（江苏专用）2020版高考数学二轮复习 专题一 集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数 第4讲 不等

第4讲不等式[2019考向导航]考点扫描三年考情考向预测2019201820171．不等式的解法第4题不等式在江苏高考中主要考查一元二次不等式的解法、基本不等式及线性规划问题．基本不等式是考查重点．试题多与集合、函数等知识交汇命题，以填空题的形式呈现，属中高档题．不等式成立问题会在压轴题中出现，难度较大，不等式的实际应用有时也会在实际应用题中出现，主要利用基本不等式求最值．2．基本不等式第10题第13题第10题3．不等式成立问题4．线性规划5．不等式的实际应用1．必记的概念与定理已知x0，y0，则：(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2p．(简记：积定和最小)(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是p24．(简记：和定积最大)确定二元一次不等式表示的平面区域时，经常采用“直线定界，特殊点定域”的方法．①直线定界，即若不等式不含等号，则应把直线画成虚线；若不等式含有等号，把直线画成实线；②特殊点定域，即在直线Ax＋By＋C＝0的某一侧取一个特殊点(x0，y0)作为测试点代入不等式检验，若满足不等式，则表示的就是包括该点的这一侧，否则就表示直线的另一侧．特别地，当C≠0时，常把原点作为测试点；当C＝0时，常选点(1，0)或者(0，1)作为测试点．2．记住几个常用的公式与结论(1)几个重要的不等式a2＋b2≥2ab(a，b∈R)；ba＋ab≥2(a，b同号)．ab≤a＋b22(a，b∈R)；a＋b22≤a2＋b22(a，b∈R)．(2)一元二次不等式的解法先化为一般形式ax2＋bx＋c0(a≠0)，再求相应一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根，最后根据相应二次函数图象与x轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集．(3)简单分式不等式的解法①变形⇒f（x）g（x）0(0)⇔f(x)g(x)0(0)且g(x)≠0；②变形⇒f（x）g（x）≥0(≤0)⇔f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0．(4)两个常用结论①ax2＋bx＋c0(a≠0)恒成立的条件是a0，Δ0．②ax2＋bx＋c0(a≠0)恒成立的条件是a0，Δ0．3．需要关注的易错易混点(1)利用不等式性质可以求某些代数式的取值范围，但应注意两点：一是必须严格运用不等式的性质；二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围．解决的途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性”不等关系的运算求解范围．(2)在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．不等式的解法[典型例题](1)(2019·江苏省高考名校联考(八))已知函数f(x)＝－4x2＋2ax－b(a，b∈R)的值域为(－∞，0]，若关于x的不等式f(x)≥m的解集为[c，c＋8]，则实数m的值为________．(2)(2019·苏州第一次质量预测)已知函数f(x)＝2x，x≤1，ln（x－1），1＜x≤2，若不等式f(x)≤5－mx恒成立，则实数m的取值范围是________．【解析】(1)因为函数f(x)＝－4x2＋2ax－b(a，b∈R)的值域为(－∞，0]，所以函数的最大值为0．令f(x)＝0，可得Δ＝4a2－4×(－4)×(－b)＝4a2－16b＝0，即b＝a24．关于x的不等式f(x)≥m可化简为4x2－2ax＋b＋m≤0，即4x2－2ax＋a24＋m≤0．