（江苏专用）2020版高考数学二轮复习 专题一 集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数 高考热点追踪

高考热点追踪(一)函数中的新定义问题用数学符号或文字叙述给出一个新定义，利用这个新定义和已学过的知识解决题目给出的问题，叫新定义题．求解此类问题，首先应明确新定义的实质，利用新定义中包含的内容，结合所学知识，将问题向熟悉的、已掌握的知识进行转化．(2019·无锡市高三上学期期末考试)若函数f(x)在[m，n](m＜n)上的值域恰好是[m，n]，则称[m，n]为函数f(x)的一个“等值映射区间”．下列函数：①y＝x2－1；②y＝2＋log2x；③y＝2x－1；④y＝1x－1，其中，存在唯一一个“等值映射区间”的函数有________个．【解析】根据新定义可知，存在唯一一个“等值映射区间”的函数与另一函数y＝x的图象有两个交点，且在[m，n](m＜n)上的值域恰好为[m，n]，可见两函数在[m，n]上均单调递增．对于①y＝x2－1，根据新定义可得，x2－1＝x，方程有两个解，即函数y＝x2－1与函数y＝x的图象有两个交点，但在同一增区间上只有一个交点，故①不满足题意；对于②y＝2＋log2x，根据新定义可得，2＋log2x＝x，方程有两个解，即函数y＝2＋log2x与函数y＝x的图象有两个交点，且在定义域内两函数都单调递增，故②满足题意；对于③y＝2x－1，根据新定义可得，2x－1＝x，方程有两个解，即函数y＝2x－1与函数y＝x的图象有两个交点，且在定义域内两函数都单调递增，故③满足题意；对于④y＝1x－1，根据新定义可得，x2－x＝1(x≠1)，方程有两个解，即函数y＝1x－1与函数y＝x的图象有两个交点，但y＝1x－1不单调递增，故④不满足题意．所以存在唯一一个“等值映射区间”的函数有2个．【答案】2[名师点评]创新题型在高考中常出现，考查学生对新定义的理解能力，只有明确新定义的实质，才能使问题得以解决．不等式恒成立问题的解题策略恒成立问题在高考中经常出现，由于涉及的知识面广，制约条件复杂，参变量的潜在约束比较隐晦，考生在解题时，不易理清思路，抓不住关键，往往半途而废．下面谈谈解决此类问题的常用方法．一、反客为主——更换主元有些数学问题构思新颖，同时有其实际背景，按固有的习惯思维，把注意力集中在某些醒目的“主元”上，往往陷入困境．如果打破思维定式，反“客”为“主”，把原来处于相对次要地位的“客元”突显出来，常常能收到出人意料的效果．对任意的|m|≤2，函数f(x)＝mx2－2x＋1－m恒负，则x的取值范围为________．【解析】设g(m)＝(x2－1)m－2x＋1，则有g（－2）0，g（2）0即2x2＋2x－30，2x2－2x－10．解得7－12x3＋12．【答案】7－12，3＋12[名师点评]当一个题中有多个变量时，要敢于把其中的一个变量作为自变量，其余的变量作为参数处理，逐步减少参数使问题获得解决．二、分离参数——巧妙转化有些问题，是需要将参变量分离出来，单独放在不等式的一侧，将另一侧视作为新函数，则可以将问题转化为新函数的最值问题．(2019·江苏省高考命题研究专家原创卷(十))已知实数x，y满足x＋2y＋3＝xy，且对任意的实数x∈(2，＋∞)，y∈(1，＋∞)，不等式(x＋y－3)2－a(x＋y－3)＋1≥0恒成立，则实数a的取值范围是________．【解析】因为x∈(2，＋∞)，y∈(1，＋∞)，所以x＋y－30，所以不等式(x＋y－3)2－a(x＋y－3)＋1≥0可转化为(x＋y－3)＋1x＋y－3≥a．令t＝x＋y－3，t0，则f(t)＝t＋1t≥a，且函数f(t)在区间[1，＋∞)上单调递增．等式x＋2y＋3＝xy可化为(x－2)(y－1)＝5，令m＝x－2，n＝y－1，则m0，n0，且mn＝5，则t＝m＋n≥2mn＝25，当且仅当m＝n，即x＝y＋1，即x＝2＋5，y＝1＋5时等号成立，故f(t)≥f(25)＝25＋125＝21510，所以a≤21510．