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小题分类练(一)概念辨析类(建议用时：50分钟)1．已知锐角α的终边上一点P的坐标为(1＋cos40°，sin40°)，则锐角α＝________．2．“a＝2”是“直线2x＋ay－1＝0与直线ax＋2y－2＝0平行”的________条件．3．某初级中学有学生270人，其中一年级108人，二、三年级各81人，现要利用抽样方法取10人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一、二、三年级依次统一编号为1，2，…，270；使用系统抽样时，将学生统一随机编号1，2，…，270，并将整个编号依次分为10段，如果抽得号码有下列四种情况：①7，34，61，88，115，142，169，196，223，250；②5，9，100，107，111，121，180，195，200，265；③11，38，65，92，119，146，173，200，227，254；④30，57，84，111，138，165，192，219，246，270.关于上述样本的下列说法中，正确的是________．(1)②、③都不能为系统抽样(2)②、④都不能为分层抽样(3)①、④都可能为系统抽样(4)①、③都可能为分层抽样4．对于向量a，b，c和实数λ，下列命题中假命题的序号是________．①若a·b＝0，则a＝0或b＝0；②若λa＝0，则λ＝0或a＝0；③若a2＝b2，则a＝b或a＝－b；④若a·b＝a·c，则b＝c.5．若l、m、n是互不相同的空间直线，α、β是不重合的平面，则下列结论正确的序号是________．①α∥β，l⊂α，n⊂β⇒l∥n；②α⊥β，l⊂α⇒l⊥β；③l⊥n，m⊥n⇒l∥m；④l⊥α，l∥β⇒α⊥β.6．已知点P(a，b)(ab≠0)是圆x2＋y2＝r2内的一点，直线m是以P为中点的弦所在直线，直线l的方程为ax＋by＝r2，有下列命题：①m∥l；②m⊥l；③l与圆相交；④l与圆相切；⑤l与圆相离．其中是真命题的是________．7．已知a0，a≠1，函数f(x)＝ax（x≤1）－x＋a（x1），若函数f(x)在[0，2]上的最大值比最小值大52，则a的值为________．8．设m1，在约束条件y≥x，y≤mx，x＋y≤1下，目标函数z＝x＋my的最大值小于2，则m的取值范围为________．9．给出下列四个结论：①若sin2A＝sin2B，则△ABC是等腰三角形；②若sinA＝sinB，则△ABC是等腰三角形；③若asinA＝bsinB＝c，则△ABC是直角三角形；④在△ABC中，已知a2tanB＝b2tanA，则这个三角形是等腰或直角三角形．其中错误命题的序号是________．10．(2019·苏州模拟)已知样本数据a1，a2，…，a2018的方差是4，如果有bi＝ai－2(i＝1，2，…，2018)，那么数据b1，b2，…，b2018的标准差为________．11．已知函数f(x)＝cos2x5＋sin2x5(x∈R)，给出以下命题：①函数f(x)的最大值是2；②周期是5π2；③函数f(x)的图象相邻的两条对称轴之间的距离是52π；④对任意x∈R，均有f(5π－x)＝f(x)成立；⑤点15π8，0是函数f(x)图象的一个对称中心．其中正确命题的序号是________．12．直角坐标系中横坐标、纵坐标均为整数的点称为格点，如果函数f(x)的图象恰好通过k(k∈N*)个格点，则称函数f(x)为k阶格点函数，下列函数：①f(x)＝sinx；②f(x)＝3π(x－1)2＋2；③f(x)＝14x；④f(x)＝log0.5x.其中是一阶格点函数的有________．13．定义在R上的偶函数f(x)满足：f(x＋1)＝－f(x)，且在[－1，0]上是增函数，下列关于f(x)的判断：①f(x)是周期函数；②f(x)的图象关于直线x＝2对称；③f(x)在[0，1]上是增函数；④f(x)在[1，2]上是减函数；⑤f(4)＝f(0)．其中判断正确的序号是________．14．设f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d，又k是一个常数．已知当k0或k4时，f(x)－k＝0只有一个实根；当0k4时，f(x)－k＝0有三个相异实根，现给出下列命题：①f(x)－4＝0和f′(x)＝0有一个相同的实根；②f(x)＝0和f′(x)＝0有一个相同的实根；③f(x)＋3＝0的任一实根大于f(x)－1＝0的任一实根；④f(x)＋5＝0的任一实根小于f(x)－2＝0的任一实根．其中错误的命题的个数是________．小题分类练(一)1．解析：由题意知tanα＝sin40°1＋cos40°＝2sin20°cos20°1＋2cos220°－1＝tan20°，所以α＝20°.