又关于x的不等式f(x)≥m的解集为[c，c＋8]，所以方程4x2－2ax＋a24＋m＝0的两个根为x1＝c，x2＝c＋8，则x1＋x2＝a2x1x2＝a216＋m4，又|x1－x2|2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝64，即(a2)2－4(a216＋m4)＝64，解得m＝－64．(2)作出函数f(x)的大致图象如图所示，令g(x)＝5－mx，则g(x)恒过点(0，5)，由f(x)≤g(x)恒成立，并数形结合得－52≤－m≤0，解得0≤m≤52．【答案】(1)－64(2)0，52二次函数、二次不等式是高中数学的重要基础知识，也是高考的热点．本题(1)考查了二次函数的性质及一元二次不等式的解法．突出考查将二次函数、二次方程、二次不等式三者进行相互转化的能力和转化与化归的数学思想方法．[对点训练]1．(2019·江苏省高考命题研究专家原创卷(六))已知函数f(x)＝12x－3，x≤0，x12，x＞0，若f(a)＞f(f(－2))，则实数a的取值范围为________．[解析]由题意知，f(－2)＝(12)－2－3＝1，f(1)＝1，所以不等式化为f(a)1．当a≤0时，f(a)＝(12)a－31，解得a－2；当a0时，f(a)＝a1，解得a1．因而a的取值范围为(－∞，－2)∪(1，＋∞)．[答案](－∞，－2)∪(1，＋∞)2．已知函数f(x)＝x2－2ax＋a2－1的定义域为A，2∉A，则a的取值范围是________．[解析]因为2∉A，所以4－4a＋a2－10，即a2－4a＋30，解得1a3．[答案]1a3基本不等式[典型例题](1)(2019·南通市高三调研)若正实数x，y满足x＋y＝1，则yx＋4y的最小值是________．(2)(2019·高考江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，P是曲线y＝x＋4x(x0)上的一个动点，则点P到直线x＋y＝0的距离的最小值是________．【解析】(1)因为正实数x，y满足x＋y＝1，所以yx＋4y＝yx＋4（x＋y）y＝yx＋4xy＋4≥2yx·4xy＋4＝8，当且仅当yx＝4xy，即x＝13，y＝23时，取“＝”，所以yx＋4y的最小值是8．(2)设Px，x＋4x，x0，则点P到直线x＋y＝0的距离d＝|x＋x＋4x|2＝2x＋4x2≥22x·4x2＝4，当且仅当2x＝4x，即x＝2时取等号，故点P到直线x＋y＝0的距离的最小值是4．【答案】(1)8(2)4用基本不等式求函数的最值，关键在于将函数变形为两项和或积的形式，然后用基本不等式求出最值．在求条件最值时，一种方法是消元，转化为函数最值；另一种方法是将要求最值的表达式变形，然后用基本不等式将要求最值的表达式放缩为一个定值，但无论哪种方法在用基本不等式解题时都必须验证等号成立的条件．[对点训练]3．(2019·苏锡常镇四市高三调研)若正数x，y满足15x－y＝22，则x3＋y3－x2－y2的最小值为________．[解析]x3＋y3－x2－y2＝x3＋94x＋y3＋14y－x2－y2－94x－14y≥3x2＋y2－x2－y2－94x－14y＝2x2－94x－14y＝2x2＋92－94x－14y－92≥6x－94x－14y－92＝15x－y4－92＝224－92＝1，当且仅当x＝32，y＝12时取等号，故x3＋y3－x2－y2的最小值为1．[答案]14．(2018·高考江苏卷)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC＝120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD＝1，则4a＋c的最小值为________．[解析]因为∠ABC＝120°，∠ABC的平分线交AC于点D，所以∠ABD＝∠CBD＝60°，由三角形的面积公式可得12acsin120°＝12asin60°＋12csin60°，化简得ac＝a＋c，又a0，c0，所以1a＋1c＝1，则4a＋c＝(4a＋c)·1a＋1c＝5＋ca＋4ac≥5＋2ca·4ac＝9，当且仅当c＝2a时取等号，故4a＋c的最小值为9．