【答案】(－∞，21510][名师点评]若对于x取值范围内的任何一个数都需要f(x)≥g(a)恒成立，则g(a)≤f(x)的最小值；若对于x取值范围内的任何一个数，都有f(x)≤g(a)恒成立，则g(a)≥f(x)的最大值．三、变量替换——避繁就简根据所要求解的式子的结构特征，巧妙地设置新的变量来替代原来表达式中的某些式子或变量，对新的变量求出结果后，返回去再求出原变量的结果．此法应用往往简便快捷，可以避开烦琐的运算．(2019·宁波质检)当x∈(0，1)时，不等式41－x≥m－1x恒成立，则m的最大值为________．【解析】由已知不等式可得m≤1x＋41－x．设f(x)＝1x＋41－x＝1－x＋4xx（1－x）＝3x＋1－x2＋x，令t＝3x＋1，则x＝t－13，t∈(1，4)，f(x)可化为g(t)＝t－t－132＋t－13＝9t－t2＋5t－4＝9－t＋4t＋5，因为t∈(1，4)，所以5t＋4t≥4，0－t＋4t＋5≤1，9－t＋4t＋5≥9，即f(x)∈[9，＋∞)，故m的最大值为9．【答案】9[名师点评]本题使用换元法起到了沟通问题的条件和结论的中介作用，并使运算得以简化，令人耳目一新．四、数形结合——以“形”代算数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维和形象思维结合，通过对图形的认识，数形结合的转化，可以培养思维的灵活性、形象性，使问题化难为易，化抽象为具体．通过“形”往往可以解决用“数”很难解决的问题．当x∈0，12时，x2logax恒成立，则a的取值范围是__________．【解析】由图形可知，0a1，因为当x∈0，12时，x2logax恒成立，所以loga12≥122，所以a≥116，又因为0a1，所以116≤a1．【答案】116，1[名师点评]以“形”代算，虽然有一定的技巧性，但通过图形的直观显现，答案直接跃然纸上．1．(2019·常州期末)曲线y＝x－cosx在点π2，π2处的切线方程为________．[解析]y′＝1＋sinx，故曲线y＝x－cosx在点π2，π2处的切线的斜率为2．由点斜式方程可得切线方程为2x－y－π2＝0．[答案]2x－y－π2＝02．函数y＝1－2x的定义域为集合A，函数y＝ln(2x＋1)的定义域为集合B，则A∩B＝________．[解析]由1－2x≥0得x≤12，故A＝－∞，12，由2x＋10得x－12，故B＝－12，＋∞，故A∩B＝－12，12．[答案]－12，123．函数f(x)＝13x(0≤x≤2)的值域为________．[解析]因为函数f(x)＝13x(0≤x≤2)是减函数，又知130＝1，132＝19，从而值域为19，1．[答案]19，14．不等式－1＜x2＋2x－1≤2的解集是________．[解析]原不等式等价于：x2＋2x＞0，x2＋2x－3≤0，即x＜－2或x＞0，－3≤x≤1，所以不等式的解集是{x|－3≤x＜－2或0＜x≤1}．[答案]{x|－3≤x＜－2或0x≤1}5．(2019·南京模拟)设函数f(x)＝2＋log3x，x0，3－log2（－x），x0，则f(3)＋f(－2)＝________．[解析]f(3)＋f(－2)＝(2＋log33)＋(3－log22)＝2＋12＋3－12＝5．[答案]56．已知函数f(x)为奇函数，函数f(x＋1)为偶函数，f(1)＝1，则f(3)＝________．[解析]因为f(x)为奇函数且f(x＋1)为偶函数，故f(x＋1)＝f(－x＋1)，令x＝2，得f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－1，即f(3)＝－1．[答案]－17．(2019·深圳质检)在△ABC中，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C所对的边，若函数f(x)＝13x3＋bx2＋(a2＋c2－ac)x＋1有极值点，则∠B的范围是________．