答案：20°2．解析：直线平行的充要条件是2×2＝a×a且2×（－2）≠（－1）×a－2×a≠（－1）×2，即两直线平行的充要条件是a＝±2.故a＝2是直线2x＋ay－1＝0与直线ax＋2y－2＝0平行的充分不必要条件．答案：充分不必要3．解析：①的间隔为27，可为系统抽样或分层抽样，③的间隔为27，可以为分层抽样也可以为系统抽样；④的第一个数为30，不符合系统抽样，因为间隔为27，④的第一个数应该为1～27；分层抽样则要求初一年级应该抽取4人，号码在1～108，所以④中的111不符合分层抽样．答案：(4)4．解析：a⊥b时也有a·b＝0，故①不正确；②正确；两个向量的平方相等，说明两个向量的模相等，但未必共线，故③不正确；由a·b＝a·c得a·(b－c)＝0，由①得④不正确．答案：①③④5．解析：对于①，l∥n或l，n异面，所以错误；对于②，l与β可能相交可能平行也可能l⊂β，所以错误；对于③，l与m还可能异面或相交，所以错误．④正确．答案：④6．解析：点P(a，b)(ab≠0)在圆内，所以a2＋b2r2，圆心O到直线l的距离d＝r2a2＋b2r2r＝r.所以l与圆相离．kOP＝ba，km＝－ab，直线l的斜率kl＝－ab＝km，所以m∥l.答案：①⑤7．解析：当0a1时，函数f(x)在[0，2]上的最大值是1，最小值是a－2，则1－(a－2)＝52，得a＝12；当1a≤3时，函数f(x)在[0，2]上的最大值是a，最小值是a－2，则a－(a－2)＝2≠52，此种情况不成立；当a3时，函数f(x)在[0，2]上的最大值是a，最小值是1，则a－1＝52，得a＝72.综上，a＝12或72.答案：12或728.解析：画出可行域如图阴影部分所示，或分别解方程组y＝x，y＝mx，y＝x，x＋y＝1，y＝mx，x＋y＝1得到三个区域端点(0，0)，12，12，1m＋1，mm＋1，当且仅当直线z＝x＋my过点1m＋1，mm＋1时，z取到最大值z＝m2＋1m＋12，解得m∈(1，1＋2)．答案：(1，1＋2)9．解析：若sin2A＝sin2B，则2A＝2B或2A＋2B＝π，△ABC是等腰或直角三角形；若sinA＝sinB，则a＝b，得A＝B，所以△ABC只能是等腰三角形；若asinA＝bsinB＝csinC＝c，得sinC＝1，C＝π2.对于④将a＝2RsinA，b＝2RsinB代入已知整理得sin2A＝sin2B，所以2A＝2B或2A＋2B＝π，即A＝B或A＋B＝π2，故是直角或等腰三角形．答案：①10．解析：因为bi＝ai－2(i＝1，2，…，2018)，所以数据b1，b2，…，b2018的方差和样本数据a1，a2，…，a2018的方差相等，均是4，所以数据b1，b2，…，b2018的标准差为2.答案：211．解析：f(x)＝cos2x5＋sin2x5＝2sin2x5＋π4，则函数f(x)的最大值是2，所以①不正确；周期T＝2π25＝5π，所以②不正确；函数f(x)的图象相邻的两条对称轴之间的距离是12T＝5π2，所以③正确；令2x5＋π4＝π2＋kπ，k∈Z，得函数f(x)图象的对称轴是直线x＝5π8＋52kπ，k∈Z，所以④不正确；f15π8＝2sin25×15π8＋π4＝2sinπ＝0，所以⑤正确．答案：③⑤12．解析：显然点(0，0)在函数f(x)＝sinx的图象上，而且函数只有最高点和最低点以及图象与x轴的交点(除(0，0)点外)处，但这些点的横坐标都不是整数，函数f(x)＝sinx是一阶格点函数；函数f(x)＝3π(x－1)2＋2图象上点(1，2)为整点，当x取x≠1的整数时，函数值都不是整数，故函数f(x)＝3π(x－1)2＋2是一阶格点函数；函数f(x)＝14x中，当x取负整数或者零时，都是整点，故函数f(x)＝14x不是一阶格点函数；函数f(x)＝log0.5x，显然点(1，0)为其格点，当x＝12－n(n＝0，1，2，…)，都是整点，故函数f(x)＝log0.5x不是一阶格点函数．答案：①②13．解析：f(x＋1)＝－f(x)⇒f(x＋2)＝f(x)，故f(x)是周期函数．又f(x)＝f(－x)，所以f(x＋2)＝f(－x)，故f(x)的图象关于直线x＝1对称．同理，f(x＋4)＝f(x)＝f(－x)，所以f(x)的图象关于直线x＝2对称．由f(x)在[－1，0]上是增函数，得f(x)在[0，1]上是减函数，在[1，2]上是增函数．因此可得①②⑤正确．答案：①②⑤14．解析：由题意可知函数的示意图如图，则函数f(x)的极大值为4，极小值为0，所以当f(a)＝4或f(a)＝0时对应的f′(a)＝0，则①②正确.f(x)＋3＝0的实根小于f(x)－1＝0的实根，所以③不正确；f(x)＋5＝0的实根小于f(x)－2＝0的实根，所以④正确．答案：1