[答案]9线性规划[典型例题](1)已知实数x，y满足x－2y＋4≥0，2x＋y－2≥0，3x－y－3≤0，则x2＋y2的取值范围是________．(2)设z＝kx＋y，其中实数x，y满足x＋y－2≥0，x－2y＋4≥0，2x－y－4≤0．若z的最大值为12，则实数k＝________．【解析】(1)不等式组所表示的平面区域是以点(0，2)，(1，0)，(2，3)为顶点的三角形及其内部，如图所示．因为原点到直线2x＋y－2＝0的距离为25，所以(x2＋y2)min＝45，又当(x，y)取点(2，3)时，x2＋y2取得最大值13，故x2＋y2的取值范围是45，13．(2)作出可行域，如图中阴影部分所示，由图可知当0≤－k12时，直线y＝－kx＋z经过点M(4，4)时z最大，所以4k＋4＝12，解得k＝2(舍去)；当－k≥12时，直线y＝－kx＋z经过点(0，2)时z最大，此时z的最大值为2，不合题意；当－k0时，直线y＝－kx＋z经过点M(4，4)时z最大，所以4k＋4＝12，解得k＝2，符合题意．综上可知k＝2．【答案】(1)45，13(2)2确定二元一次不等式(组)表示的平面区域的方法(1)“直线定界，特殊点定域”，即先作直线，再取特殊点并代入不等式组．若满足不等式组，则不等式(组)表示的平面区域为直线与特殊点同侧的那部分区域；否则就对应与特殊点异侧的平面区域．(2)当不等式中带等号时，边界画为实线，不带等号时，边界应画为虚线，特殊点常取原点．[对点训练]5．(2019·江苏名校高三入学摸底)若变量x，y满足不等式组2x－y≤0x－2y＋6≥0y≥0，则12x＋y的最小值为________．[解析]作出不等式组所表示的平面区域，如图中△OAB(含边界)所示，作直线l：x＋y＝0，若向上平移直线l，则x＋y的值增大，当平移至过点B(2，4)时，x＋y取得最大值6，此时12x＋y取得最小值18．[答案]186．(2019·江苏省名校高三入学摸底卷)设x，y满足约束条件x≥0y≥02x＋y≤2，若目标函数z＝ax＋by(a0，b0)的最大值为M，且M的取值范围是[1，2]，则点P(a，b)所组成的平面区域的面积是________．[解析]作出约束条件x≥0y≥02x＋y≤2表示的平面区域如图1中阴影部分所示(三角形OAB及其内部)．将目标函数z＝ax＋by(a0，b0)化为直线方程的形式为y＝－abx＋zb，若－ab≤－2，当直线y＝－abx＋zb经过点A(1，0)时，z＝ax＋by(a0，b0)取得最大值M＝a∈[1，2]，由a0b0－ab≤－2a∈[1，2]得点P(a，b)所组成的平面区域如图2中阴影部分所示，此时点P(a，b)所组成的平面区域的面积为34．若－ab－2，当直线y＝－abx＋zb经过点B(0，2)时，z＝ax＋by(a0，b0)取得最大值M＝2b∈[1，2]，由a0b0－ab－22b∈[1，2]得点P(a，b)所组成的平面区域如图3中阴影部分所示，此时点P(a，b)所组成的平面区域的面积为34．综上，点P(a，b)所组成的平面区域的面积为32．[答案]32不等式的实际应用[典型例题]“第五届上海智能家居展览会”于2017年7月5日－7月7日在上海新国际博览中心举行，全面展示当前最新的智能家居．某智能家居企业可以向社会提供智能家居套餐的生产和销售一条龙服务，由于2016年没有进行促销活动，该企业的某品牌套餐全年的销量只有1．25万套，如果延续2016年的经营策略，预计2017年的销量只有2016年的80%．为了不断拓展市场，提高经营效益，拟在2017年借“第五届上海智能家居展览会”的东风对该品牌套餐进行促销活动．经过市场调研，该品牌套餐的年销量x万套与年促销费用t万元之间满足关系：x＝4t＋mt＋1(t≥0)．预计2017年生产设备的固定成本为4万元，每生产1万套该品牌套餐需再投入27万元的可变成本，若将每套该品牌套餐的售价定为其生产成本的160%与平均每套促销费用的40%的和，则当年生产的该品牌套餐正好