答案：[2－1，2＋1]12．解析：如图，设经过x小时后，甲船行驶到D处，乙船行驶到C处时两船相距最近，则AD＝4x，BC＝6x，则BD＝10－4x，由余弦定理知，CD2＝(10－4x)2＋(6x)2－2×(10－4x)×6xcos120°＝28x2－20x＋100＝28x－5142＋6757，若甲行驶2.5小时，则甲船到达海岛B，因而若x2.5，则当x＝514时距离最小，且最小距离为6757＝15217，若x≥2.5，则BC≥6×2.5＝1515217，因而当两船相距最近时，两船行驶514小时．答案：51413．解析：结合三角函数图象，可知函数的最小正周期为2π3，则ω＝3，因为角φ的终边经过点P(1，－1)，所以不妨取φ＝－π4，则f(x)＝sin3x－π4，fπ2＝sin5π4＝－22.答案：－2214．解析：以O为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，则P，Q在以O为圆心的单位圆上，设P(cosα，sinα)，Q(cosβ，sinβ)，又A(－1，－1)，C(1，1)所以AP→＝(cosα＋1，sinα＋1)，CQ→＝(cosβ－1，sinβ－1)所以AP→·CQ→＝(cosα＋1)·(cosβ－1)＋(sinα＋1)·(sinβ－1)＝cosαcosβ＋cosβ－cosα－1＋sinαsinβ＋sinβ－sinα－1＝(cosαcosβ＋sinαsinβ)＋(sinβ＋cosβ)－(sinα＋cosα)－2＝cos(α－β)＋2sinβ＋π4－2sinα＋π4－2，当cos(α－β)＝－1且sinβ＋π4＝－1且sinα＋π4＝1时，则AP→·CQ→有最小值，此时α－β＝(2k＋1)π且β＝54π＋2kπ且α＝π4＋2kπ，(k∈Z)，所以AP→·CQ→能取到最小值－3－22，AP→·CQ→夹角范围是[90°，180]，故AP→·CQ→有最大值0，所以AP→·CQ→的取值范围是[－3－22，0]．答案：[－3－22，0]