[解析]由题意得f′(x)＝x2＋2bx＋a2＋c2－ac，Δ＝4b2－4a2－4c2＋4ac＞0，cosB＝a2＋c2－b22ac12，则∠B的范围是π3，π．[答案]π3，π8．若a0，b0，且12a＋b＋1b＋1＝1，则a＋2b的最小值为________．[解析]由已知等式得2a＋2b＋1＝2ab＋2a＋b2＋b，从而，a＝b－b2＋12b，a＋2b＝b－b2＋12b＋2b＝12＋32b＋12b≥12＋234＝23＋12，当且仅当32b＝12b时等号成立，故有最小值23＋12．[答案]23＋129．(2019·淮安调研)已知函数f(x)＝x－1x＋1，g(x)＝x2－2ax＋4，若对任意x1∈[0，1]，存在x2∈[1，2]，使f(x1)≥g(x2)，则实数a的取值范围是__________．[解析]由于f′(x)＝1＋1（x＋1）20，因此函数f(x)在[0，1]上单调递增，所以x∈[0，1]时，f(x)min＝f(0)＝－1．根据题意可知存在x∈[1，2]，使得g(x)＝x2－2ax＋4≤－1，即x2－2ax＋5≤0，即a≥x2＋52x能成立，令h(x)＝x2＋52x，则要使a≥h(x)在x∈[1，2]能成立，只需使a≥h(x)min，又函数h(x)＝x2＋52x在x∈[1，2]上单调递减，所以h(x)min＝h(2)＝94，故只需a≥94．[答案]94，＋∞10．(2019·南京、盐城高三模拟)已知函数f(x)＝lnx＋(e－a)x－b，其中e为自然对数的底数．若不等式f(x)≤0恒成立，则ba的最小值为________．[解析]由不等式f(x)≤0恒成立可得f(x)max≤0．f′(x)＝1x＋e－a，x＞0，当e－a≥0，即a≤e时，f′(x)＞0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且x趋近于＋∞，f(x)趋近于＋∞，此时f(x)≤0不可能恒成立；当e－a＜0，即a＞e时，由f′(x)＝0得x＝1a－e，当x∈0，1a－e时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，当x∈1a－e，＋∞时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，此时f(x)max＝f1a－e＝－ln(a－e)－1－b≤0，则b≥－ln(a－e)－1，又a＞e，所以ba≥－ln（a－e）－1a，a＞e，令a－e＝t＞0，则ba≥－lnt－1t＋e，t＞0．令g(t)＝－lnt－1t＋e，t＞0，则g′(t)＝lnt－et（t＋e）2，由g′(t)＝0得t＝e，且当t∈(0，e)时，g′(t)＜0，g(t)单调递减，当t∈(e，＋∞)时，g′(t)＞0，g(t)单调递增，所以g(t)min＝g(e)＝－1e，即ba≥－lnt－1t＋e≥－1e，故ba的最小值为－1e．[答案]－1e11．(2019·江苏省高考命题研究专家原创卷(九))2018年6月，国家发改委发布了《关于完善国有景区门票价格形成机制降低重点国有景区门票价格的指导意见》，推动了旅游业的转型升级和健康发展．某景区积极响应指导意见，拟实行门票新政，将每张50元的景区门票价格降低来吸引更多的游客，以增加门票的收入，同时投入资金对景区进行升级改造，实现由门票经济向产业经济的转型升级，提高门票收入之外的旅游收入的增加值．据市场调研，若每张门票的价格降低x元，则每年的门票收入增加值为p(x)万元，且满足p(x)＝－25x2＋ax－5(5≤x≤50)；若景区的升级改造投入10x万元，则每年旅游收入的增加值为q(x)万元，且满足q(x)＝bx－20lnx25．已知2017年该景区的游客量为1000人，且q(25)＝270．(1)求a，b的值并将该景区实行门票新政后景区年收入的净增加值表示为x的函数；(2)求该景区实行门票新政